Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В частном'случае получить объем шара. 2557. Симметричный параболический сегмент, основание которого а, высота Ь, вращается вокруг основания, Вычислить объем тела вращения, которое при этом получается («лимона Кавзльери). 2558. фигура, ограниченная гиперболой х' — у«з аз и прямой х=а+Ь(Ь)0), вращается вокруг осп абсцисс. Найти объем тела вращения, 2559. Криволинейная трапеция, ограниченная линией у=хек и прямыми х= ! и д=О, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела, которое при этом получается. 2560. Цепная линия у=снх вращается вокруг оси абсцисс. Прн этом получается поверхность, называемая катеноидом.
Найти объем тела, ограниченного катеноидом и двумя плоско- от начала координат до блик<айшей точки с вертикальной касательной, 2552. Доказать, что длина дуги синусоиды у=з(пх, соответствующей периоду синуса, равна длине эллипса, полуоси которого равны )к 2 и !. 2555.
Показать, что длина дуги «укороченной» илн «удлиненнойз циклоиды х=т! — па(п(, д=ш — псоз! (т и и — положительные числа) в интервале от 1,=0 до (,=2п равна длине эллипса с полуосями а=«в+и, Ь=!ш — л!. 2554". Доказать, что длина эллипса с полуосями а и д удовлетворяет неравенствам п(а+Ь)(7.(п~'2 )ка'+Ь' (задача И. Бернулли). ГЛ. УН1. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА стями, отстоящими от начала на а и Ь единиц и перпендикулярными к оси абсцисс. 2561.
Фигура, ограниченная дугами парабол у=ха и и'=х, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, которое при этом получается. 2562. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс трапеции, лежащей над осью Ох и ограниченной линией (х — 4) уа = х (х — 3). 2563. Найти объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной линией у= агсэ(пх, с основанием 10, 11 вокруг оси Ох. 2564. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой у=2х — ха и осью абсцисс, вокруг оси ординат. 2565. Вычислить объем тела, которое получится от вращения вокруг осп ординат криволинейной трапеции, ограниченной дугой синусоиды и = э1п х, соответствующей полупериоду.
2566. Лемниската (х' + уа)' = аа (х' — уа) вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая при этом получается. 2567. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией: 1) х4+у1= а'ха; 2) х'-1- уа = х', 2568. Одна арка циклоиды х=а(1 — ейп 1), ус а(1 — соэ 1) вращается вокруг своего основания. Вычислить объем тела, ограниченного полученной поверхностью. 2569.
Фигура, ограниченная аркой циклоиды (см, предыдущую задачу) и ее основанием, вращается вокруг прямой, перпендикулярной к середине основания (ось симметрии). Найти объем получающегося при этом тела. 2570. Найти объем тела, полученного при вращении астроиды ха1а+уа1а=аа1а вокруг своей оси симметрии. 2571. Фигура, ограниченная дугой линии х= — соха(, у С~ а = —,а(па1 (эволюта эллипса), лежащей в первом квадранте, и координатными осями, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем получающегося при этом тела. 2572. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью бесконечного веретена, образованного вращением линии у =* 1 = — вокруг ее асимптоты. !+ к' 2573.
Линия у'=2ехе-'" вращается вокруг своей асимптоты. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая получается в результате этого вращения. 2574*. 1) Фигура, ограниченная линией у=е-" и ее асимптотой, вращается вокруг оси ординат. Вычислить объем тела, 3 !. !!ЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 151 которое при атом получается.
2) Та же фигура вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем получающегося тела. 2575". Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, получающейся при вращении линии у=к«а-к' вокруг своей аснмптоты. 2576". Фигура, ограниченная линией у= — „н осью абсцисс, вращается вокруг осн абсцисс. Вычислить объем получающегося тела. 2577А. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, прока взводимой вращением циссоиды ра= —,„(а~О) вокругееасимптоты.
2578. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, получающейся при вращении трактрнсы г=а(соза+!п1д 2), у =аз1ЕГ вокруг ее асимптоты. 2579а. Вычислить объем тела, ограниченного зллипсоидом ка Ра г' —,+ — + — =1. аа Ьа «а 2580, 1) Вычислить объем тела, ограниченного зллпптическим ка параболоидом г = - — + — и плоскостью г = 1.
