Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1529. Гиперболы ху=4 в точке (2, 2). хз уз !530. Эллипса,—,—, + х = ! в вершинах. !531. у=х' — 4х" — 18х' в начале координат. 1532. у' =8х в точке (978, 3). 1533. у =- !и х в точке (1, О). 1534. у= 1п(х+ к' ! +хз) в начале координат. 1535. у=з!пх в точках, соответствующих экстремальным знаенпям функции. 1636. Декартова листа х'-!-у' = Заху в точке ! - а, ' а . '!2 '2 ! В задачах 1637 — 1542 найти кривизну данных линии в произвольной точке (х, у). кз уз 1537. у=х'.
1538. —,, — ~~, =1. 1539. у=!пзесх. оз 1540 хам+у!з аз!з 1541 ""+ '",=1. 1542. у=асй —. ь В задачах 1543 — 1549 найти кривизну данных линий. 1543. х=З!з, у=З! — !з при 1=-1. 1544. х=асозз1, у=аз!из! при 1=!!. 1545. х = а (соз ! + 1 з! п !), у = а (з !и ! — ! соз !) при ! = л/2. 1546. х=2асоз! — асоз21, у=2аз!п! — аз!п2! в произвольной точке. 1547. р=ач в точке р=1, ф=О. 1548. р = а!р в произвольной точке. 1549.
р=а!р» в произвольной точке. хз уз 1550. Найти радиус кривизны эллипса —;+ „-=1 в той его аз ад точке, в которой отрезок касательной между осями координат делится точкой касания пополам. 1551. Показать, что радиус кривизны параболы равен удвоенному отрезку нормали, заключенному между точками пересечения нормали с параболой и ее директрисой.
1552. Показать, что радиус кривизны пиклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке. 1553. Показать, что радиус кривизны лемннскаты рз= а'сох 2ф обратно пропорционален соответствующему полярному радиусу. 1554. Найти окружность кривизны параболы у=хз в точке (1, 1).
1555. Найти окружность кривизны гиперГюлы ху= 1 в точке (1, 1). 1556. Найти окружность кривизны линни у=е' в точке (О, 1). 1557. Найти окружность кривизны линии у= !их в точке (л(4, !). 102 гл.зч. исслвдовлпив мнкцпп и пх г липкое 1558. Найти окружность кривизны циссоиды (хз+у') х — 2ау"=О в зочке (а, и).
В задачах 1559 — !562 найти вершины (точки, в которых кри. впзиа пршшмает экстремальное зпачспис) данных линий. 1559. )' х + Р' у = Г' а. 1560. у = !и х. 156!. у=ск. 1562. х = а (3 соз (+ соз 3!), у = а (3 5 (и (+ з! и 3(). 1563. Найти наибольшее значение радиуса кривизны линии р=аэ!и з зз 1564. Показать, что кривизна в точке Р линии у=)(х) равна !у" созза „ где а — угол, образуемый касательной к линии в точ- ке Р с положительным направлением У , ' оси абсцисс. 1565. Показать, что кривизну (а,5) линии в произвольной точке можно (з! ия а представить выражением )з=~ аз 'уР 3) где зз имеет то же зиаченйе, что г л и в предыдущей задаче. 1566. Функция 7(х) определена так:((х) =х'винтервале — оо(х~), ) (х) = ахз+Ьх+с в интервале 1 лг д. - х ~+ со.
Каковы должны быть Зз а, Ь, с, для того чтобы линия у=Г(х) имела везде непрерывную кривизну. 1567. Даны (рис. 35): дуга АМ окружности с радиусом, равным 5, и с центром в точке (О, 5) и отрезок ВС прямой, соединяющеи точки В(1, 3) и С(! 1, 66). Требуется точку М соединить с точкой В дугой параболы так, чтобзя линия АМВС имела везде непрерывную кривизну. Найти уравнение искомой параболы (взять параболу 5-го порядка). В задачах 1568 — !574 найти координаты центра кривизны н уразы:иие эволюты для данных линий. 1568.
Парабола а-го порядка у=-х". 1569 Гипербола „вЂ” „= 1. хз уз аз Ь'-' 1570. Дстроыда хз'з+ уззз аг~з 1571. Полукубическая парабола уз = ах'. 1572. ! !арабола х== 3(, у=  — 6. 1573. Цыссоида у'=-, 1574. Линия х=-а(!+созе!)з)п(, у=.ас(п'(СО1 !. 1575. Показать, что эволюта трактрисы х=- — а ()п!8 2 +соя !).
у=пайп! есть цепная линия. 1ОЗ $7. Вычислительные задачи 1576. Показать, что эволюта логарифмической спирали О=ач представляет собой точно такую же спираль, только повернутую на некоторый угол. Можно ли так подобрать а, чтобы эволюта совпала с самой спиралью? 1577. Показать, что любую эвольвенту окружности можно получить путем поворота одной из них на соответствующий угол. 1578. Показать, что расстояние некоторой точки циклонды от центра кривизны соответствующей точки эволюты равно удвоен.
ному диаметру производящего круга. 1579. Эволютой параболы у' = 4рх служит голукубическая 4 парабола рдз = „, (х — 2р)а. Найти длину дуги полукубической парабопы от ос~риз до точки (х, у). 1580. Найти длину эволюты эллипса, полуоси которого равны и и 5. 158!.
