Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ка- | да. А у кую горнзонтальную силу Р о надо приложить к ползуну, в, ри в чтобы система прн заданных углах а н )) находилась в равновесия (рнс. 217)7 Р е ш е н н е. Если ползун прижат к полу, то рассматриваемая система имеет одну степень свободы, так как на две точки В (хв ув) я А (хл ул), определяющие положение системы, наложены три связи: хв-,-ув 6* =О, (хл — хв) + (ул — ув)' — а'=О, ул — с=Ов. Поэтому число степеней свободы данной системы равно й=2п — з=2 2 — 3=!. Применяя принцип возможных перемещений, задачу можно решить двумя способами. Первый способ.
Сообщаем системе возможное перемещение. Для точки А возможное перемещенне бзл направлено параллельно осн х, а возможное перемещение ба точки В направлено по касательной к траектории (к окружности с центром в точке С), когорую может описывать точка В, т. е. перпендикулярно к стержню СВ. Далее, пользуясь основным выражением злементарной работы, на основании принципа возможных перемещений имеем (см. уравнение (240)1 ~чр~бА = — Рбзл+ Цбвв созр =*О. Отсюда Р= — вЯ совр. озл * Зти уравнения выражают следующие условия: а) расстояние ВС=-Ь соней а) расстояние АВ=о=сопз) н в) расстояние от точки А ао оси х, т е ОС=с=сопев ззь Теперь нужно найти зависимость между бээ и бэл. Так как расстояние между точками В н А при возможйом перемещении системы остается неизменным, то проекции возможных перемещений этих точек на прямую ВА, их соединяющую, равны между собой: арал (бээ) = Йрэл (бэл) т.
е. бээ соз ~ —" — и+ р) = бэл сова, ( 2 или бээ эйп (а — ()) =бе„сова, откуда 65в сов а 65л в!п (а — ()) ' следовательно, р ~вова со5 1) мп (а — й) Зависимость между бэл и бзэ можно также найти, построив мгновенный центр вращения С' стержня АВ, который лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных нз точек А и В к векторам бз„и бээ (см. рис. 217). Тогда возможные перемещения точек А и В, так же, как их возможные скорости, пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра вращения звена АВ. Следовательно, 65э Сн 65л С'А ' Но из треугольника АС'В по теореме синусов имеем " и"( — ".-") С'А вгп (а — Р) мп (а — й) ' поэтому 65ч сов а 65л =Йп(а — й Внгорой способ.
Сообщая системе возможное перемещение и пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, имеем (слг. уравнение (241)) Х ( ~бх+ 1 бу) гохбхл+Рвбул+(гхбхэ+ (гэбуэ = — Ъбх +дбу О. Теперь следует найти зависимость между вариациями буэ и бхл координат точек В н А. Для этого выражаем координаты уэ и хл через углы а и (3; уа 6 зги )); хл-— -ВЕ+ЕА =6 совр+а сова. При бесконечно малом возможном перемещении системы углы о и )) получат бесконечно малые приращения би и 6)), а координаты хл и ув, являющиеся функциями этих углов, получают приращения бх4 и бу„. Пользуясь тем, что приращение функции при бесконечно малом приращении аргумента можно заменнгь ее дифференциалом, имеем буа — — Ь созр61); бха= — Ь з)п р 61) — аз)паба.
Подставляя эти значения бха и буа в уравнение равновесия системы, получим ЬР з)п)) 6))+аРз1паба+ЬЯ сов))б))=0. Таким образом, вариации координат точек А и В мы выразили через вариации углов а и р. Зависимость же между вариациями би и бр легко установить, исходя из того, что Сс1 = СК+ КР = с = сопз1, или Ь 91п 1)+а э)п а = с=сопз1. Варьируя это уравнение, находим а соз а ба+ Ь соз 1) бр = О, откуда ба = — — "„' бр. Подставляя это значение ба в уравнение, выражающее условие равновесия системы, получаем ЬРз)п'рбр — ЬР,,"' 6))-) ЬЯсозрбр=О, или Ь 1Р 91п ф — а)-)-Я созр сова) бр = О, н, следовательно, Р з)п 1р — а)+ Я созасозр=О; отсюда СОЗ а аО9 Р мп 1о — Р) Эадачи лила П (задачи 909, 910) Пример 160. Три стержня одинакового веса Я соединены между собой шарнирами. Первый стержень может вращаться вокруг неподвижного шарнира О, а к свободному концу третьего стержня приложена горизонтальная сила Р, которая удерживает всю сисзему в вертикальной плоскости в равновесии, При этом стержни образуют с вертикалью углы, соответственно равные р„~р„гр,.
