Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отсюда искомая сила Р=)/ Рт+Р'„=б н. окружность, расволожеиную в горизонтальной плоскости, с центром в точке О, и радиусом, равным й. К этому шару приложены три силы: вес Р и реакции 5, и 5, стержней А0 н АС, направленные вдоль этих стержней и равнйе искомым усилиям. Применяя уравнения движения материальной точки в естественной форме, т. е. уравнения (112), и проектируя все силы, приложенные к шару А, на естественные оси т, п н Ь, показанные на' рис. 140, имеем: т — =О, З ,з т — = (5, + 5,) в(п а, О = (5, — 5,) сов а — Р, или, учитывая, что о=ей.=е(в(па, получим: т( в1п а — =О. ае т т1 в1п ае'=(5, +5,) вйп а, 0=(5,— 8,) сова — Р. Следовательно, 5,+5,= — (е', е=сопв(, 5 — 5 = —.
сова ' Аналогичным соотношением удовлетворяют действующие на шар В реакции 5, и 5, стержней В0 и СВ, причем, очевидно, 5,=5, и 5,=5,. Рассмотрим теперь муфту С, к которой приложены вес Я и реакции 5„5, стержней СА и СВ, равные по модулю и противоположные по направлению силам 5, и 5,. Так как при а=сонэ( муфта С по оси г не перемещается, то сумма проекций всех приложенных сил на ось г равна нулю, т. е. Я вЂ” (5, +5,) сова=Я вЂ” (5, +5,) сова=О. Таким образом, мы получили следующие три уравнения для определения неизвестных 5„5, и е: 1) 5, +5, = — (е'; 3) 9=25, сова. 242 Решая зти уравнения, находим: ч'+2Р 2, Я+Р Я =- —, Я = —, сз*= — ° —- 2сова' ' 2сова ' ~ Реева Пример 103.
Материальная точка массы т движется в плоскости Оху в сопротивляющейся среде под действием силы притяжения к центру О, равной Р= — й'тг, где й сопв(, г — радиус-вектор втой точки. Найти силу сопротивления среды Р, как функцию скорости, если известны уравнения движения точки: х=ае "'(в(п й,с+а), у=йе "'в1п (й,с+р), причем й, = $' й' — п'. Решен не. 1. Находим проекции скорости и ускорения движущейся точки на ось Ох: о„=х=ае "'[й, сов(й,$+ а) — ля(п(й,1+а)) го„=х=ае "' Кл' — й ) в)п (й,)+а) — 2лй, сов(й,) )-а)); так как л* — й',= 2и' — й', то со„= — й*ае "' в|и (й,1+ а) — 2аие-"' х и (й, сов (й,) + а) — п в) и (й,т + а)) =- — й*х — 2ло„. На основании уравнений (96) имеем: тсо„= Х = Р„+.
Р,„; но Р = — й'тг„= — й'тх, х а потому т~о„= — й'тх + Р, „, или — тй'х — 2тло„= — й*тк+ Раа откуда Р,„= — 2тпо„. Аналогично находим Р, = — 2тп о„. Следовательно, искомая 1У сила Р, = — 2тло, т. е. сила сопротивления среды, пропорциональна скорости точки и направлена противоположно втой скорости. 243 Таблица И Классификация задач Типы задач Группы и (ириаолинейное движение! ! (прямодинейное движение! Задачи 652, 672, 673 Задачи 649 †6 ' 1-н (н движущейся точке приложена одна сила) 2-я (к движущейся точке приложено несколько сил) Задачи 637, 638, 640, 648, 653 — 655, 658, 659 — 661, 662 Задачи 644 †6, 656, 663, 667, 669, 670, 671 й 3.
ВТОРАЯ ОснОВнАя 3АдАчА динАмики точки Эта задача заключается в том, что по заданным силам, приложенным к движущейся материальной точке, массе этой точки и начальным условиям ее движения (начальному положению и начальной скорости), требуется определить движение этой точки.
Для решения этой задачи необходимо: 1) установить, какие силы действуют на материальную точку; 2) составить дифференциальные уравнения движения точки в форме (110) или (112); 3) проинтегрировать эти уравнения; 4) определить по начальным условиям движения произвольные постоянные, которые войдут в интегралы этих уравнений. Если интегрирование дифференциальных уравнений движения точки сводится к квадратурам, как в приводимых ниже примерах, то будем вычислять эти квадратуры в соответствующих пределах, т. е. будем вычислять определенные интегралы, причем нижние пределы интегрирования определяются начальными условиями движения точки.
