Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Проиэаадыая по направлению Градиент 3430. 1) ф (х, у) = х' — 2ху+ Зу — 1. Найти проекции градиента в точке (1, 2). 2) и = 5»оу — Зху'+ у'. Найти проекции градиента в произвольной точке. 3440. 1) г =хо+уз. Найги вагаб г в точке (3, 2). 2) г=)/4+хо+уз. Найти йгабг в точке (2, 1). 3) г= агс13 — "„. Найти йгабг в точке (хо, уо). 3441. 1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности г=1п(х'+4уо) в точке (6, 4, )п100).
2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности а=хо в точке (2, 2, 4). 3442. Какова направление наиболыиего изменения фуыкции ~р(х, у, г)=хо(пг — усозг в начале координат? 3443. 1) г=агсз(п —. Найти угол между градиентами этой к+у' функции в точках (1, !) и (3, 4). 2) Даны функции г=р'х'-1-у' и г=х — Зу+р'Жу. Найтя угол между градиентами этих функций в точке (3, 4). 3444. 1) Найти точку, в которой градиент функции г 11 16 1п~х+ — ~ равен о — —,г.
у 9 2) Найти точки, в которых модуль градиента функции г ою (хо+ уо)ол равен 2. 3446. Доказать следующие соотношения (гр н ф — дифференцируемые функции, с — постоянная): йгаб (~р+ф) = йгаб ~р+йгаб ф; йгаб (с+ ~р) = дгаб <р; йгаб(ор)=сйгаб~р; йгаб(уф)=срйгабф+фйгаб1р; йгаб (~р") = п<р "йгаб ~р; йгаб ~<р(ф)1 =<р'(ф) йгвбф. 3446. г=~р(и, о), и=ф(», у), о=~(х, у). Показать, что вагаб г = — йгаб и+ — игам ш де де ди й 3447. !) и(х> ур г)=хуог.
Найти проекции Ятаби в точке (хо~ уо го) 212 ГЛ Х!, ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 2) )*, у, )=1 У+71-Р. ню х д 3448. Показать, что функция и=1п(х'+у'+гх) удовлетворяет соотношению и = 2!и 2 — 1п (йтад и)'. 3449. Доказать, что если х, у, г суть функции от 1, то 3, Г (х, у, г) = йгабт —,, ег где г=хй+уу+гй. 3450. Использовать доказанное в предыдущей задаче соотно- шение для нахождения градиента функции: 1) т' = г-"; 2) ~ =- ~ г й 3) 1 = г (г'); 4) ) = (аг) (Ьг); 5) т = (аЬг); где а и Ь вЂ” постоянные векторы. Производная по направлению 345!. 1) Найти производную функции г=х' — Зх'у+Зху'+1 в точке М (3, 1) в направлении, идущем от атой точки к точке (6, 5). 2) Найти производную функции г=агс!уху в точке (1, 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла. 3) Найти производную функции г=х'ух — хух — Зу — ! в точке (2, 1) в направлении, идущем от этой точки и началу координат.
4) Найти производную функции г=!п(е" +ех) в начале коор- динат в направлении луча, образующего угол а с осью абсцисс. 3452. Найти производную функции г=!п(х+д) в точке (1,2), принадлежащей параболе ух = 4х, по направлению этой параболы. 3453. Найти производную функции г=агс!К вЂ” в точке 1 —, — ). х принадлежащей окружности х'+у' — 2х = О, по направлейию этой окружности. 3554. Доказать, что производная функции г= — в любой х точке эллипса 2х'+у'= ! по направлению нормали к эллипсу равна нулю.
3455. 1) Найти производную функции и =хух+г) — хуг в точке М(1, 1, 2) в направлении, образующем с осями координат углы соответственно 60', 45', 60'. 2) Найти производную функции и)=хуг в точке А(5, 1, 2) в направлении, идущем от этой точки к точке В(9, 4, 14). 3456. Найти производнуюфункции и=х'дхгх в точке А(1,— 1, 3) в направлении, идущем от этой точки к точке В(0, 1, 1).