Показать, что энолютой астроиды х=асозз1, у=аз!па! является астроида вдвое ббльших линейных размеров, повернутая на 45'. Воспользовавшись этим, вычислить длину дуги данной астроиды. 1582'. Показать, что эволюта кардноиды х = 2а сов( — а соз 21, у= 2а зш( — а з(п 21 есть также кардиоида, подобная данной.
Воспользовавшись этим, найти длину дуги всей кардиоиды, 1586', Доказьгь теорему: если крнвизна дуги некоторой линии либо только возрастает, либо только убывает, то окружности крнвизны, соответствующие разли иым точкам этой дуги, не пересекаются н лежат одна внутри другой. 8 7. Вычислительные задачи 1584.
Найти минимум функции у=х'+хз+х+! с точностью до 0,00!. 1585, Найти максрмум функции у=х+ !пх — х' с точностью до 0,001. 1586. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=х'+Зсоах в ингервале (О, гг?2) с точностью до 0,0!. 1587. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= х — е"' в интервале (0,2; 0,5) с точностью до 0,00!. 1588. Найти координаты точки перегиба линии у=-'- (хз — бхй+19х — 30) 1О в точностью до 0,0!. 104 гл.
!т, исс:!сдовлиип Фт!п~!!ип и их ГелФ!!ков 1589. Найти коорлииаты точки перегиба лшши !Г = бх"- ! и х+ 2хт — 9хт с точностью до 0,0!. 1590. Найти с топ!остьюдо 0 О! кривизну линии у=„.— в точке 1 ее пересечения с правой д=х — !. 1591. На липки бг== !их найти с точпостью до 0,001 коорапваты !оч!.и, в которой ралиус кривизны лапкой линии в три раза больше абсциссы этой точки. гллвл ч . ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 9 1. Определенный интеграл и его простейшие свойства 1592. Выразить с помощью иигеграла площадь фигуры, огра- ниченной следующими линиями: !) осями координат, прямой х=З и параболой у=ха+1; 2) осью абсцисс, нрямымн х=а, х=ь н линн и у=с'-(-2 (Ь а); 3) осью абсцисс и дугой синусоиды у=Них, соответствующей первому полупериоду; 4) параболами у=х' и у=8 — х', 5) параболами у=х' и у=ф'х; 6) линиями у=1пх и у=1п'х.
1593. Фигура ограничена осью абсцисс и прямь!мн у=2х, х=4, х= 6. Найти площади входящих и выходящих и-ступенча- тых фигур («лестниш>), разбивая отрезок (4, 6! иа равные части. Уб диться, что оба полученных выражения стремятся при неогра- ниченном возрастании н к одному и тому же пределу 3 — пло- щади фигуры. Найти абсолютную и относительную погрешности при замене данной плошади площадями входящих и выходящих п-ступеичатых «лестницы 1594. 1(риволинейная трапеция с основанием (2, 31 ограничена параболой у=х«. Найти абсолютную и относительную погрешно- сти при замене данной площади площадью входящей 1()ступен- чатой «лестницым 1595. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=х92, прямыми х=З, х= 6 и оськ! абсцисс.
1596. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у= 2х+3 от параболы у=х'. 1597. Вычислить площадь параболического сегмента с основа- нием а= 10 см и стрелкой 5= 6 см. (Основанием служит хорда, перпендикулярная к оси параболы, рис. 36.) 1598. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=. - хе — 4х+5, осью абсцисс и прямыми х=З, х=-5. 1599. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами пара! х« бол у= — х' и у=З вЂ” —. а гл. ч. Опееделвнцып иитегелл 1600. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у= х' — бх+ 10 и // =- бх — х'. 1601. Вычислить площадь, заключенную между параболой д х' — 2х+2, касательной к пей в точке (3, 5), осью ордипат и осью абсцисс.
1602. Материальная точка движется со скоростью о= 2/+ + 4 см/с. Найти путь, пройдеииый точкой за первые !О с. 1603. Скорость а при свободном падспии равна 8/, Найти путь, пройденный за первые 5 с падения. 1604. Скорость движеиия, пропорциональная квадрату времени, в конце 4-й секунды равиа 1 см/с. с!ему равен путь, иройдеииый за первые 10 с? 1605. Известпо, "по сила, противодействующая расти>кению пружины, пропорциональна удлинению ее (закои Гука).
Растягивая пружину на 4 см, произвели работу 100 Дж. Какая работа будет произведена при растяжении пружины Ю иа 10 см? 1606. с!тобы растянуть пружину иа 2 см, нужно произвести работу 20 Дж. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу 80 Дж? 1607. Скорость о радиоактивного распада является заданной функцией времени: о= — о(/).
Выразить количество ш радиоактивного вещества, распавшегося за время от момента Т» до момента Т,: а) приближенно — суммой, б) точно — интегралом. 1608. Скорость нагревания тела является задаппой функцией времени ф (/). На сколько градусов 4 пагреетсп тело за время от момента Т,до момента ТР Выразить решение: а) приблпжепио — суммой, б) то шо — интегралом.
1609. Неремепный ток / является задаипой функцией времени l .= / ((). Выразить (приблпжеппо — суммой и точно — пптегралом) когшчество // злсктричества, протекшее через поперсчпое сечение проводника за вр,мя Т, счятая ог начала опыта. 1610. Напряжение Е переменного тока является заданной функцией времспп Е=-<р((); зок / — тоже заданной функцией времени l-.-ф(Н. Выразить работу Л тока за время от момента Т, до момента Т,; а) приближенно — суммой, б) точно — интегралом. !61!. Нлсктрическая цепь питается батареей аккумуляторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
