Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 34
Текст из файла (страница 34)
3356. Показать, что всякая линия является огибающей семейства своих касательных. 3357. Показать, что эволюта линии является огибающей семейства ее нормалей. Найти эволюту параболы уч=2рх как геометрическое место центров кривизны и как огибающую семейства нормалей. Сравнить результаты. 3358. Доказать теорему: если линия (А) есть огибающая семейства прямых хсоз 1+уз)п г — г(1) =О, то эволюта линии (А) является огибающей семейства прямых — хе)п1+ у соя г' — (' (1) = О. 3359. Радиус-вектор ОМ произвольной точки М равносторонней гиперболы ху= 1 проектируется на асимптоты гиперболы, Найти огибающую эллипсов, построенных на проекциях ОМ, как на полуосях. тая Гл хе пРименения диФФЕРеныихльного исчисления й 3. Векторная фуницня скалярного аргумента.
Линии в пространстве. Поверхности Векторная функция скалярного аргумента 3360. Доказать формулы дифференцирования д— (ио)=и--+и —, д — (ихо)=их — „+ — хе. Здесь и и о — векторные функции скалярного аргумента 1. 3361. Дано г=г(Г). Найти производные; а) --(гз); б) — ~г„— ); Р) -~гх„-,-); г),—,~г — — ). й' 3362. Дано, что при всех значениях 1 векторы «(() и — кол- Ж ~рг Д~Г УЗГ линеарны.
Доказать, что и векторы —, —, ..., — коллинеарны вектору г (Г). 3363. Доказать, что если модуль )г( функции г(г) остается дг постоянным для всех значений Г, то —, ( г. (Каков геометрический смысл зтого факта7) Имеет ли место обратная теоремаг 3364.
Дано г= исоа ьи'+Ьз!и аГ, где «и Ь вЂ” постоянные векторы. Доказать, что 1) гх — =ыахЬ и 2) д,-+из«=0. 3365. Доказать, что если а — единичный вектор направления вектора Е, то ехбе= —, Ех№Е 3366. Доказать, что если г=ае '+Ье ", где «н Ь-постоянФг ные векторы, то — — оР«=0. хч 3367. и=а(х, у, х, г)(+р(х, у, г, ()1+у(х, у, г, ()й, где х, у, г — функции от (.
Доказать, что аа да д№ дх да д» да дх Ф д~ дх йр ду Ф ах~и' 3368. Дано: г = г(и), и = ~р(х). Выразить производные Лг д-г Лг Лг Фг дхг дх' дх~' дха ~' " ди' ди2' Ыи~' 3369. Доказать, что если для векторной функции г=г(г) дг имеет место соотношение „вЂ” =а«, где и=сонь(, то годографом функции г(Г) является луч, выходящий из полюса.
3370. Пусть функция г(() определена, непрерывна н днфференцируема в интервале (Гы Щ причем г(г1)=г(тз). Применить теорему Рояля к функции «г, где а — произвольный постощщый вектор. Объяснить результат геометрически. $ Х ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 20Т Пространственные линии В задачах 3376 — 3383 составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости дли данкых линий в указанных точках: ~1 Н Г1 Зз зз 1з 3376. г ! — , — , †), т, е. х = — , у = — , г = †, в произвольной точке.
3377. х=асоззр, ° ') АУ2 а)'2 А1 —, —, — 1. Доказать, что касательная во всех точках линни составляет с осью Ог один и тот же угол. 1 з 1 3378. х=аз, у= — оР, г= — аР в точке (Ба, 18а, 72а) 2 ' 3 3379, х=1 — з(п(, у=! — соз(, 2=4з!п — в точке (зз)2-1, 1, 272 3380. Уз+аз=25, ха+у'=10 в точке (1, 3, 4).
А у = о з1п 1р, г = — зр в данной нзчке 3371. Дан радиус-вектор движущейся в пространстве точки г(аз(п1,— асозз, ЬР» (г — время, а и Ь вЂ” постоянные). Найти годографы скорости и ускорения. 3372. Найти траекторию движения, для которого радиус-векй тор движущейся точки удовлетворяет условию — = айаг, где зг а — постоянный вектор. 3373. МатЕРИаЛЬНаЯ тОЧКа ДВИжЕтСЯ ПО ЗаКОНУ Г= НАГ'+ — 8Р 1 2 (г — радиус-вектор этой точки в момент Г, я, и й' — заданные векторы). Показать, что: П кинетическая энергия материальной точки есть квадратичная фуиккня времени; 2) ез — начальная скорость (т. е, значение вектора скорости в момент з=О); 3) движение происходит с постоянным ускорением, равным вектору й, 4) движение происходит по параболе (если только векторы нз и у не коллииеариы», ось которой параллельна вектору я; 8374.
