Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 31
Текст из файла (страница 31)
пиоизводныя и дииеяия~циалы 189 3051. г=е-!г 3052. г=!п(х+!пу). 3053. и=агс18 —. о+ и 3054. г=а)п--соа--. х у о — ю' у х' 3055. г=Я 3056. г = (1+ху)". 8057. г=хд!п(х+д). 3058. г=хки. 3059. и =хуг. 3060. и=хд+дг+гх. 306!. и=)/ха+да+ха. 3062. и = хг+ дг'+ Здх — х+ г. 3063. ы=хдг+уго+сох+оку.
3064 и акга+и +г > 3065. и=-а!п(ха+дг+г'). и 3066. и = 1и (х+ д+ г) 3067. и=х' 3..8 „„,. 3069 р(х, д)=к+у — )ГАс -;д' в точке (' ') 3070. г=1п(х+ — ") в точке (1, 2) 3071 г=( х+д) 3072 (1 ! !ов, х)а 3073. г — — тдр.„п™, 3074.
г = (х'+ да) 1+ р хг-)-у' 3075. г=агс18 1' хи ° 3076. г=2 1+к ху 3077 г=1пг!хуа+дха+)~ 1+(хда+Ух~)~~' 3078. г=1/ ! — 1~ — У! +агса!и —" (гу) ху агс)я — — ! 3079. г = агс18 (агс18 -У-) — — ' — агс18 — ". агс!я --+ ! к' к 3081. и = агс18 (х — д)г. й 3080.
и= г г+,, 1 — ) ха+ух+гг 3082. и=(г!пх)к'. 3083. и=1п 1+'р кг+уг+гг 3084. го = — 18г (х'д'+ гао' — хуго) + 1п сов (х'у'+ ггоа — хуго). 3085. и= ' . Найти,— сиа !и — 24) . ди сса 1<р+ 2$) ' д4' с=ив' с=и ди ди 3086. и=Уага — Иа. Найти — — и —, при г=о, 1=а. дг д1 хсоау — усоах . дг дг 3087. г= .
Найти — и — при х=у=О. 1+ ил к+а!по ' дх дд 3088. и=)Г8!пах+а!пад+8!пгг. Найти — ~ ди дг,=о' и=о к =и/4 !29 ГЛ. Х. ФУИКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЮРИЫХ 3089. и=!и(1+х+у2+г2). Найти их+их+и, при х=у=г=1. дг дг 3090. 7(х, у) =гад — уах. Нанти дх ду 2=2 2 — — 2 3091. Какой угол образует с положительным направлением осн ЕГкцисс касательная к линии г= 4, у=4 в точке (2, 4, о)? х2+ У2 Г 3092. Какой угол образует с положительным направлением 2 22ЕВ ~ » =У22Р22*, *= — ~ (1, 1, Р'З). 3093. Под каким углом пересекаются плоские линии, получакхциеся и результате пересечения поверхностей г=х'+"- и б г= —, плоскостью у=2? 22+ У2 3 Дифференциалы, Приближенные вычисления Применения к Рычислениям 3110. НЕП1п значение полного дифференциала функции г =х+д — !' 2."-'+уз при х=З, у==4, Лх=0,1, Лу=0,2.
311!. Найти зиач.ние полного дифференциала функции г=г"" при х=1, у=1, Лх=0,15, Лу=-0,1. В задачах 3094 — 3097 найти частные дифференциалы данных функций по каждой из независимых переменных. 3094. г = хуа — Зхадх+ 2у4 3095. г = !Г х'+ у'. 3096. г= —,, х2+ д2 3097. и = 1п (х'+ 2У' — г') . 3098.
г=у'х1-дх. Найти 2!уг при х=-2, у=5, Лу=0,01. 3099. г=)2г1пхд. Най2и 2(,г при х=1, у= 1,2, Лх= 0016. 3100. и = р — ~ +У' р+9+г. Найти 2(хи при р = 1, у =-3, г = 5, Лр =- 0,01. В задачах 3101 — 3!09 найти полные дифференциалы функций.
