Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Поэтому искомые реакции закрепленных точек будут в этом случае равны с т а т и ч е с к и м реакциям. При решении задач этой группы по принципу Даламбера следует иметь в виду, что в уравнение моментов относительно оси вращения г искомые реакции закрепленных точек не входят, так как нх моменты относительно этой оси равны нулю. Поэтому эти реакции определяются из остальных пяти уравнений равновесия.
Если в данной задаче, как это нередко бывает, требуется найти только реакции, перпендикулярные и оси ершпения г, то достаточно составить четыре уравнения равновесия (два уравне- ния проекций на оси т и у ,~Ь5 и два уравнения моментов относительно этих осей). Пример 177. Однородный мв а "'г тонкий диск радиусом Я н весом Р насажен на горизонтальный вал под углом а к Я у уз осн вала и жестко скреплен 8 с валом, причем центр тяжести О диска лежит на оси вала. Определить реакции под- шипников А и В, если вал вращается с постоянной угловой скоростью ы и АО=ОВ=а Весом вала н трением в подшипниках можно пренебречь (рис. 214).
Решение. Реакция каждого из подшипников перпендику. лярна к осн врашения вала и равна геометрической сумме двух сил: статической реакции, вызь1ваемой весом Р диска, и инерционной реакции, возникающей при вращении диска н обусловленной проявлением инерции материальных частиц вращающегося диска. Каждая из статических реакций равна, очевидно, -й- и на- Р правлена по вертикали вверх.
Для определения инерционных реакций применим принцип Даламбера. Составляющие инерционной реакции по координатным осям к и у, приложенные в точке А, обозначим Хз и )'з, а инерционные реакции, приложенные в точке В, обозначим Ха н Ув. Прн этом ось к лежит в одной плоскости с осью врашення вала и с нормалью Оп к плоскости диска, ось  — в плоскости диска; ось г направим по осн вращения вала Оси х и у связаны с диском и вращаются вместе с ним. Диаметр Ог, диска лежит в плоскости хОг и, следовательно, перпендикулярен к оси у. Так как сила Р уравновешивается статическими реакциямн подшипников, то, согласно принципу Даламбера, силы инерции материальных частиц диска будут уравновешиваться инерционными реакциями Хд, Кд, Хв, Уа.
Поэтому имеем следующие четыре уравнения равновесия: уравнение проекций на ось х Л',"'+ Х 4 Ха=-о, уравнение проекций на ось д Йд +1'д+1'а уравнение моментов относительно осн х М.'ю+ а1~д ауа — О, уравнение моментов относительно оси у М'„ю — аХд+ аХа = О. В этих уравнениях, как было уже указано выше, Ф,"', й„'"'— проекции на оси х и у, главного вектора сил инерции материальных частиц диска, М',"' и М'„ю — главные моменты этих сил относительно тех же осей. Так как в данной задаче центр тяжести диска лежит на оси вращения г и ы=сопз1, то хо=до=О и в=-О, поэтому из формул (234) и (235) имеем: Кроме того, так как ось у, направленная по диаметру диска, есть ось симметрии диска, то она является его главной центральной осью инерции, а поэтому У~,=О.
Следовательно, предыдущие уравйения принимают вид: Хд+Ха=О, 1 д+1 в — О, а(1 д Уа)=О а(Хд — Ха)=У ы . Из этих уравнений находим: Вычгслим центробежный момент инерции /,„. Если рассмотрим материальную частицу диска с массой т, то, как видно из рис. 215, координаты этой часзицы будут равны х=-Ьз!па, г=Ьсоза, где Ь вЂ” расстояние этой частицы от оси йс Следовательно, д' „='ГглЬ'з!пасоза= — з(п2а~~ глЬ', но ~~~ глЬ'— дх 2 момент инерции диска относительно оси у (огносительно диаМй' М1д2' метра), равный 4, поэтому .1„„= — з(п2а. аа! Таким образом, окончательно получаем: 11ий . Рй' и 1' = 1' = О, Х = — ' гз' з!п 2а= — ы' з!п 2а = — Хз з а л 1 за 16ан Отсюда видно, что инерционные реакции подшипников параллельны оси к; следовательно, эти реакции, сохраняя постоянную величину, непрерывно изменяют свое направление, так как ось х вращается вмеше с диском.
Отри- цательное значение силы Хз указывает на то, что эта сила имеет направление, противоположное принятому на рис. 214, а поэтому реакции Х „, Хз образуют пару сил, лежащую в плоскости, проходящей через ось вращения и нормаль Оп к плоскости диска. Рис 215 Рис 2!6 Пример 178. С вертикальной осью, укрепленной в подшипнике А и подпятнике В, жесгко соединены перпендикулярный к этой оси тонкий сгержень РЕ длиной ! и весом Р, и круглый однородный цилиндр весом Р,. образующие которого параллельны оси АВ. При этом цилиндр насажен эксцентрично так, что его центр тяжести С, находится от оси АВ на расстоянии ОС,=а. Цилиндр и стержень вращаются вокруг оси АВ с данной угловой скоростью ге=сонэ!.