3457. Доказать, что производная функции и = —, + ь, + —;; в любой точке М (х, у, г) в направлении, идущем от этой точки к началу Координат, равна — †,"-, где Г=У х' +у' +г' 3458. Доказать, что производная функции и =г(х, у, г) в на- правлении ее градиента равна модулю градиента„ 3459. Найти производную функции и= 1))г, где г~=х~+уз+гз, в направлении ее градиента. ГЛАВ А Х11 МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ $1. Двойные и тройные интегралы 3460. Тонкая пластинка (ее толщиной пренебрегаем) лежит в плоскости хОу, занимая область Р.
Плотность пластинки является функцией точки: у=у(Р)=у(х, у). Найти массу пластинки. 346!. На пластинке задачи 3460 распределен электрический заряд с поверхностной плотностью т=т(Р) =т(х, у). Составить выражение для полного заряда пластинки. 3462. Пластинка задачи 3460 вращается вокруг оси Ох с угловой скоростью ы. Составить выражение для кинетической энергии пластинки. 3463.
Удельная теплоемкость пластинки задачи 3460 меняется по закону сг е(Р) = с(х, у). Найти количество тепла, полученное пластинкой при ее нагревании от температуры 1, до температуры 1, 3464. Тело занимает пространственную область !1; его плотность является функцией точки: у=у(Р) = Т(х, у, г). Найти массу тела. 3468. В теле задачи 3464 неравномерно распределен электрический заряд; плотность заряда является функцией точки: б = = 6(х, у, г). Найти полный заряд тела.
В задачах 3466 — 3476 оценить интегралы." 3486. ~) (х+у+10)па, где Р— круг хе+у' ~4. 3467. ) ) (х'+ 4у'+ 9) ~Ь, где Р— круг х'+ да = 4. о 3468, ~ ~ (х+ у +! ) па, где Р— прямоугольник 0 =- х - 1, 0 ~ о .~ д 2 3466. ~ ~ (х+ ху — х' — уз) Йт, где Р— прямоугольник 0 =-х ==1, о 0 =.у -2. 3470. ))ху(х+у)1Ь, где Р— квадрат Осх(2, 0(у -2. о 3471. ))(х+1)апа, где Р— квадрат О~х =2, О~у~2, о х14 Гл, хп.
лгнОГОмеРные интеГРАлы и кРАтнОБ интеГРиРОВАпие 3472. ) ~ (х'+ у' — 2)/х'-~у'+ 2) г(а, где 0 — квадрат 0(х(2, о О==.у(2. 3473. ~ ~ (х'+ у' — 4х — 4у+ 10) г(п, где 0 — область, ограниченная эллипсом х'+4у' — 2х — 1бу+13=0 (вили!чая границу). 3474, ) ~)(х'+уг+гг) гйг, где й — шар хг+ут+ат -ЯА. 3475. ~~)(х+у+а) гЬ, где Я вЂ” куб х==1, у»1, а-1, х~З, о у=-З, а~ 3. 3476.
))')(х+у — а+!0)г(п, где Я вЂ” шар х'+у'+аз-=З. и 6 2, Кратное иитегри(и!ванне Двойной интеграл, Прямоугольная область В задачах 3477 — 3484 вычислить двойные интегралы, взятые по прямоугольным областям интегрирования )7, заданным условиями в скобках: 3477.
) ') ху т(х г(у (0<х(1, О~у(2). о 3478. ~ ~ ак+гг г(х т)у (О(х~1, О=".у =1), о 3479 ~ ~ +, г(хг(д (0(х~1, О~у~1). о 3481. ~~ е ", (О =.х~1, 0(у -1). о (1+хг+дг)ка 3482. ) ) х а(п (х+у) г(х г(у (О ~ х ~ аг, 0 ~у - - и/2). о 3483 ~ ~ «туек» г(х г(у о 3484. ~)хаусоз(ху')г(хг(у (О=.:-.х~п,г2, 0(у~2). о (О=х~1, О=.у(1) (О-=х -1, 0 =у(2) Двойной интеграл. Произвольная область В задачах 3485 — 3497 найти пределы двукратного интеграла 1~! (х, у) г(х г(у при данных (конечных) областях интегрирования В: гг 3465. Параллелограмм со сторонамя х=З, х=5, Зх-2у+ + 4 = О, Зх — 2у+ 1 = О. 6466.