3!О!.~~.=хху2 — х'уа+х'у'. 3102. г= -1п(х'+у2). 2 3103. г= —. х+д 3104. г = атсз !и --. х х — д' д' 3105. г = з ш (ху). 3106. г= агс1И вЂ”, х+ д 3107. г= —," ~-„3108. г=агс19(ху). 3109. и=хх'. 1 3. пРОизВОдные и диФФепенцихлы !9! 3112. Найти значение полного дифференциала функции кп г =,, при х = 2, у = 1, Лх =-0 01, Лу =-0,03.
31!3. Вычислить приближенно изменение функции г= у- З.к при изменении х от х,=2 до х,=25 и у от у,=4 до у,=35. 31!4. Вычислить приближенно !п(~/1,03+!/к0,98 — !). 3115. Подсчитать приближенно 1,04г". 3!16. Найти длину отрезка прямой х=2, у=-3, заключенного мемеду поверхностью г=х'+у' и ее касательной плоскостью в точке (1, 1, 2). 3117. Тело взвесили в воздухе (4,! РО,! Н) и в воде(1,8+ 0,2 Н). Найти плотность тела и указать погрешность подсчета. 3!18.
Радиус основания конуса равен 10,2+.0,1 см, образующая равна 44,6:ь0,1 см. Найти объем А В конуса и у казать погрешность подсчета. 3119. Для вычисления площади Я треугольника по стороне а и уг- О лам В, С пользуются формулой ! ИпвапС Рпс. 59 $= — а' . 2 ап(В+С) ' Найти относительную погрешность бз при вычислении Я, если относительные погрешности данных элементов равны соответственно б„, ба, бс. 3120. Сторона треугольника имеет длину 2,4 м и возрастает со скоростью 10 смаке; вторая сторона длиной 1,5 м уменьшается со скоростью 5 см1с. Угол, заключенный между этими сторонами, равный 60', возрастает со скоростью 2' в секунду. Как и с какой скоростью изменяется площадь треугольника? 312!.
В усеченном конусе радиусы оснований равны Л = 30 см, г=20см, высота й=40см. Как изменится объем конуса, если увеличить )т на 3 мм, г на 4 мм, й на 2 мм? 3122. Показать, что при вычислении периода Т колебания маятника по формуле Т = и )/— (! — длина маятника, у — ускорение силы тяжести) относительная погрешность равна полусумме относительных погрешностей, допущенных при определении величин ! и у (все погрешности предполагаются достаточно малыми).
3123. Выразить погрешность при вычислении радиуса г дуги АВ ( ис. 59) окружности по хорде 2з и стрелке р через погрешности и г(р. Вычислнтьдгпри 2З=19 45см -0 бмм, р=362см+ О 3 ми. 192 гл. х. однкции нескОльких перемен!!Ых 9 4. Дифференцирование функций Сложная функция ') '3$24. и=ех'2», х=эрп! у=(э еи »и ° 3126. и=гг+уг+гу, г=э(п(, у=е'; — =? д( 3$26. г=агсяп(х — у), х=31, у=4!2; =? ич 3127. г = х'д — у'х, х = и соз О, у = и э!и г»; — =? =? ди ' ди и дг дг "3128. г=хэ!пд, х=, д=Зи — 2о; — =? "- = — ? и' 'ди ' дэ ди 3129.
и= !Н(е'+е"); — -=? Найти 4 — ', если у=х'. дх ' фх' ° 3130. г=агс(9(ху); найти --, если у=е". дг Зх ' 3131. и =эссэ!и '-, г=)/'хг+ 1; -'-'=? 2 дх 3132 2=19(31+ 2хг у) х, у, )р $» " ? сл 3!ЗЗ. и= ...у=аз(пх, г=созх --=? е"х (у — г) . Еи и»+ 1 йх хуаре!а(хд+х+и) г( х+у 3!35. 2=(хг+уг)е 22; — =? . =? 2(г=? — дг дг дх ' ду 3136.
2=((хг — у', ехг); — =? - — =? д2 дг дх ' ду 3!37. Показать, что функция г=агс13 -, где х= и+о, у= у дг дг и- и = и — о, удовлетворяет соотношению -- + ди ди ир+ и-" 3138. показать, что функция г=рр(хг+уэ), где Фр(и) — диффедг д? ренцпруемая функция, удовлетворпет соотношению у — х-" =О. дх ду ди 3139. и=а!Пх+г(а1пд — э(пх); убедиться, что - -созх+ ду + — соз у = сох х соз у, какова бы ип была дифференцируемая ди дх функции г". д 1дг !дг г 3140.