Определить эти углы, если В = О (рис. 218). Решен ив. Принимая центр шарнира О за начало координат, координатные оси направляем, как указано на рис. 218. На шесть координат |очек А, В и С рассматриваемой системы наложено три условия (ОА =сопз1, АВ =сопз1, ВС = сопз1); следовательно, система имеет л=2п — з=2.3 — 3=8 степени свободы.
В соответствии с этим положение данной системы определяется тремя независимыми друг от друга парамеграми — тремя углами гр„~р, и гр,. Вес каждого стержня можно раз- ложнть на две составляющие, приложенные по его концам; тогда получим систему сил, показанную на рис. 218. Пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, условие равновесия этой системы сил можно выразить в следующем виде: Обхя+ Дбхв+ ~- бхс+ арбус = О. Учитывая, что по условию задачи Р= О, и производя сокращение, имеем бхя+бхв+ ~ бхс-|-бус=О.
! Вводя обозначения ОА=а, АВ=Ь и ВС=с, выражаем координаты точек А, В и С через искомые углы р„гр„~р,: хя = а соз ф1' хв = а сов ф + Ь сезар х,=асов р, +Ьсозгр,+ссоз<р,; ус=аз|п~р,+и э|игр,+с ып~р,. Отсюда находим выражения вариаций координат этих точек через вариации углов гр„гр„<р,: бхл= — аз|и р,бр,; бх,= — пап р,бр,— Ь з!п р,б~р„; бх = — а ып<р,бгр,— Ь з!п ~р,бгр,— сын <р,Ьр,; бус = а соз е,бгр, + Ь соьгр,бгр, |-с сов гр,б~р,.
Подставляя эти значения вариаций координат в уравнение, выражающее условие равновесия системы, и группируя члены. г4 зм зз7~ содержащие Ьр„бр, и бср„получаем а (, оз /р, — 2,5 ып /р,) Ьр, + Ь (соз зр, — 1,5 з!п чз,) Ьр, + -( с(сов ср,— 0,5 ып ~р,) Ьр, == О, Это равенство должно выполняться при всяком возможном перемещении данной системы, т. е.
при любых значениях ва- риаций Ьр„Ьр, и Ьр„а так как эти вариации друг от друга не зависят и каждая из них может иметь произвольное значе- ние, то это возможно лишь при условии, что коэффициент прн каждой из эзнх вариаций равен нулю, т. е. соззр,— 2,5 ыпзр,=О, сов зр,— 1,5 ып зр, = О, соыр,— 0,5 ып/рз=О, или тц/р, =0,4; тд ~р,=0,6667; тд/р, =2. Отсюда находит зр, = 21'48', зр, = 33'40', /р, = 64'25'. Рис 2!9 Задачи псина Ш (задачи 922 — 924) Пример 181.
Трехшарнирная симметричная арка на~ ружена силами гз и Я (рис. 2!9). Найти горизонтальную составляющую реакции шарнира В при ука- Ср ванных иа рисунке размерах. ;4- Р е ш е н и е. Горизонтальную составляющую реакции шарнира В обозначим Х. Что/ бы найти эту реакцию, нужно / У! шарнирно-неподвижную опору 1- а / В заменить опорой на катках для того, чтобы точка В могла ! р перемещаться в горизонтальном А з/зд направлении Сообщим теперь У этой точке возможное горизон/ тальное перемещение бз . Тогда полуарка ОА повернется вокруг неподвижной точки А на некоторый элементарный угол 6/р, При этом точка зК О получит возможное перемещение йзо, которое будет направлено по касательной к дуге окружности, описываемой точкой О, т.