Треугольник со сторонами х=О, у=О, х+6=2. 3487. ха+уз(1, х)0, у-=О. б 2. ЕУАтмое иятег4»наование 2!5 3498. х+у(1„х — у( 1, х~0. 3439, у~х?, у =4 — х'. 3490. -4- + "— = 1. 3491. (х — 2)2+ (у — 3)2 ~ 4. 3492. 0 ограничена параболами у=х' и у =)Гх. 3493. Треугольник со сторонами у=х, д=2х н х+у= 6. 3494. Параллелограмм со сторонами у=х, у=х+3, у = -2х+1, у= — 2х+5.
3495. у — 2х(0, 2у — х~0, ху~2, 3496. у?~8х, у~2х, у+4х — 24~0. 3497. 1? ограничена гиперболой у' — х'=1 н окружностью х'+у'=9 (имеется в виду область, содержащая начало коа1р- динат), В задачах 3498 — 3303 изменять порядок интегрирования! 1 Уу 1 У1:х' 3499. )Лд) 1(х, у)ух. 3499. ) (х ~ у(х, д)4у. — а — У4 — к4 «У?»х — х* У? 3500. ) 4(х ~ 1(х, у) 4(у.
3504, ) 4(х ~ ~(х, у)4(у. о к -2 ! У2 ? 2» ? б — к 3502. ~ 4(х ~ ~ (х, у) 4(у. 3503. ~ 4(х ) 7 (х, у) 4(у. 1 о 3504. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла: х 2 2 †« 1) ~ 4(х ) Г (х, у) 4(у + ~ 4(х ~ 1 (х, у) 4(у; а о о 1»? 3 (3 — »4/2 2) ~дх~ ~(х, у)4(у+)4(х ~ )(х, у)4(у; а о а «ч 2 1 — 1 4х — х'" — 3 3) Мх 5 Р(х, у) у+)4(х ~ )('. у)4(у о о 1 о 3505.
Представить двойной интеграл ~ ')Г(х, у) дх4(у, где О— о области, указанные на рис. 62, 63, 64, 65, в виде суммы дву- кратных интегралов (с наименьшим числом слагаемых). Фигуры, показанные на рис. 64 и 65, составлены из прямых линий и дуг окружностей. В задачах 3506 — 3512 вычислить данные интегралы: а Ух 4 2» 2 1?а 3506. 1) )дх ~ 4(у; 2 .11 4(х ~ у 4(у; 3) )4(у 1 е»4(х. о -'о ' о 3507. Цхауа — руг ха+у?--Яа. 216 гл. хп. многомгиные интегиилы и килтиов интсгиииовлние 3508.~')(х'+у)рхдд, Р— область, ограниченная параболами и у=х' и у'=х.
' и х' 3509. ~ 1 4 с1хс1у, Р— область, ограниченная прямыми х=2, Д~ о у=х и гиперболой ху= 1. 3510. 1')сов (х+у)с1хпу, Р— область, ограниченная прямымп х=О, д=п и у=х. 3511. 11тт-Ф вЂ” ФФ~У, и — "' 'Р "РУ' х.на*~1 и тканная в первом квадранте. 3512. ) )х'ди) 1 — хи — утс1хс1у, Р— область, ограниченная лип нией х'+у'=1 и осями координат. 3513. Найти среднее значение функции г=!2 — 2х — Зу в области, ограниченной прямыми 12 — 2х — Зу=О, х=О, у=О. Рис. 62 Рис, 63 Рис. 66 Рис. 64 3514. Найти среднее значение функции г=2х+д в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой х+д=З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
