Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 28
Текст из файла (страница 28)
+... + з(п „+... у !. числовые !~яды 169 с по- ! ! ! ' 2- з + 3 ° а + ' ' ' + !л+ ! ! (л -1-4) + ' ' ' 2742. 1И -! +16 'а +.''+ 184 +'" 2743' 2 + 5 +"'+ ~~-1+'" ! ! ! 2744. 2+ 5+"'+зл — !+'"' ! ! ! 2746. ,'~> лз — лл-1-5' 2747.,! (~,„) . л =- ! л=! 2748, 2749. л=! "'+'" л=! О Ю 2750. ~ (~/а-)/ и — !). 2751, ~ ~/ —, л=! л=! 2752. ~~!л — (Р л + 1 — 3('л — 1). л=! плз. ~ -„'!!' '-!- -~~ — !': .!.Т). л=! В задачах 2754 — 2762 доказать сходимость данных рядов мощью признака Даламбера.
! ! ! 2755 2+~~+ +~а+''' 2756. 1Я 4 +2 !Я 8 +...+а !д„„л, +... 2758. а+ з4+...+;,+... 2759. -'+ — ''".+ +""" '"-'! 4 'з зь з .л! 2760. з!п 2 + 4 и!п 4 +''.+л з1п 2 — „+... 170 гл. !х. ш!ды 2762 -2-+г— ,4+".+ 2.,л('+ " В задачах 2763 — 2766 доказать сходимость данных рядов с помощью радикального признака Коши. 2763. —, + — + " + — + "* 1 1 ! )и2 1гпз '' 1и" (л+1) 2?64. 3. + (~) +'"+ (2л+1 ) +''' 2765. агсз(п 1+ агсз(п;г+ „.+ агсз|п" — „+...
(~)' (" — ")" 2766.',+ '0 +" + "3. +" В задачах 2767 — 2770 вопрос о сходимости данных рядов ре. шить с помощью интегрального признака Коши. ! ! 1 ' 2 ПН2 + 3)и'3 + ' ' '+ (и+1) 1и'-'(л+1) + ''' ! ! ! л =-- -- и В задачах 2771 — 2784 выяснить, какие из данных рядов сходятся, какие расходятся. 277!. — + — + =+ ° ° 1 1 2 )/2 3 )' 3 (л+!) )' л+ ! 2772. 1+3-+ "+2— ,, +". 2773.
1' 2+ ~/ 2 +'''+ ~I л +'" 2774. 1 + —, + " + „., + ". 4 л-' 2775' 2+ и+'"+ ' + 0 л"-+ 1 1 2 и 2776,— -+и — +" + +" 1001 200! ''' !000л.+ 1 2 г. 2777. — -, + —,—. + ° ° +; + 14 1-' !+2' ''' 1+ Н 2 2779. агс16 1 + агс(Я' т + " + агс(й †„ + " 171 4 !. числовые Ряды 2780. 2+ . +...
+ —; +... ! ! 1 ! ° 3+ Ь 7+ ' '+ (ви — 4) (4и- Ц + '' 2782. — + — „+... +„—,л +... 3 3 Зл 2783 1+ ги +"'+ли+" 2784*. Ебп -'„,. +3!п.4 1 ° +а(п +''' В задачах 2?85 — 2?89 доказать каждое из соотношений с помощью ряда, общим членом которого является данная функция. 2785. 1ип — =О, 2786. !пп — „, =О (а~1). л лэи л или 2787. Игп —,, =О. 2788. 1(ш —., =О. ' и„(глд лл (и!)л 2789. Игп — '„, =О, (л|)л л ив Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость В задачах 2790 — 2?99 выяснять, какие из указанных рядов сходятся абсолютно, какие ие абсолютно, какие расходятся.
2790 1 + + ( 1)л+1 + 2791 1 з + +( 1)"м + 2793. ~~~~~~ + миги + + и|или + 1 4 2794' г г 'гт+"'+( 1) и 'г'+"' 1 1 ! л ! 2795. 2 — .. +... + ( — 1) "" — +... 2796. — 1+-- —...+( — 1)"=+" ! л у'г " ' 1Ги 2797. г 4+ +( 1) +'" 1 6 !из лл л' 2799. ~, ( — 1)иы — и! ° и=! гл.
