Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Отсюда — (э. Р > о Растягивающее усилие в стержне ОС, очевидно, равно этой реакции У,. 5 3. теОРеМА ОБ Изменении КинетИчеСКОИ энеРГИЧ СиСтемы Кинетической энергией, или живой силой системы, называется сумма живых сил всех материальных точек этой системы, т. е. '=ХТ (225) где Т вЂ” кинетическая энергия системы, т и о — масса и скорость маеернальной гочки, принадлежащей данной системе.
Теорему об изменении кинетической энергии системы можно выразить в трех видах: 1) йТ х',йА, (226) т. е. дифференциал кинетической энергии системы равен сумме влементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему; 2) — =~И, (227) т. е. производная по времени от кинетической внергии системы равна мощности всех внешних и внупгренних сил, действующих на эту систему; Э)Т вЂ” Т, ~А, (228) т. е.
при перемещении системы из одного положения в другов, изменение ее кинетической энергии равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, действующих на эту сиспиму. Равенство (226) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме, а равенство (228)— ту же теорему в конечной форме. Равенство (227) выражает теорему о зависимости между кинетической энергией системы н мощностью действующих на систему сил.
Следует иметь в виду, что только в случае, когда имеется неизменяемая система (абсолютно твердое тело), сумма работ всех внутренних сил на .тобом перемещении системы равна нулю. Поэтому в общем случае при применении теоремы об изменении кинетической энергии системы внутренние силы учитываются.
В случае ппационарных связей без трения реакции таких связей не производят работы (сумма работ реакций при перемещении системы равна нулю). Поэтому в этом случае реакции связей не входят ни в одно из равенств (226) — (228). Прн вычислении работы и мощности сил, действующих на данную систему, следуе~ пользоваться формулами и указаниями, приведенными в э 3 главы П1. Задачи, огносящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие два основные типа: 1. Задачи на вычисление кинетической энергии системы. П. Задачи на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы, состоящей из одного тела или из нескольких тел. Задачи типа I При решении задач этого типа необходимо иметь в виду следующее: а) если чело, принадлежащее данной системе, движечся поступательно то его кинетическая энергия равна „а Т= М вЂ” с, 2 (229) где М вЂ” масса тела, о — скорость его центра тяжести (или любой другой его точки, так как при поступательном движении тела скорости всех его точек равны); б) если тело вращается вокруг данной оси, то его кинегическая энергия вычисляется по формуле в)3 Т=У вЂ”, 3 (230) где l — момент инерции тела относительно оси вращения, ы †е угловая скорость; в) если тело, входящее в систему, совершает плоскопараллельное движение, то в этом случае его кинетическая энергия вычисляется по формуле Т= М вЂ” +,1 (231) где М вЂ” масса тела, о — скорость центра тяжести тела, ы — его угловая скорость, ! — момен~ инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела и перпендикулярной к неподвижной плоскости, параллельно которой перемещается это тело (задачи !045, !046).
Пример 167. Вычислить кинетическую энергию механизма эллипсографа, состоящего нз кривошипа ОС весом Р, вращающегося вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью в н приводящего в движение линейку АВ с ползунами А и В, причем ОС=АС=СВ=!. й, Вес линейки 2Р, а веса ползунов А и В равны Я, = О, = О ~ о, (рис. 203). 1 2 1 Ц Р е ш е н и е. Так как данная система состоит из четырех тел, ! Х то ее кинетическая энергия, со- а ~д гласно формуле (225), равна Т=Т,+Т,+Т,+Т, йа Ряс 203 где Т, — кинетическая энергия крнвошипа, Т,— кинетическая энергия линейки АВ, Т, и ҄— соответственно кинетическая энергия ползунов А и В.
Кинетическую энергию кривошипа находим по формуле (230) и' РР и' Рн Т = ) —,= — — = — ы'. ' 2 Зд 2 бд Так как движение линейки АВ является плоскопараллельным, то по формуле (23!) имеем: 2Р ~с е й Т == — — +,) а а 2 с где 2Р (21У 2Р о =-йо и /с= — — = — 1'. с р 12 Зя Чтобы найти угловую скорость и, линейки, построим ев мгновенный центр вращения О„тогда ос 1о> Π— — — — — Э СО, 1 и, следовательно, и Теперь находим скорости точек А и В: оз —— О,Аы, = О,Ам о„= О, Вез, = О,Веь Отсюда по формуле (229) имеем: н 2 2а Т,= — — = — О,В в Я в 0 4 д 2 2а 1 и, следовательно, Т +Т =ч се'(О А'+О В') = — ~'АВ'= — ' с»*= — !'сэ'. Таким образом, Т вЂ” "' + " + " (3Р+4Я).
ва зд н 2а Пример 168. Планетарный механизм приводится в движение кривошипом ОА, соединяющим оси трех зубчатых колес 1, П и Ш. Колесо 1, радиус кото- 1 рого равен г„неподвижно; кривошип вращается вокруг неподвижной оси О с угловой скоо с и А ростью с». Вес каждого из ко°вЂ” лес П и П! равен Р, радиус каждого из ннх г, вес криво- шипа Я. Вычислить кинетическую энергию механизма, считая колеса однородными дисками, а Рис 204 кривошип — однородным тонким стержнем, если г, =-2г (рис.204).