Закон двяження материальной точки задан формулой г=асоз(+йз(п1+с, где векторы а и й взаимно перпендикулярны. Определить траекторию движения. В какие моменты скорость движения будет экстремальной? В какие моменты ускорение будет экстремальным? 3375. формулы преобразования декартовых координат в сферические имеют вид х=ргбпэ сох 4~, у=рз!паз!Н4~, а=рсоа 0, где р — расстояние данной точки от полюса, Š— ширззта ее, зр — азимут или долгота.
Найти компоненты скорости движения материальной точки в иаправяеииях единичных ортогональных векторов яр, ее. еч. 203 Гл. Хь пРименения диФФБРенциАльнОГО исчисления 3381. 2г'+Зр'+за= 47, х'+29'=г в точке ( — 2, 1, 6). 3382. х'+у'=г', к=у в точке (хе. уа, го). 3383.
к'+г'=а', р'+г'=Ьа в произвольной точке. 3384. На линии Г(соз1, а!П1, е') найти точку, касательная в которой параллельна плоскости 3/Зх+р — 4=0. В задачах 3385 — 3387 составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали к данным линиям в указанных точках.
3385. у'=х, х'=г в точке (1, 1, 1). 3386. х' = 2аг, уг=2Ьг в произвольной точке. 3387. г (е', а-', Г)/2) в точке (е, е-'. У2) 3388. Показать, что касательные, главные нормали и бинормали линии г(е'сох|, е'з!и1, е') составляют постоянные углы с осью Ог. В задачах 3389 — 3392 составить уравнения касательной прямой, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали и спрямляющей плоскости к данным линиям в указанных точках. 3389. Л=Р, у=-1 — Г, г=Р в точке (1, О, !). 3390. х'+у'+г'= 3, х'+у'= 2 в точке (1, 1, 1). 3391. г !з!и1, соз1, 151) в точке ! —, —, 1). (~! 2 у3 3392.
г(Р— Р— 5, ЗР+1, 2Р— 16) в точке, соответствующей значению параметра 1= 2. 3393. Показать, что линия г(2!+3, 31 — 1, Р) имеет во всех точках одну и ту же соприкасающуюся плоскость. Объяснить этот факт геометрически. 3394. Доказать, что линия г' (аГР+ Ь11+со ОАР+ Ь.,!+с„ааР+ ЬА!+ с,) плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой она расположена. 3395. Найти радиус кручения линии г)сох(, з!и!, СЫ). 3396.
Найти радиус кривизны линии г(!П сох 1, !па!и!, )'21), О(!(П(2. Показать, что кручение в любой ее точке равно кривизне в этой точке. 3397. Показать, что для линии л(Рсоа!, е'а!Пг, е') (см. задачу 3388) отношение кривизны к кручению остаегся постоянным для всех точек кривой. 3398. Как выразится кривизна пространственной линии, заданной уравнениями у= <р(х), г= ф (х)7 3399. ВыРазить вектоРы ть А ь ))1 чеРез пРоизволные РаДИУС- вектора точки на кривой г= г(1). 3466. Выразить каждый нз векторов тп тп )) через два дру.
ГИХ. а а. вектоунля еункция склляеного аугумента 209 340!. Найти вектор аз(з) (вектор Дарбу), удовлетворякнций условиям Ж, ат~ . ар, — = е х тк — = аз х тп — — = та х «) о л ! л а Длина дуги пространственной линии В задачах 3402 — 3409 найти длину дуги линий. 3402. г«21, 1п1, Р) от 1=1 до 1=10. 3403. г«асов(, аеЗп1, а1псоз1! от точки (а, О, 0) до точки 3404.
