Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В течение 10 хпш напряжение па клеммах равпомерпо падает от Е» — -60 В до Е== 40 В. Сопротивление цепи /? ==20 Ом. Найти количество злскзрпчсства, протекшее через цепь за 10 мгш. 1612. Напрян<еппс электрической цепи равцомерио падает, умеиьш ясь иа а=!,5 В в минуту.
Первоиачальпое напряжение цеип Е,.=120 В; сопротпвлеиие цепи Й= 60 Ом. Найти работу тока за 5 мии. Иидуктивностью и емкостью преиебрегаем. $1. пеостеншие сво>аствА 1613. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение достигает 120 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем. Найти работу тока в течение одной минуты. 1614. Прямоугольная стенка аквариума, до краев наполненного водой, имеет основание а и высоту Ь. Выразить силу Р давления воды на всю стенку: а) приближенно — с помощью суммы, б) точно — с помощью интеграла. 16!В.
а) Вычислить силу Р, с которой вода, наполняющая аквариум, давит на одну из его стенок. Стенка имеет форму прямоугольника. Длина ее а=60 см, а высота Ь=25 см. б) Разделить горизонтальной прямой стенку аквариума так, чтобы силы давления на обе части стенки были одпнаковымп. Вычисление интегралов суммированием 16!6. Непосредственным суммнровациел1 и последующим пере- 1 ходом к пределу вычислить интеграл )еао(х. (Интервал интегри- О ровавия делить на п равных частей.) 1617.
Непосредственным суммированием и последующим переь ходом к пределу вычислить )х" 2(х, где Й вЂ” целое положительное а число (интервал интегрирования делить на части так, чтобы абсциссы точек деления образовывали геометрическую прогрессию). 1618. При помощи формулы, получешюй в предыдущей задаче, вычислить интегралы: ю а+2 а 2а 1) $ хо(х; 2) $ х1(х; 3) $ хадх; 4) ~ ~ оКх; О а — 2 а!2 а ~а 2,2 5) ~(3хо — х+1)о(х; 6) 1 ",, г(х; 7) ~ (2х+1)21(х; о о 1 8) ~(х — а) (х — Ь)1(х; 9) ~ 1(х; 1О) ) >ах ~ 2(х; а -а о 2 1 П) )х Ь 12) ~-"з- (; 13) ~(' —," — —,)б.
о 1 о 11" + а" +... — ', иа 1 1619*. Найти 1пп ~ '"+ 1 при Й)0. Вычислить приблн>кенно 1'+ 2'+... + 100'. 1620. Непосредственным суммированием н последующим пере- Г ах ходом к пределу вычислить интеграл ~ —. (Интервал интегриро. 108 гл. т. опеедслвннын интеггдл ванна делить на части так, чтобы абсциссы точек деления обра. зовывали геометрическую прогрессию.) г хх 1621.
Для интеграла з! - составить интегральную сумму, раз3х ! бнв интервал интегрирования на л равных частей. Сравнив с результатом предыдущей задачи, вычислить 1622*. Вычислить Игл ~-; + — + —, +... + — ) (а — целое 11 1 1 1 ! ~а в+! п-!-2 ''' ал) число). Подсчитать приблих!евно — + — +- — +... + -;,—,. ! 1 1 1 !ОО !01 102 " ' З.О' 1623*. Непосредственным суммированием и последующим переходом к пределу вычислить интегралы: л Ь 1) ~хс-'!!х; 2) ~1пх!!х; 3) ~ — !!х.
о ! !В 1) разбивать интервал интегрирования на равные части, в 2) и 3) — как в задаче !620.1 6 2. Основные свойства определенного интеграла Геометрическая интерпретация определенного интеграла 1624. Выразить при помощи интсграла площадь фигуры, огРаниченной дугой синусоиды, соответству!ощей интервалу О~х(2н, и осью абсцисс. !626. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кубической параболой у = х' и прямой р = х. 1626. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами !1=х' — 2х — 3 и д= — х'+бх — 3. 1627. Вычислить площадь фигуры, ограниченной крнвымн и -ха — х н р=х' — 1.
Оценка интеграла 1д хах 5 162$. Доказать, что интеграл ~ х„!О ыеныне чем —. 6 2 1629. Доказать, что интеграл )е '-'!!х заключен между —, е и 2а'. 1 а основныв свопствл опгвделшшого шггсггхлл 1ОЗ В задачах 1630 — !635 оценить интегралы. 5.5 2 за! Я 1630. 1 —. 163!. ~ —.~ Нх. 1632. ~ (!+5!пзх)Нх. 1.5 о а)я зд т'з е 1633. ~ —, Я(х. 1634. ) х агс!й х Я(х. 1635. ! хзс — "* Я(х.
1)г из/з бе 1636, Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше: 1 1 2 2 1) )хз<1х пли )хзЯ(х; 2) )хзг(х или )хзг(хз о о 1 1 1637. Выяснить, какой из интегралов больше: 1 1 2 2 1) ~ 2"'я(х илн ~ 2" я!х; 2) ~ 22 5(х или ~ 2" я(х; о о 1 1 2 Я 3) ) !пхезх или ) (1пх)21!х; 4) ) !пхг(х или )(!пх)2ЯЫ 1 1 з з 1 1638. Доказать, что ))Г!+хзе(х()Г5/2, воспользовавшись о неравенством Коши — Буняковского ! ь 1 Гь Гь ~11(х)12(х)дх~~~/ ~[~з(х))зе(х ~/ )[[2(х))'Я(х. а а а Убедиться, что применение общего правила дает менее точную оценку. 1639. Доказать, исходя из геометрических соображений, следующие предложения: а) если функция 1(х) на отрезке [а, Ь1 возрастает и имеет вогнутый график, то (Ь вЂ” а) [ (а) С !) 7'(х) Я(х С (Ь вЂ” а) †" ~ ( ! е а б) если функция 7" (х) на отрезке [а, Ь1 возрастает и имеет выпуклый график, то ь ('- )— ' '""'"' 5~ (Ь- а з Г ззнх 1640.