!х. яяды 2800. Показать, что если ряды ~ а' и ~х„Ь;, сходятся, то а=! и=! ряд,Ъ, а,Ь, абсолютно сходится. л =- ! 2801. Показать, что если ряд ~' а„абсолютно сходптся, то л=! 'к! л+ ! н ряд, — п„также абсолютно сходится. л л=! 6 2. Функциональные ряды Сходи»!ость функциональных р яапа В зада ьзх 2802 — 2816 определить обласчи сходимостн рядов. 2802. ! +х+...+х'+...
2803. 1п» + 1п' х +... + 1и" х+... 2806 ! !! 1 л»! 280,! л + + + + 2806. х+ -;.е+ ° "+~.- + " у» 'к'л 2807 —,, ».+ ! ~.х~+ "+ !-1-»'+"' ! ! 2808. 2х+6»'+...+л(л+1)х" + - ° 2800, +,—,. + "+ + 2 2-1-1 2 а+У л 2810. — ',+ — ". + + — '::+" !-1-»! !+»! "' !+»»» 2811. Я!и: + 5!и 4 + ° ° ° + з!и са + 281л »12 +х 1И 4 + ° ° ° +» 162а+''* 2816. е-»+е-4»+...+е-л" +...
Равномерная (правильная) сходимость В задачах 2817-2820 доказать, что данные ряды равномерно (правильно) сходятся на всей осн Ок. 1 а ехнкционлльные еяды <л О« и=! л=! «=! 1 ! 2821. Показать, что Ряд !+1, (х)1«+ 4+, (х) ° +" ...-)-, ! -1-...
сходится равномерно (правильно) в любом ! л'+ [ч (х)1-' интервале, в котором определена функция Ч!(х). 1 1 1 2822. Показать, что ряд=+ + + - — +... У!+х 21'!+2х 2« '1' !+ах равномерно (правильно) сходится на всев положительной полуоси. Сколько нужно взять членов, чтобы при любом неотрицатсльном х можно было вычислить сумму ряда с точностью до 0,001? 2823«. Показать, что ряд х + ., + + „,„+ !и(!+х) 1П(!+2«) !и (!+лх) равномерна сходится в палуинтервале 1+!а~хе+со, где а— любое положительное число, Убедиться, что при любом х из отрезка 2~х«...100 достаточно взять восемь членов, чтобы получить сумму ряда с точностью до 0,01.
2824. Показать, что ряд 2', х" (1 — х) сходится неравномерно л=! на отрезке 10, 1). 2825. Функция 1(х) определяется равенством !'.! )о л=! Показать, чта функция 1(х) определена и непрерывна при любом х. найти !"(О), г'( — "! и г( — ). Убедиться в том, что для вычисления приближенных значений функции )(х) при любам х с точностью до 0,001 достаточно взять три члена ряда. Найти а указанной точностью Г(1) и Г( — 0,2).
2828, Функция )".(х) определяется равенством СО сл ! 'ч1 1 'д 1 1+х'+ «'! 1+(х+лм)«+ «'! 1+(х — лм)' л=! л=! Показать, что функция ~(х) определена и непрерывна при любом х. Убедиться, что г(х) — периодическая функция с периодом а!. Интегрирование и дифференцирование рядов 2827. Показать, что ряд х'+х'+...+х'"-'+... равномерно сходится иа отрезке — 1+и(х~1 — ы, где е! — любое положительное число, меньшее 1. Интегрированием данного ряда найти гл. пс ояды в интервале ( — 1, 1) сумму ряда 2828.
Найти сумму ряда 2829. Найти сумму ряда х" хо +! 1 2 2 3+'''+( ) о(л~-!) +'' 2830. Функция !" (х) определяется равенством 1 (х) = е-"+ 2е-'"-1-...-1- ае-""-1-... Показать, что функция 1(х) непрерывна на всей положитель!пз ной полуоси Ох. Вычислить ) ~(х)дх. !по 2831. Функция 1". (х) определяется равенством 1(х) =1+2 Зх+...+и 3"-'х"-'+... Показать, что функция 1(х) непрерывна в интервале ( — 113 113). о.!оо Ф Вычислить ~ ! (х) о!х. о 2832". Функция 1(х) определяется равенством 2 22+ 4 24+ ''+2л 22и+'' юс/о Вычислить ) )-(х)дх, предварительно убедившись в том, что л/6 функция )(х) непрерывна в заданном интервале интегрирования.