г«а'соз 1, е'а!п1, а') от точки (1, О, 1) до точки, соответствующей параметру 1. 3405. х'=Зд, 2хд=9г от точки (О, О, 0) до точки (3, 3, 2). 3406. г'=2ах,9д'=16хготточки(0,0,0)доточки(2а,8а73,2а). 3407. 4ах=(д+г)', 4х'+Зд'=Зг' от начала координат до точки (х д г) за 3408. д =)Г2ах — х', г = а 1п — от начала координат до точки (х, д, г). 3409. д=аагсз!п —, г=-4-а!п — от начала координат до х 1 а+а та ал а точки ! — — — 1п3).
'12' е'4 Поверхности В задачах 3410 — 3419 для данных поверхностей найти уран пения касательных плоскостей и нормалей в указанных точкак. 3410. г=2ха — 4д' в точке (2, 1, 4). 3411. г=хд в точке (1, 1, 1). 3412. г= ' „,У ~ в точке (а, а, — а). 3413. г=)/ ха+да — хд в точке (3, 4, — 7).
3414. г= агс1я У в точке (1, 1, и/4). ~г уз гз ~а!~а Ь|~З а! З11 3415. —. + — + — =1 в точке ( —, —, —, ' а- Ьт ат з з' зl' 3416. ха+д'+гз+хдг — 6=0 в точке (1, 2, — 1). 3417. Зх4 — 4д'г+4г'хд — 4г'х+1 = — 0 в точке (1, 1, 1). 3418. (г' — ха)хдг — д'"'=5 в точке (1, 1, 2). 3419. 4+)/х'+д'+г'=х+д+г в точке (2, 3, 6). 3420. Показать, что уравнение касательной плоскости к зллипсоиду — -(- а„+ г— = 1 в любой его точке Мь (хь, дь, г,) имеет вид ае Ь"- с'-' хах УаУ аФ вЂ” + — + — =1 ° аа Ьз а' 2!О Гл, хь пРименения диФФБРенциАльнОГО исчисления 3421. К эллипсоиду хг+2уг+гг=! провести касательную плоскость, параллельную плоскости х — у+2г=О.
3422. К зллипсонду г, + ~, + г =1 провести касательную пло скость, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки. 3423. Показать, что поверхности х+2у — 1пг+4=0 и хг— — ху — 8х+г+5=0 касаются друг друга (т. е. имеют общую касательную плоскость) в точке (2„— 3, 1). 3424. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности а=ха~ — ~, пересекаются в одной точке. ГР1 3425.
Написать уравнения касательной плоскости и нормали к шару г (и соз о, и з1п и, )Гаг — иг( в точке гг (хе, уг, гг) 3426. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к гиперболическому параболоиду г(а(а+о), Ь(а-п), ио) в произвольной точке (х„д„г,). 3427. Доказать, что поверхности х'+ у'+ г' = ах и х'+ у'+ гг= = Ьу ортогональиы друг к другу. 3428. Показать, что касательная плоскость к поверхности хуг=а' в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраздр постоянного объема.
Найти этот объем. 3429. Показать, что касательные плоскости к поверхности д'х+ р' у+~~ а= )' а отсекают на координатных осях отрезки, сумма которых равна а. 3430. Для поверхности г=хд написать уравнение касатель.г+2 у+2 г †! ной плоскости, перпендикулярной к прямой— 3431. Показать, что для поверхности хг+ф+га=д длина отрезка нормали между поверхностью и плоскостью хОу равна расстоянию от начала координат до следа нормали на этой плоскости. 3432. Доказать, что нормаль к поверхности эллипсонда врахг+гг йг щения ~ +26 — — 1 в любой его точке Р(х, у, г) образуетравные углы с прямыми РА и РВ, если А(0, — 4, 0) н В(0, 4, 0).
3433. Доказать, что все нормали к поверхности вращения г=)():хг.+уг) пересекают ось вращения. 3434. К поверхности х' — у' — Зг = 0 провести касательную плоскость, проходящую через точку А (О, О, — 1), параллельно прях у г 3435. На поверхности ха+уз+ге — бу+4г=12 найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.
3436. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности х=и+и, у=иг+пг, г=и" +о" в произвольной точке. Выразить коэффициенты этого уравнения: % с ск»ляРиОа пОле. ГР»диаит 211 а) через значения параметров и, и оо' б) через координаты Х„уо, го тачки касания. 3437. Найти геометрическое места оснований перпеыдикуляров, опущенных нз начала координат на касательные плоскости к параболоиду вращения 2рг = х'+ у'. 3438. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на касательные плоскости к парерхности луг=а'. 3 4, Скалярное поле. Градиент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