е. перпендикулярно к АО Зная направления возможных перемещений йзо и бза зочек О и В, находим мгновенпыи центр вращения С полуарки ВО как точку пересечения перпендикуляров, восставленных в точках О и В к векторам бзо и бз . Тогда перемещение полуаркн ВО можно представить как поворот вокруг центра С на некоторый элементарный угол бф . На основании принципа возможных перемещений имеем ХЬА=-ЬАх )-ЬАо+ЬАе=О.
Вычисляя работу каждой из сил Р, О, Х как произведение момента этой силы относительно ценгра вращения на угол поворота (см. формулу 163), получим ЬАх=-ать(Х) !Бгрс=Х2ббфс БАо= !тс (О) !6'рг= Я(26 Ь) бфс" ЬА =! тд (Р) ) бфд — Рабфд. Следовательно, получаем уравнение 2ХЙЬф — О (26 — Ь) 6 р + Рабфд = О, откуда 0 би — Ы Робфд 2а 2а Ьфс Так как точка О принадлежит одновременно обеим полу- аркам ОА и ОВ, то бзо =- А Обфл = ОСбфс. Но ОА = ОС, а потому бфд — — бф, и Х = — Я (2)г — Ь) — Ра). 1 2Ь $ а. ОБщее уРАВнение динАмики 1уравнецне Даланбера — Лагранжа) Применяя совместно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений к движущейся системе, можно сделать следующий вывод: при движении системы, на которую наложены совершенныв связи, сумма злвментарных рабогп всех заданных сил, действующих на систему, и сил инерции материальных точек системы равна нулю при любом возможном перемещении системы из занимаемоае ею в каждый данный момент положении.
' Работа силы О отрицательна, так как сила Я направлена относительно центра С по часовой стрелке, а поворот полуарки ЬО вокруг лого центра проиеаоаит против часовои стрелки. 391 Втот результат выражается одним из следующих уравнений: ~ч", (Р + Р '"') Ьг = О, или, так как Р— ти!, оп (242) ~(Р— тш) Ь =О, или в координатной форме (243) ~' ~(Х вЂ” т —,) Ьл+(г' — так) Ьу+ (7 — т — ',) Ьг~ =О. (244) Уравнение (242), или (243), или (244) называется общим уравнением динамики (уравнением Даламбера — Лагранжа).
В настоящем параграфе рассмотрим задачи двух типов: 1. Задачи, в которых требуется установить условия относительного равновесия системы. 1!. Задачи, в которых требуется определить ускорения точек системы. В задачах каждого нз зтих типов могут рассматриваться системы с одной нли несколькими степенями свободы. Задачи !пипа 1 (зааачи 925 — 929, 935 — 939) Высота муфты равна а. Ре шс п не. Координз!ные осн располагаем, как указано па рис. 220.
Заданными силами, дейс!в) ющими на систему, яв- Пример 182. Центробежный регулятор (рис. 220) состоит из двух шаров А и А' весом Р каждый, размерами которых можно пренебречь. Шары закреплены на концах А и А' коленчатых Е прямоугольных рычагов, котов!! ! рые имеют шарнирные опоры С Г~м. и С' на перекладине С'ОС, соединенной неизменно с осью регулятора. Муфта О весом Р, отжимается вниз пружиной, а с другой стороны поддерживас'! Р! !т ! с — — А' ется роликами В и В' рычагов ! регулятора.
Определить жест- кость с пружины, если при за- Б!н данной постоянной угловой скорости !з угол отклонения стержней СА и С'А' от вертикали равен ср. Даны расстояния: ОЕ = 1, АС=А'С'=а, СВ=С'В'=Ь, Рве 220 ОС=ОС'=е и длина недефор- мированной пружины 1,)1. лаются веса шаров и муфты, а также сила упругости пружины Я =- с)., где ). — деформация (сжатие) пружины. Кроме того, в точках А и А' приложим центр обеж ные силы инерции Ров= /:, = — Иго, где /с — расстояние от центра каждо Р И дого из шаров до оси вращения у. На основании уравнения Даламбера — Лагранжа сумма работ всех этих сил при любом возможном перемещении системы равна нулю. Следовательно, пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, имеем Ры>бхд — Г',"'бхд — Рбуд — Рбуд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