2833*. Функция 1(х) определяется рядом 1(х) = 1 и=! Показать, что функция )(х) непрерывна на всей числовой оси. Вычислить ~ 1(х) "». о ! 1 2834. Исходя нз соотноз1ения 1 х" г(х = —, найти сумму ряда: 4 +"'+ 3 -2 +"'1 ) 5 +"'+ 4о — 3 +'' 1 ( — 1!ем 175 з з. стапнннйи виды + со 2835. Исходя из соотношения ~ --„,-, = „—,, найти сумму лк 1 ! 1 1 РЯДа ! 2 + 2 2, +... + — „~„+... 2836. Исходя из соотношения лп я (2л — !) (2л — 3) ... ° 3 1 2 2л (2л — 2) ... 4 2 найти сумму ряда 113+1„13...(2и — !)+ 224'''24...2л 2837.
Доказать, что ряд ап 2лк Нл 4лк, ал 2"лк и + 4 + "+ ал т-." равномерно сходится на всей числовой оси. Показать, что этот ряд нельзя почленно дифференцировать ни в каком интервале. 2838. Исходя нз равенства 1+х+х'+...= — !» ()х)(!), просуммировать ряды 1+2х+ Зх'+... + лх"-' +... и 1+ Зх +... ...+ — х"-'+... н показать, что ряд 1+2х+...+лх"-'+...
и (и+1) равномерно сходится на итрезке 1 — р, р), где ) р)(1. 2839. Показать справедливость равенства ! 2к мам — + — +" + — +" =— 1+к !+кк ''' !+к" ''' 1 — к ' где т = 2 ' и — 1 (х ( 1. 2840. Убедиться, что функция у=~(х), определяемая рядом кк кл х+ х'+ — +... + — +..., удовлетворяет соотношению «у'= 2! ''' (л — !)! =н(х+ !). 2 3.
Степеннйе ряды Разложение функций в степеннйе ряды 2841. Разложить функцию д= )их в ряд Тейлора в окрестности точки х=! (при х,=1). 2842. Разложить функцию у=~' х' в ряд Тейлора в окрестности точки х=!. 2843. Разложить функцию у= 1/х в ряд Тейлора в окрестно. стн точки х=З. 2844. Разложить функцию у=з)п — в ряд Тейлора в окрест- 4 ности точки х = 2. (16 Гл. 1х. Ряды В задачах 2845 — 2849 разложить данные функции в рядТей- лора в окрестности точки х=О (ряд Маклорена): 2845.
д = сЬ х. 2846. д = х'е'. 2847. д = соз (х+а). 2848. д=е'зиах. 2849. д=созхс(!х. В задачах 2850 — 2854 найти первые пять членов ряда Тейлора для данных функций в окрестности точки х=О. 2850. д=1п(1+е"). 2851. д=е'"". 2852.
д= сов" х. 2853. д= — !псозх. 2854. д=(1+х)'. В задачах 2855 — 2868 разложить данные функции в окрест- ности точки х=О, пользуясь формулами разложения в ряд Мак- лорена фушсций е-', з!пх, созх, 1п(1+х) и (1+х)'". е» вЂ” ! ( — при х:~0, 2855. д — — ее». 2856.
д=е-"'. 2857. д= 1 при х=0. 2858. д= 2»» ' 2859. д=з(п--. 1 при х=О. 2' еы х ( — — при х~О, 2860. д=созех. 2861. д=' 1 при х=О. 2362. д=(х — 12х) созх. 2863. д=!п(!О+х). 2864. д=х!п(1+х). 2865. д =3Г 1+ »5. 2866. д= ~/8 — х". ! Хе 2867. д= —, 2868. д==,. 3/! — х' 2869. Разложить в ряд Тейлора функцию д= — в окрест!+» (! — х)5 ности точки х= О. Воспользовавшись этим разложением, найти 4 ОЛ сумму ряда ! + — +...+ — „, +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
