Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Доказать, что если (а+Ьх)ед~х=х, то хд'д ~ ад ха~ = "„--д) . Функции, заданные параметрически а2х йдг сРй дхз Ьез. д=аз)п 1; 1069. х= и(ь, а1670. х=асоз), 1056. Ьххх+ ах ух = аЧР; — ",— = ? ах'"' 1057. х'+дх=гх; „-„-;=? 1058. д=10(х+д)' 7— „ь=? азу аху 1059. д = 1+ 1е', —; = ? ды д1т 1060.
д'+х' — Захд=О; д"=? 1061. д = з1п (х+ д); д" = ? 1062. ех < д = хд; д" =? 1063. Вывести формулу для второй производной функции, обратной данной д=1(х). 1064. ед+хд=е; найти д" (х) прн х.—..О. 1065. д'=2рх; определить выражение й==, у' 1/ 01 + д'11з 1 1066. Убедиться в том, что из д'+х'= К' следует и =-, где 1у" ~ 1'11 1 д 1)ь' 1067. Доказать, что если ах'+ 25хд+ сд'+ 2дх+ 2)д+ 11 = О, 76 ГЛ.
И1. ПРОИЗООДПАЯ И ДИФФЕРЕИЦИАЛ у=85!' дх' -:=? у=а(1 — сок 1р); —::, =? !Иц у=а!ил Е 1Е'~1 ...— Э Й~ у=а51п Е" Я а 1/ йь! ,=? 1074. !) х = !и Е, у=Р— 1; д ! !!Х1 2) х=агс51п Е, д=!п(1 — Р)! 1075. х = аЕ соз Е, у =аЕ 5!я !; сиа ш-' 1076. Доказать, что функция у=7" (х), заданная параметрическими уравнениями у=е'созЕ, х=е'51пЕ, удовлетворяет соотношению у" (х+у)'=2 (ху' — у).
1077. Доказать, что функция д=7(х), заданная параметрпчески уравнениями д=ЗŠ— Р, х=ЗР, удовлетворяет соотношению 1071. х = а сок Е, О1072. х=а(!р — 51п1р), !073. !) х=асоь'Е, 2) х=асозЯЕ, 88у" (д — ),'8Х) = +8. 1078. Доказать, что функция, заданная параметрпчески уравнениями х=51П!, д=51пяЕ, удовлетворяет соотношению (! — Хз), — х +й1д=О. 1Г!у !Еу Г!Х-' Г!Х 1079. Доказать, что если х = ~ (Е) сот Š— ~' (Е) 5! п Е, д = ~ (Е) 51п ! + )' (Е) соз Е, Е55 Ехз ),Еут Г!(Е) ! ! (Е))!ГЕ!5 Ускорение движения 4 1080. Точка движется прямолинейно, причем 5=- Š— Е+5. Найти ускорение а в конце второй секунды (5 выражено в метрах, Š— в секундах).
!081. Прямолинейное движение происходит в соответствии с формулой 5=Р— 4Е+ !, Найти скорость и ускорение движения. 2 . ИЕ 1082. Точка движется прямолинейно, причем 5=-- 51п — +55. Найти ускорение в конце первой секунды (з выражено в сантиметрах, Š— в секундах). $ К ПОВТОРНОЕ ДИЧ РЕРЕПЦИРОВХНИЕ 1083.
Точка движется прямолинейна, причем з = )/Х Доказать, что движение замедленное и что ускорение а пропорционально кубу скорости о. 1084. Тяжелую балку длиной 13 и спускают на землю так, что нижний ее конец прикреплен к вагонетке (рис. 28), а верхний удерживаетси канатом, намотанным иа ворот. Канат сматывается со скоростью 2 м/мин. С каким ускорением откатынается вагонетка в момент, когда она находится на расстоянии 5 м от точки О? 1085.
Баржу, палуба которой на 4 м ниже уровня пристани, подтягивают к ней при помощи каната, наматываемого на ворот со скоростью 2 м/с. С каким ускорением движется баржа в момент, когда она удалена от пристани на 8 м (по горизонтали). 1086. Точка движется прямолинейно так, что скорость ее изменяется пропорционально квадратному корню из пройденного пути. Показать, что движение происходит под действием постоянной силы. 1087. Дано, что сила, действующая на Рис. 28 материальную точку, обратно пропорциональна скорости движения точки. Доказать, что кинетическая энергия точки является линейной функцией времени. Формула Лейбница 1088. Применить формулу Лейбница для вычисления производной: 1) [(х'+1) з|пх)омь 2) (е" Рбп«)~"', 3) (х'Рйп ах)<" >.
1089. Показать, что если у=(! — х)-"е-"", то (1 — х) -- =а«у. РУ Применив формулу Лейбница, показать, что (1 — «) ф "+м — (и+55«) у~"! — Пмуы м = О. 1090. Функция у = е' '"-""" удовлетворяет соотношению (1 — х') у" — ху' — сс'у= 0 (см. задачу 1051). Применив формулу Лейбница и дифференцируя зто равенство п рзз, показать, что (! — «5) у("~11 — (2а -)- 1) ху("~5) — (пз -(- сд) у~ 5) = О. 1091. Показать, что (е соз Ьх)<"~ =г"е'"' сое (Ьх+ и р), где г =1'а'+ Ь' !8 ф = Ыа. ГЛ.