4 2 2) Найти объем тела, ограниченного однополостным гипербо. гюидом — + — — г =1 и плоскостямн г= — 1 и г=2. уа 9 258!. Вычислить объемы тел, ограниченных параболоидом г = ха+ 2уа и элли псоидом ха+ 2уа + га = б. 2582. Найти объемы тел, образованных пересечением двупока уа ка ка Ра лостного гиперболоида — — — — — = 1 и зллипсоида — + — + 3 4 9 6 4 +--=1.
2583. Найти объем тела, ограниченного конической поверхк- уа постыл 1г — 2)'= —.-+-"- и плоскостью г=О. 3 2 2584. Вычислить объем тела, Ограниченного параболондом ка уа к к 2г= --+ — и конусом — + — =г'. 4 9 4 9 2585". Найти объем тела, отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания 1«цилиндрический Отрезока, рис. 43). В частности, положить 17 = 10 см и а=о см. 2586.
Параболический цилиндр пересечен двумя плоскостями, нз которых одна перпендикулярна к образующей. В результате получается тело, изображенное на рис. 44. Общее основание параболических сегментов а= 10 см, высота параболического сег- !52 Гл. Рн!. пРимег!ения интеГРАлл мента, лежащего в основании, Н=8 см, высота тела 8=6 см. Вычислить объем тела.
2587. Цилиндр, основанием которого служит эллипс, пересе-. чен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса. Вычислить объем тела, которое прн этом получается. Линейные размеры указаны на рнс. 45. Рис. 43 Рис. 44 2588'. На всех хордах круга радиуса Н, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты Н. Плоскости сегментов перпендикулярны к плоскости окружности. Найти объем полученного таким образом тела. 4 Л Рис. 46 Рис. 4и 2589''. Прямой круглый конус радиуса 1!4, высотой Н рассечен на две части плоскостью, проходящей через центр основания параллельно образующей (рпс.
46). Найти объемы обеих частей конуса. (Сечения конуса плоскостямн, параллельными образующей, суть параболические сегменты.) 2590. Центр квадрата переменного размера перемещается вдоль диаметра круга радиуса а, причем плоскость, в которой лежит квадрат, остается перпендикулярной к плоскости круга, а две 453 4 Е НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности. Найти объем тела, образованного этим движущимся квад. ратом.
2591. Круг переменного радиуса перемещается таким образом, что одна из точек его окружности остается на оси абсцисс, центр движется по Окружности х'+у'=Гз, а плоскость этого кр)та перпендикулярна к оси абсцисс. Найти объем тела, которое при этом получается. 2592. Оси двух равных цилиндров пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть цилиндра (на рнс. 47 изображена 1/8 тела). (Рассмотреть сечения, образованные плоскостями, параллельными осям обоих цилиндров.) Рас. 48 Рис.
47 2593. Два наклонных цилиндра имеют одну и ту же высоту Н и общее верхнее основание радиуса Й, а нижние основания пх соприкасщотся (рис. 48). Найти объем общей части цилиндров. Площадь поверхности вращения 2594. Найти площадь поверхности, образованной вращением параболы рз= 4ах вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абс. циссой х= За. 2595.
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кубической параболы Зу-ха=О вокруг оси абсцисс (От х,=О до х.=а). 2596. Вычислить площадь катенонда — поверхности, образованной вращением цепной линии у = асй -' вокруг осн абсцисс (от хт=О до хтк а). 2597. При вращении эллипса;+ -; = 1 вокруг большой осн получается поверхность, называемая удлиненным эллипсоидом вр щения, при вращении вокруг малой — поверхность, называемая укороченным эллипсоидом вращения.
Найти площадь поверхности удлиненного н укороченного эллипсоидов вращения. ГЛ. ЧПЕ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 2588. Вычислить площадь мретенообразной помрхности, обраэоминой вращением одной арки синусоиды у=зшх вокруг оси абсцисс. 2598. Дуга таигенсоиды у= 18х от ее точки (О, О) до веточки (н/4, !) вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить площадь поверхности, которая при этом получается. 2600. Найти площадь помрхности, образованной вращением петли линии 9ау'=х(За — х)' вокруг оси абсцисс. 2601. Дуга окружности ха+у'=а', лежащая в первом квадранте, вращается вокруг стягивающей ее хорды. Вычислить пло. щадь получающейся при этом поверхности. 2682.
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг Оси абсцисс дуги линия х = е' 51п 1, у = еь соз ! От !1 = 0 до (,=п!2. 2603. Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х=асозь1, у=аз(пь! вокруг оси абсцисс. 2604. Арка циклоиды вращается вокруг своей оси симметрии. Найти площадь получающейся при этом поверхности. (См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