Тогда отпадает необходимость определения произвольных постоянных. Заметим, что почти во всех задачах, помещенных в сборнике И. В. Мещерского и относящихся ко второй основной задаче динамики точки, имеются два типа дифференциальных уравнений: или уравнения с разделяющимися переменными, или линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Задачи э!ого параграфа можно разделить на следующие три основных типа. 1. Задачи, относящиеся к прямолинейному движению свободной материальной точки. 244 ' Номера задач указаны нз сборника И. В. Мещерского изд. 1950 г. и последующих изданий. П. Задачи, относящиеся к криволинейному движению свободной материальной точки. П1. Задачи, относящиеся к движению несвободной материальной точки. Задачи типа 7 Задачи этого типа, в которых рассматривается прямолинейное движение точки, можно разделить на четыре группы. Первая группа Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке постоянна.
Если траекторию прямолинейного движения точки принять за ось х, то дифференциальное уравнение движения точки в этом случае примет вид тх=Х=-сопз(, откуда Х х = — =сопз1. Ш где и,— начальная скорость точки. Отсюда Х Р х=х +о г+ —— о е т 2 (117) Это уравнение выражает закон прямолинейного движения точки под действием постоянной силы. Если в задаче требуется найти скорость о как функцию от расстояния х, то левую часть уравнения (108) приведем к виду аз аз ах аз ш — =п1 — — =шо— и= дх'ж= ахФ тогда уравнение (111) принимает внд Дз Х и — = — = соп51, йх т откуда и й ~'ода=~ — дх, мд Так как в случае прямолинейного движения точки ускорение ее ю=х, то ю=сопз1, т. е.
движение точки является равнопеременным. Поэтому по формуле кинематики для пройденного пути при равномерно-переменном движении имеем; в~И з=х — х,= о,Г+— 2 или „, „* х — «= — (х — х ), — 6« 2 «' о =о,+2 — (х — х,). х (118) т. е. о'=4+2.0 5-5=204, откуда о = 14,28 м, сек. Вторая группа Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к одной материальной точке, есть функция времени г. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид тх=Х =~(«). Так как х= о„ = о, то получаем дифференциальное уравнение первого порядка т — =) (1), ео Ю или Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, имеем; то — то, = ) г (г) «(г, « откуда о = — =о + — ) ) (1) «(«. ех 1 Г «Ц Ф в (119) Пример 104.
Материальная гочка массы т=0,5 кг движется под действием постоянной силы г'= 10н. В начальный момент скорость гочки равна о,=2 м«сек. Определить скорость точки в тот момент, когда она пройдет расстояние а=5 м. Решение. Так как скорость точки требуется нанти как функцию расстояния, то по формуле (118) имеем: о =о,+2 — (х — х), х Интегрируя это уравнение первого порядка, получим х как функцию от г', т. е. найдем искомый закон движения точки. Пример 105, На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила г', равномерно убывающая с течением времени и по истечении Т сех обращающаяся в нуль.
Какой скорости достигнет точка по истечении Т сск и какой путь она пройдет за это время, если в начальный момент(1=0) скорость точки равна нулю, а ее ускорение равно в, (рис. !41)? Решение. Так как сила г", действующая на материальную точку, убывает равномерно с течением времени, то г"=г,— а(, причем а=сонэ(.
Рис 14! В начальный момент ускорение точки равно щ„поэтому Р,=-тю,; кроме того, при 1=Т по условию Г=О, а потому Р,— аТ=О; отсюда Шмд тм, I а= — ' и г"=те — — 'г=ппэ ( 1 — — ~ . =т = ° т = ~(, т) Следовательно, дифференциальное уравнение движения точки на основании равенств (111) запишется так; жэь l / — =г"=ппэ ( 1 — — 1, или до =в ~1 — — ~ой и ~(, т)' т) Интегрируя это уравнение в пределах от о,=О до о и от О до 1, имеем: э'х Так как о= —, то дг ' откуда ~Ь = ~, ( ) — — ) пг. Интегрируя это уравнение в пределах от О до х и от О до г, находим; ! 8 2Т,') ' ~~ = 2 (1 Зт)) 24т ренцнального уравнения. Две произвольные постоянные в оотцем решении находятся по начальным условиям движения точки.
Пример 100. Материальная точка М массы т движется прямолинейно по осн Ох. Точка отталкивается от неподвижного центра О силой г", пропорциональной массе т и расстоянию, причем коэффициент пропорциональности равен Ф = 4. Найти закон движения точки, если начальное расстояние ее от центра О равно х,=5 м, а начальная скорость о,=2 м,'сех (рис, 142).
й и — х — 4,, Рис. 142 Р е ш е н и е. П е р в ы й с п о с о б. По условию задачи Р=- йтх, поэтому дифференциальное уравнение движения имеет вид тх= йтх, или х=4х. Так как в данном случае т'(х)=4тх, то по формуле (120) имеем; иди = 4хт)х, откуда с х ~ Ыо = 4 ~ хт(х = 2 (х' — хзс), Ю хт или —,(о' — о,') = 2 (х' — х,'), 2 т е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