Р е ш е н и е. Кинетическая энергия данной системы равна Т Т,+Т,+Т„ где Т„Т„Т,— соответственно кинетическая энергия кривошипа и колес П и П1. По формуле (230) находим: 10в' а ОА*б~' 2Ж 3 3 Т = ' = — — — = — г*е*. 2 л 3 2 Вя Кинетическую энергию колес П и 1П вычисляем по формуле (231): Р 'в "ве~ Т ! 3 д 2 2 Р ел !АЙ Т = — — + — ' у 2 2 где 1з и 1л — моменты инерции колес !! и 1П относительно осей, проходящих через точки В и А н перпендикулярных к плоскости рисунка, в, и в,— абсолютные угловые скорости этих колес.
Так как точки Л и В принадлежат кривошипу, то ол-— -.ОА в=бгв и оа-— -ОВв=Згв. Кроме того, 1л- — — г' и 1з —— — г*. 2я " 2д Так как колесо 1 неподвижно, то скорость точки С, принадлежащей колесу 11, равна нулю, т. е. точка С является для колеса 11 мгновенным центром вращения. Отсюда следует, что ьа Згв о = СВ в, = гв, и в, = — = — =- Зв. 3 По теореме сложения угловых скоростей в случае параллельных осей врацения относительная угловая скорость (по огношению к крнвошипу) колеса 11 будет равна в, = в, — в = Зв — в = 2в.
Так как колеса П и Ш имеют равные радиусы и находятся во внешнем зацеплении, то их относительные угловые скорости равны по величине и противоположны по знаку, т. е. ва =- — в, = — 2в. Потому по той же теореме абсолютная угловая скорость колеса Ш равна в,=в, +в= — в. Следовательно, Р, а Рг'9в' 27 Р а Т =-9г в+ — — = — гв', 2а 2и 2 4д Т= — 2бг в+ — — = — гв Р, а Рг в' 5!Р а 2,! 2к 2 42 н Т= — г в+ — Ргв+ — Ргв'= — гв+ — гв= 25 !7 а а 27 а а 51 , , 25 !7 а а З9 Р аа 4д 4Ы бд 2а 25|7-1-1!7 Р а а г в Ы Задачи типа 1! Задачи этого типа можно разделить на следующие три группы: 1.
Задачи, решаемые прн помощи уравнения (228), т. е. на основании теоремы об изменении кинетической энергии в конечной форме. Уравнение (228) следует применять в тех случаях, когда действующие на систему заданные силы или постоянны (и по модулю, и по направлению), или для них существует силовая функция, а в числе известных и искомых в задаче механических величин имеются, кроме этих сил, только скорости (линейные или угловые) и перемещения (поступательные или угловые) тел, входящих в данную систему 2. Задачи, решаемые при помощи уравнения (226), т, е. на основании теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
Уравнение (226) следует применять в тех случаях, когда заданные переменные силы (нли сила), действующие на систему, зависят от скорости, а известные и искомые в задаче механические величины те же, что и в предыдущем случае. В этом случае при интегрировании уравнения (226) сначала нужно разделить переменные, 3. Задачи, решаемые при помощи уравнения (227), т. е. на основании теоремы о зависимости между кинетической энергией системы и мощностью действующих на систему сил. Уравнение (227) следует применять в тех случаях, когда требуется найти (либо, наоборот, задано) ускорение тела — линейное (при поступательном движении тела) нли угловое (при вращательном данн,енин).
Первая группа Пример 160. Груз А весом Р, подвешен к однородному нерастяжнмому канату длиной Е и весом Я. Канат переброшен через блок В, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка. Второй конец каната прикреплен к оси катка С, катящегося без скольжения по неподвижной ~оризонтальной плоскости. Блок В и каток С в однородные круглые цилиндры радиусом г и весом Р, каждый. Коэффициент трения качения катка С о горизонтальную плоскость равен Г . В начальный момент, когда система находилась в покое, с блока В свешивалась часть каната длиной (. Определить скорость груза А в зависимости от его вертикального перемещения и (рис. 205).
Решение. Так как в данной задаче известными величинами являются перемещение й груза и постоянные силы Р„Р, 4, а требуется найти скорость и груза, то следует воспользоваться уравнением (228), выражающим теорему об изменении кинети- 260 ческой энергии в конечной форме: Т вЂ” Т, = ч~Р~А. Кинетическая энергия данной системы равна Т=Т,+Т,+ Т,+Т, где Т„ Т„ Т„ Т, †соответствен кинетическая энергия груза А, блока В, катка С и каната.
Так как скорость любой точки каната равна скорости о груза, движущегося поступательно, то по формуле (229) находим: Р, о' ой Т= — ' —, Т= — —. о2' ' а2 Кинетическую энергию вращающегося блока находим по формуле (230)1 Зам Р,г' о Т= — ', где У=,* и а=— 2 о (угловая скорость блока); следовательно, Рйой Т,= — ' 4о Так как движение катка С является плоскопараллельным, то по формуле (231) имеем: Р, ойс ой', Т = — — +У о 2 с 2 где,/ = -й- , йз, †углов скорость катка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