НЕ ПРОИЗВОЦНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ Используя формулу Лейбница, получить следующие формулы: г" соз юр = а" — С„'а"-зЬ'+ С„'а"-4ЬА —..., г" з(п а~à —.— С„'а"-гЬ вЂ” С„"а"-"Ь'+ С"„а" АЬ" — „. 1/х 1092. Доказать, что (х" 'ен")~"1= ( — !)" — „„. 1093. Показать, что функция д = агсз)п х удовлетворяет соотношению (1 — х') д" =хд'. Применяя к обеим частям этого уравнения формулу Лейбница, найти дп'(0) (п~2). 1094.
Применяя формулу Лейбница а раз, показать, чтофункция д=-соз(гпагсз(пк) удовлетворяет соотношению (1 — х') д'""~ — (2п+ 1) кд1 "О+ (иР— и') дио = О. 1095. Если д=(агсз)пх)', то (1 — х') д'" "— (2п — 1) хд~" ~ — (и — 1)' д~"-ы = О. Найти д' (О), д" (О), ..., д1"'(О).
Дифференциалы высших порядков 1096. д=1/х'; гРд=? 1097. д=х'",' грд=? 1098. д=(х+1)'(х — 1)г; ЕРд=? 1099. д=4-"', гРд=? ~ь 1100. д=агс19( 19х~; грд=? 1101. д=)/!п'х — 4; срд=-? 1102. д=з1пгк' ЕРд=? 1103. рАсозАЧ~ — аАА1ОАЧ~=О; гРР=? 1104. хгм+д"'," = аз"; грд =? 1105. д= 1и —,,; х=1яц выразить грд через: 1) х и г(х, 1+ х'-" 2) 1 и г(1. 1106. д=з)пг; г=а"; х=Р; выразить ерд через: 1) г и цг, 2) х и г(к, 3) 1 и й. ГЛАВА !д/ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ и 1. Поведение функции 1107. Показать, что точка х= О есть точка минимума функции у=- Зх' — 4хз+12х'+!.
1108. Исходя непосредственно из определения возрастающей и убывающей функции и точек максимума и минимума, показать, что функция у=х' — Зх+2 возрастает в точке х,=2, убывает в точке х,=О, достигает максимума в точке х,= — 1 и минимума в точке хз=1. 1109 Так же как в задаче 1108 показать что функция у = =-саа2х возрастает в точке хд=Зп/4, убывает в точке х,=п/б, достигает максимума в точке х,=О и минимума в точке х,=п/2. 1110. Не пользуясь понятием производной, выяснить поведение данной функции в точке х = О: 1) у=1 — хз; 2) у=х' — х"'; 3) у=у'х; 4) у=у'х' 5) у = 1 — д/ х'; б) у = , '!ух ~; 7) у =- ! !и (х+ 1) !; 8) уе е —,"'; 8) у — 1Гхз+хз. 1111. Показать, что функция у = !и (х'+ 2х — 3) возрастает в точке х, =2, убывает в точке х,= — — 4 и не имеет стационарных точек.
11(2. Выяснить поведение функции у=а!пх+созх в точках хд=О, хд= 1, хз=- — и/3 и хд= 2. 1113. Выяснить поведение функции у=-х — )пх в точках х,= =- 1~2, хз=-2, хз=е и х,= ! и показать, чга если данная функцияя возрастает в точке х = а ~ О, то она убывает в точке ! /а. 1114. Выяснить поведение функции у = х агс!й х в точках хд — 1, х'== — ! и хз=-О. 11!5. Выясндпь поведение функции при хФО, при х-=0 в точках х =! 2 /2, х, = — 1/2 и хз = О.
ао Гл. пл псслсдовхиие Функции и их Гглчиков 2 2. Применение первой производной Теоремы Ролля и Лагранжа 1116. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции д=ха+4х' — 7х — 10 на отрезке [ — 1, 2]. 11!7. Проверить справедливость теоремы Ролла для функции д= 1п з1пх на отрезке [и/6, бп/6].
1118. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции д=4""" иа отрезке [О, и]. 1119. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции д='~Гх' — Эх+2 на отрезке [1, 2]. 2 — х~ 1120. Функция д= —, принимает равные значения на концах отрезка [ — 1, 1]. Убедиться в том, что производная от этой функции нигде на отрезке [ — 1, 1] в нуль не обращается, и объяснить такое уклонение от теоремы Ролля, 1121. Функция д=~х! принимает равные значения на концах отрезка [ — а, а]. Убедиться в том, что производная отэтойфункцпи нигде на отрезке [ — а, а] в нуль не обращается, и объяснить такое уклонение от теоремы Ролля.
1122. Доказать теорему: если уравнение пах" + агх"-'+ "+ ак-тх = О имеет положительный корень х=х„то уравнение аа„х"-'+(л — 1) агха-а+...+па т=О также имеет положительный корень и притом меньший х,. !123. Дана функция 1(х) = 1+х" (х — 1)", где ш и и — целые положительные числа. Не вычисляя производной, показать, что уравнение !'(х) =О имеет по крайней мере один корень в интервале (О, 1).
1!24. Показать, что уравнение х' — Зх+а=О не может иметь двух различных корней в интервале (О, 1). 1!25. Не находя производной функции ~ (х) = (х — 1) (х — 2) (х — 3) (х — 4), выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение !' (х) =О, п указать интервалы, в которых они лежат. ! ! 26. Показать, что функция ~ (х) = х" (- рх -(- д не з ожет иметь более двух действительных корней при четном и и более трек при нечетном и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