г==„; убедиться, что - -+ — = ., какова бы ((хт-у-") ' х дх у ду уэ ' Р» Чге:Р-и Р» Ф» Р ! » Н--. ° ° р ° ° ..... Х.,-р,... - ° . „ игеи падании отличается от нумерации 9 го н более ранних нэданна. 193 з а диэаервнцироваиив ауикции 3!41. Показать, что однородная дифференцируемая функция нулевого порядка е=д~~) (см. задачу 2961) удовлетворяет соотда дх ношению х — '+д -=О. дх ду 3142. Показать, что однородная функция я-го порядка и = =хаР(х; «1, где Р— дифференцируемая функция, удовлетворяет ~х' х~' ди ди ди соотношению х -„+дд +яд- — — Йи. 3!43.
Проверить предложение задачи 3!42 для функции и = ах+ «з =хазш —., хз 3144. Дана дифференцируемая функция ) (х, д). Доказать, что если переменные х, д заменить линейными однородными функциями от Х, 1', то полученная функция Р(Х, У) связана с данной функцией соотношением д/ дг' ду дР дх+ дду дХ+ д$" Неявно и параметрически заданные функции В задачах 3!45 — 3155 найти производную „от функций, заду данных неявно. 3145.
х'д — дзх = а'. 3146. ххдз — ха — дх аз 3147. кер+ де-' — е."' = О. 3148. (х' -1- у')' — а' (х' — д') = О. 3149. з|и (хд) — ех« — х"д = О. 3150. х'и+ д'~з = ах/"'. 3!5!. хд — 1пд=а. 3! 52. агс 15 — У вЂ” -У. = О. а а 3153. дх'=е«. 3!54. дех+е«=О. 3155. д =х«. 3156. Р(х, д) =Р(д, х). Показать, что производная от д по х мом<ет быть выражена с помощью дроби, числитель которой получается из знаменателя перестановкой букв д и х. 3157. х'+д' — 4х — !Од+4=0; найти при х=б, у=2 и при ду ах х= 6, д=8.
Дать геометрическое истолкование полученных результатов. 3158. ххд+ху' — ах'~з =а', найзи -~ при х = д=а. 3!59. Доказать, что из х'у'+х' + уз — 1 =О следует дх д« 3160. Доказать, что из а+Ь(х+д)+схд=гл(х-д) следует д« а+ 2дх+ аха а+ 2уу+ су" ' 7 г. н. Берааа !94 ГЛ. Х. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3162. х' — 2у'+г' — 4х+2г — 5=0 х=? — =? дх ' да 3163.
ге+ Зхуг =а';: — =? — = ? дх ' ду 3!65. показать, что, какова бы ни была дифференщвруемая функция «р, из соотношения «р(ех — аг, су — Ьг) =0 следует дг дг ад-+Ьд — —— 3166. Р(х, у, г)=0. Доказать, что дх да , ду дг дх де дх ' дг дх ду 3167. Найти полный дифференциал функции г, определяемой уравнением совгх+совгу+совгг=1. 3!68. Функция г задана параметрически: х=и+о, у=и — о, г=ио. Выразить г как явную функцию от х и у.
3169. х=и+о, у=ив+ив, г=и'+о'. Выразить г как явную функцию От х н у. 3170. х=исово, у=ив(по, г=-Ао. Выразить г как явную функцию от х и у. В задачах 3171 — 3175 выразить «(г через х, у, г, «(х и «(у от функций, заданных параметрическн. их+«Х иг — ег 3171, х= —, у= — г=ио. 2 ' 2 3172. х=)«а (в!пи+сова), у=)«а (сова-вшо), а=1+в(п(и — о). 3173. х=и+о, д=и-о, г=иго'. 3174. х=исово, у=ив(по, г=и'. 3175. х=осови — исови+в(пи, у=ов)пи-ив!пи — сови, г = (и — о)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
