Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 12
Текст из файла (страница 12)
967. Показать, что в двух точках кардиоиды (см. задачу 958), 2 соответствующих значениям параметра 1, отличающимся на — и, касательные параллельны. 968. Доказать, что если ОТ и ОМ вЂ” перпеидпкуляры, опущенные из начала коордипат па касательную н нормаль к астроиде в любой ее точке (см. задачу 959), то 4 ОТ'+ ОЛ/' = аА.
969. Найти длину перпендикуляра, опуьцеппого из начала координат на касательную к линии 2х = а (3 соя Г + соз ЗГ), 2у = а (3 з ш 1+ з |п 30. Показать, что 4р'=Зр'+4а', где р — полярный радиус данной точки, а р — длина указанного перпендикуляра. Скорость изменения полярного радиуса 970. Дана окружность р=2гз|пф. Найти угол 6 между полярным радиусом и касательной и угол а между полярной осью и касательной. 971. Доказать, что у параболы р=азес' ф сумма углов, обра- 2 зованных касательной с полярным радиусом и с полярной осью, равна двум прямым, Использовать зто свойство для построения касательной к параболе. 972.
Дана линия р =аз)п' ф- (конхоида); показать, что а=46 з (обозначения те же, что в задаче 970). 973. Показать, что две параболы р=азес' ~~ и р=Ьсозес'-2 пересекаются под прямым углом. 974. Найти тангенс угла между полярной осью и касательной к линии р=азес'ф в точках, в которых р=2а.
975. Найти тангенс угла между полярной осью и касательной в начале координат: 1) к линии р=з|п'ф, 2) к линии р =з|ПЗр. 976. Показать, что две кардиоиды р=а(1+созф) и р = -а(1 — созф) пересекаются под прямым углом. 977. Уравнение линии в полярных координатах задано параметрически: р=~,(1), ф=~,(1). Выразить тангенс угла 6 между касательной и полярным радиусом в ниде функции й 978. Линия задана уравнениями р=аР, ф=Ьг..
Найти угол между полярным радиусом и касательной. 979. Дан эллипс х=асоз(, у=ЬЕ!пй Выразить полярный радиус р и полярный угол ф как функции параметра й Исполь- Э 4 ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМСИЕИИЯ 7! зовать полученную форму задания эллипса для вычисления угла между касательной и полярным радиусом. Пол яр ной п одк а с а тельной называется проекция отрезка касательной от точки касания до ее пересечения с пер. пендикуляром, восставленным к полярному радиусу в полюсе, на этот перпендикуляр. Аналогично определяется п о л я р н а я п о днормаль, Учитывая это, решить задачи 980 — 984. 980.
Вывести формулу для полярной подкасательной и полярной подиормали липин р=?'(ср). 981. Показать, что длина полярной подкасательной гипербоа лической спирали р=-- постоянна. % 982. Показать, что длина полярной поднормали архимедовой спирали р =акр постоянна. 983. Найти длину полярной подкасательной логарифмической спирали р=ач.
984. Найти длину полярной подиормали логарифмической спи* рали р =.ач. Скорость изменения длины В задачах 985 †9 через з обозначена длина дуги соответствующей линии. 985. Прямая у-=ах+5; — =? лз 986. Окружность хз+ уз == гз; =? 6Ь ' РХ 987. Эллипс -., + ",, = 1; .- =-? СЛ Эз ' ВУ 988.
Парабола уз = 2рх; йз=? 989. Полукубическая парабола у'=ах'! — =? з, Ж ' Вд 990. Синусоида у=-япх; й=? е'+ е-" 99!. Цепная линия у= (у=снх); 8-,- — — ? й 992. Окружность х = г соз 1, у = г я п1; „=? РЗ 993. Циклоида х =а(1 — яп 1), у==а(! — соз1); „=? 994. Астроида х ==а созз1, у==аяп'1; Нз=? 995. Архимедова спираль х=-а1зпа, у=а1соз1; !(з=? 996. Кардиоида х = — а(2соз1 — соз21), у=а(2яп! — В(п21)! лз — ? 997. Трактриса х=а(соз1+(п(д -), у=аз!п1; бз=? 2,) ' 998. Развертка окружности РЗ х=а(соз|+1яп1), у=а(з!п1 — 1соз1); --=? 999.
Гипербола х=асЫ, у=аз)!1; й=? Ъ2 гл. и!. п! оизводпхя и дие ьсесицпхл Скорость движения 1000. Лестница длиной 1О м одним концом прислонена к вертикальной стене, а друп!и — опирается о пол. Нижний конец отодвигается от стены со скоростью 2 м!мин. С какой скоростью опускается верхний конец лестницы, когда основание ее отстоит от стены на б м? 1хак направлен вектор скорости? !00!. Поезд и воздушный шар отправляются в один и тот же момент из одного пункта. Поезд движется равномерно са скоростью 60 км/ч, шар поднимается (тоже равномерно) со скоростью !О кмр!.
С какай скоростью оии удаляются друг от друга? Как направлен вектор скорости? Рис, 26 И02. Человек, рост которого 1,7 м, удаляется от истачиикз сгсти, находящегося на высоте 3 м, со скоростью 6,34 км!ч. С како!! скоростью перемещается тень его головы? Рис. 27 1003. Лошадь бежит по окрум<иости со скоростью 20 км 'ч. В !ш!Ггре окру7ю!осп! находится фонарь, а по касател! ио!! к ок!сел!- ности в точке, откуда лошадь изчииаст бег, расположен з бор. С какой скоростью перемещается тень лошади вдоль забора в!:амсиг, когда оиа прабсжиг 1/8 окружности? !004. На рис. 26 изображен схематически кривошииный механизм паровой мзшииы: А — крейцкопф, ВВ' — изиравля!ашие, АР— иштуи, Р— палец крпвошииа, Я вЂ” маховое колесо.