Оценить интеграл !) +... пользуясь результатом задачи 1639. ГЛ. М ОПРЕДЕЛЕННЫП ИНТЕГРАЛ н 1641. Оценить шпеграл )'г'1+х'с1х, пользуясь: !О а) основной теоремой об оценке интеграла, б) результатом задачи 1639, в) неравенством Коши — Буняковского (см. задачу 1638).
Среднее значение функции 1642. Вычислить среднее значение линейной функции у=йх+Ь на отрезке [хь х1. Найти точку, в которой функция принимает это значение. 1643. Вычислить среднее значение квздратичиой функции д = ахе на отрезке [хм х4. В скольких точках интервала функция принимает это значение? !644. Вычислить среднее значение функции у= 2х' +Зх+ 3 на отрезке [1, 41. 1645. Исходя из геометрических соображений, вычислить среднее значение функции 8=~/ае — х' на отрезке [ — а, а).
1646. Исходя из геометрических соображений, указать среднее значение непрерывной нечетной функции на интервале, симметричном относительно начала координат. 1647. Сечение желоба имеет форму параболического сегмента. Основание его а=1 м, глубина 8=1,5 м (см. рис. 36 на с. !06). Найти среднюю глубину желоба. 1648. Напряжение электрической цепи в течение минуты равномерно увеличивается от Е,=100 В до Е,=120 В. Найти среднюю силу тока за это время. Сопротивление цепи 10 Ом. 1649. Напряжение электрической цепи равномерно падает, убывая на 0,4 В в минуту. Начальное напряжение в цепи 100 В. Сопротивление в цепи 5 Ом.
Найти среднюю мощность в течение первого часа работы. Интеграл с переменным пределом 1650. Вычислить интегралы с переменным верхним пределом: Х х х 1) !х~ )х, 2) ~х'Г(х; 3) ~ (е — 4)дх. о и ! 1651. Скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Найти зависимость между пройденным расстоянием з и временем 1, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см, а движение началось в момент 1=0. 1652. Сила, действующая на материальную точку, меняется равномерно относительно пройденного пути. В начале пути она равнялась 100 Н, а когда точка переместилась на 10 м, сила 2 2.
ОСНОВНЫЕ СВОЯСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА !11 1659. Найти производную от функции у= ~5!ПХТ!х при х=О, о х=п!4 и х=п/2. 1660. Чему равна производная от интеграла с переменным нижним н постоюшым верхннм пределом по нижнему пределу? 5 1661. Найти производную от функции у=~ У1-Гхкпх прн к х = 0 и х = 3/4.
2к 5!П Х по х от функции В= — ' — дх. Х по х от функции." 1662. Найти пронзводну2о 1663. Найти производную к ! 1) ~ — ",' 5!г; 2) ~ !и х бх. 2 к' возросла до 600 Н. Найти функцию, определяющую зависимость работы от пути. 1653. Напряжение электрической цепи равномерно меняется. При 1=1, оно равна Е„при 1=12 оно равно Е,. Сопротивление Я постоянно, самоиндукцией н емкостью пренебрегаем. Выразить работу тока как функцию времени 1, прошедшего от начала опыта.
1654. Теплоемкость тела зависит от температуры так: с=с, + +554+6!5. Найти функцию, определяющую зависимость количества тепла, полученного телом при нагревании ог нуля до 1, от температуры Ь 1655. Криволинейная трапеция ограничена параболой й = х', осью абсцисс н подвижной ордннатой. Найпн значения приращения ЬО и дифференциала к!3 площади трапеции при х=.!0 и Ьх- О,!.
1656. Кринолинейная трапеция ограничена линией у=~~ х'+16, осями координат и подвижной ордннатой. Найти значение дифференциала 5!О площади трапеции при х=З и Ьх=0,2. 1657. Криволинейная трапеция ограничена линией у =х', осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти значения приращения ЬЯ площади, ее дифференциала 5!О, абсолютную (а) и относительную 6= — -! погрешности возникающие при замене приращения Ай ! дифференциалом, если х= 4, а Ьх принимает значения 1; 0,1 и 0,01.
1658. Найти производную от функции у=:,5!! при Г ! 2+22 — ~ !+2+22 Гл. м опРедсленныи интегахл ак 1664*. Найти производную по х от функции ~!пахГ(х. 1665. Найти производную по хот функции у, заданной неявно: ') е' Г(! + ') соз ! Г!! = О. а а 1666. Найти производную по х от функции у, заданной параметрнческн: С 1) х=~51п!Й, у=)соз!Гу; а а и ! 2) х=)! 1п!ГУ, у= ) !а!и!й. 1 Р !667. Найти значение второй производной по х от функции ик у= —. прн а=1. ) !+ха 1668. При каком значении х функция 1(х) =)хе-"Г(х имеет а экстремум? Чему он равен? Раа. 38 Рас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