Найти реакции подшипника А и подпятника В, если ВЕ = 1, ЕО = АО = — и ОС, ! ЕР (рис. 216). Р е ш е н и е. Проведем координатные оси, связанные с цилиндром, как указано на рис, 2!6, т. е. ось г направим по оси вращения ВА, ось !г — по прямой ОС, и ось к — параллельно стержню ЕР. Составляющие реакции подшипника А по осям к и д обозначим Х„н Ую а составляющие реакции подпягннка В по координатным осЯм — Хз, Уз и к,з.
Ззс ПРименяя принцип Даламбера, разобьем стержень ЭЕ на бесконечно малые элементы н к каждому такому элементу прнложнм соответствующую силу инерции. Так как в=сонэ(, то в=О и, следовательно, касательные силы инерции всех элементов стержня будут равны нулю, а их нормальные силы инерции (центробежные силы) будут направлены вдоль стержня от оси вращения. Равнодействующая этих центробежных сил имеет то же направление и по модулю равна Р',ю = ~ тхв* = в' ~ тх, где т — масса элемента, х — расстояние от элемента до осн вра- щения.
Но " ' пгх= М,хс, = — хс„где хс,— расстояние центра Р, тяжести С стержня от оси АВ, равное —, поэтому Р',"'= — '!в*. ! 2 2у Так как плоскость хОу является для цилиндра плоскостью симметрии и цилиндр вращается равномерно, то, как было указано выше, силы инерции материальных частиц цилиндра приводятся в этом случае к одной равнодействующей Р',"~, равной центро- бежной силе центра тяжести С, цилиндра в предположении, что в этом центре сосредоточена вся масса цилиндра. Следова- тельно, Р',"'= М,ус,в' = — 'ав', эта сила Р', ' приложена в точке С, н направлена по ОС„т, е. по осн у, Согла!:но принципу Даламбера, заданные силы Р„Р, реак- ция Ха, Уа, 2з, Хю Ух и силы инерции Р)"~, Р',"! взаимно у!равновешйваются; поэтому для втой системы сил можно соста- вить следующие пять уравнений равновесия (три уравнения проекций на оси х, у, г н два уравнения моментов относительно осей х и у): Х,+Ха-( Р,'ю=О; У,+У,+Р',"'=О; 7д — Р,— Р,=О; ! 3 — Р,а — Ух — + — Уа! =О; х 2 2 нли Хх+ Ха —— — — (в; Ух+У = — — 'ав', I =Р,+Р,; Звз собой изменения координат этой точки при ее возможяом пере- мещении, называемые вариацияма координат этой точки.
Если на систему, состоящую нз и материальных точек, наложены э стационарных связей вида ),.(х„у„г„..., х„, у„, г„) =О (1=1, 2, ..., в), (238) то из Зп координат точек системы произвольными являются только Зп — в, а остальные в координат могут быть выражены как функции этих произвольных координат нз з предыдущих уравнений. Число (239) т. е. число независимых координат точек системы называется числом степеней свободы этой системы.
Если сумма элементарных работ реакций связей, наложенных на систему, при любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются сочершенными (идеальными). Необходимое и достаточное условие равновесия системы с совершенными связями дает принцип возможных перемицений, который формулируется следующим образом: для того чтобы рассматриваемое положение системы с совершенными связями являлось положением равновесия этой системы, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех заданных (активных) сил, действующих на систему, при любом ее всоможном перемещении из этого положения равнялась нулю.
Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесна системы выражается уравнением ~ч ', ЬА = ~ч ', Р сова Ьэ =- О. (240) Пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, получим общее у р а в н е н и е статики в таком виде: ч~' „(Хбх+ Убу + Ябг) = О. (241) Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на три типа: 1, Задачи, в которых при заданном положении равновесия системы требуется определить силы, действующие на систему, или найти зависимость между этими силами. 11.
Задачи, в которых при заданных силах, действующих на систеьау, требуется определить положение равновесия этой системы. 11!. Задачи на применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей. Следует иметь в виду, что в каждом нз этих типов могут рассматриваться системы с одной или несколькими степенями свободы. Задачи типа 7 (аадачи ваа — ввв, вн — вв)) Пример 179. Два невесомых стержня АВ и ВС соединены шарниром В, в котором приложена вертикальная сила К направленная вниз. Конец С шарнирно прикреплен к стене, а — — — — — -,т конец А шарнирно соединен с л л' ползуном, который может без Л трения скользить по полу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