?Аахос.е 1 5, пОВтОРнОе диФФе!'енциРОВхние колесо равномерно вращается с угловой скоростью ы, радиус его !?, длина шатуна й С какой скоростью движется крейцкопф, когда маховик повернут на угол а? 1005. Разорвалось маховое колесо, делавшее 80 Оборотов в минуту. Радиус колеса 0,9 м, центр приподнят над полом на ! м. Какой скоростью будет обладать обломок, отмеченный на рпс, 27 буквой А, прп падении на землю? 9 5. Повторное дифференцирование Функции, заданные в явном виде 1038. у= —,.
1040. д=з!Пвх+созвх. 1037. у =- )о, х. 1039. д=,, +2. 1006. у=х' — Зх+2; у"=? !007. у=1 — х' — х'; у"=? 1008. ( (Х) = (х+ 10)в ('" (2) =? 1009. ~(х)=ха — 4хв+4 ~!ч(Ц=? 10!0. у=(ха+1)в; у'=? !011. у=сох!»; д-=? !О!2. г(х)=е~ ', !'"(О)=? 10!3. ((Х)=асс!йх ("(1)=? 1014. Р(х) = ! Уч (х) =? 1015. у=х"!пх; у'"=? 1016. ~(х) = -„; ~" (х) =? 1017. р=аейп29; — =? 1018. у= — '; у! )=? Д4р ! — х Еа 4 !+х' В задачах 1О!9 — !028 найти вторые производные от фуикшвй 10!9. у=хе"*. 1020. у=— ! ! -!. х' 102!. у=(1+х') агс!Ех. 1022.
у=)~а' — х'. 1023. у=!П(х+)~'1+х'). 1024. у= —— а+'г х !025. у =- ег''. 1026. у=$' ! — Хв агсз!Пх. 1027. у = агсв ш (а звп х). 1028. у =х':. В задачах !029 — !040 найти общие выражения для производных порядка и от функций: 1029. у=е"'. 1030. у=е-'. 103!. у=-з(пах+созЬХ. 1032. у=-з!пвх. 1033.
у=хе-'. 1034. у=х (пх. 1035. у= —. ! ахФЬ' 1036. д=!п (ахп Ь). ?4 ГЛ. П!. ПРОИЗВОДНХЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 404!. Доказать, что функция у=(х' — 1) удовлетворяет соот. ношению (х' — !) у! "1" + 2хд!"'1 — и (и+ 1) у!" 1= О. 1042. Доказать, что функция у=е" з!пх удовлетворяет соотношению у" — 2д'+2у=О, а фунгп!Ия у=е-"з!пх — соотношению у" + 2у' + 2у = О. х — 3 1043. Доказать, что функция у= — 4 удовлетворяет соотношению 2у'4 = (у — 1) д"4 1044. Доказать, что функция у= д'2х — х' удовлетворяет соотношению д'у" +1=0. 1045.
Доказать, что функция у=с" +2е- удовлетворяетсоотношению д — 13у' — !2д=О: 1040. Доказать, что функция д = е""+е — 1" удовлетворяет соотношению ху'+- у — --д=О. 1 2 4 1047. Доказать, что функция д=созеФ+з1пеФ удовлетворяет соотношению у" — у'+уе"=О. 1048. Доказать, что функция д =- А з1п (ы ! + ы,) + В сов (ы! + е,) (А, В, ы, ы4 — постоянные) удовлетворяет сеотнепгеиию 4!4И вЂ” 4+ гозд = О. Йг 1049. Доказать, что функция аге44+ае-" +азсозпх+а4 з(ппх И4у (а„а, а;, а„п — постоянные) удовлетворяет соотношению -;=- и'д. 1656.
Доказать, что фуикпия у=з1п(пагсз1пх) удовлетворяет соотношению (! — х-) д" — хд'+ л'д = О. 1051. Доказать, что функция е"""'""' удовлетворяет соотношению (! — х') у" — ху' — изд =. О. 1052. Доказать, что функция у —.=(х+1'х'+ !) удовлетворяет соотношению (! + хз) у" +.Гу' — 54у =- О. 1053. Доказать„что выра!кение В=-, —, ~,~ не изменится Э если заменить у на —, т, е. если положить у=, то — '-,—— 1 1 у'," у д! д4 Ь 5.
пОВтОРнОе ДНФФеРепцндоаьпше 1054. Дано д=1(х). Выразить а, через „- и --; —. Показать, ду дду ~д- ух йхз что формулу Й= „можно прсобразовать к виду О +у")а )эх!ь 1 1 ~сРд)з!з + /~-'хаем ' 1055. Дано: г (х)=~(х)гд(х), прп этом Г'(х) сд'(х) =С. Доказать, что Г" 1" Ф" 2С д'" )а Ф"' --= — +--+ —, и —.-= — +-— у 1т У=) Ф' Функции, заданные в неявном виде то ау ах+ Ьд+и а2д д ах ух+ау+1 ах~ (Ьх-1-ау 1 Оз ° где А — постоянная (не зависящая от х и д), 1068.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
