Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Через данную точку Р(1, 4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей. 1238. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, АФ У2 вписанного в эллипс — +-;=1. 1239. Найти наименьший по площади эллипс, описанный около данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и Ь равна паЬ). „. 1240.
Через какую тачку эллипса — +; — =1 следует провести касательную, чтобы плошадь треугольника, составленного этой касательной и осями координат, была наименьшей? ! Е ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Вт 124!. На эллипсе 2х'+Пз= 18 даиыдве точки А (1, 4) и В(3, О). Найти на данном эллипсе третью точку С такую, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей. !242. На оси параболы у' = 2рх дана точка на расстоянии а от вершины. Указать абсцнссу х ближайшей к ней точки кривой.
1243. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сеченне желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, прн котором вместимость желоба будет наибольшей. 1244. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 м и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим.
Каковы должны быть размеры балкир 1245: Ряд опытов привел к п различным значениям хм хм ..., х для исследуемой величины А. Часто принимают в качестве значения А такое значение х, что сумма квадратов отклонений его от х„х„..., х„имеет наименьшее значение. Найти х, удовлетворяюецее этому требованию. 1246. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки 6ЕрЕГа (ЛВГЕРЬ распОЛОжсн На бЕрЕГу).
ЕСЛИ ГОНЕЦ МОжЕт дЕЛатЬ пешком по 5 км!ч, а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? 1247. Прямо над центром круглой площадки радиуса )7 нужно повесить фонарь. На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку, которой обведена площадка. (Степень освещения некоторой площадки прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.) 1248. На отрезке длиной 1, соединяющем два источника света силы 7, и 1„найти наименее освещенную точку.
!249. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятным для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения был наибольшим)7 1250. Груз весом Р, лежащий па горизонтальной плоскости, должен быть сдвинут приложенной к нему силой г". Сила трения пропорциональна силе, прижппзющей тело к плоскости, и направлена против сдвигаюшей силы, Коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен л. Под каким углом Ч~ к горизонту надо приложить силу г", чтобы величина ее оказалась наименьшей? Определить наименыпую величину сдвигак1щей силы. гл !ч исслвдовлнив Функции и их ГРлжиков 1251.
Скорость течения воды по круглой трубе прямо пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу Я, вычисляемому по формуле И =о/р, где Я вЂ” площадь сечения потока воды в трубе, а Р— смоченный (подводный) периметр сечения трубы. Степень заполнения трубы водой характеризуется центральным углом, опирающимся на горизонтальную поверхность текущей воды. При какой степени заполнения трубы скорость течения воды будет наибольшей? (Корин получающегося при решении задачи трансцендентного уравнения найти графически.) 1252. На странице книги печатный текст должен занимать 5 квадратных сантиметров.
Верхнее и нижнее поля должны быть по а см, правое и левое — по 0 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то какими должнь> быть наиболее выгодные размеры страницы? 1253*. Коническая воронка, радиус основания которой Р, а высота Н, наполнена водой.
В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненной из воронки погруженной частью шара, был наибольшим? 1254. Вершина параболы лежит на окружности радиуса )?, ось параболы направлена по диаметру. Каков должен быть параметр параболы, чтобы площадь сегмента, ограниченного параболой и ее общей с окружностью хордой, была наибольшей? )Площадь симметричного параболического сегмента равна двум третям произведения его основания на «стрелку» (высоту).~ 1255. Конус, радиус основания которого )?, а высота Н, пересечен плоскостью, параллельной образующей. Каково должно быть расстояние между линией пересечения этой плоскости с плоскостью основания конуса и центром основания конуса, для того чтобы площадь сечения была наибольшей? (См.
предыду>цую задачу.) 1256. Для какой точки Р параболы уз — 2)>х отрезок нор>шли в Р, расположенный внутри кривой, имеет иаимсныпую длш>у? 1257. Показать, что касательная к эллипсу, отрезок которой между осями имеет наименьшую длину, делится в точке каса>шя иа две части, соответственно равные полуосям эллипса. 1258. Доказать, что в эллипсе расстояние о> пеитра до любой нормали не превосходит разности полуосей.
(Удой>но воспользова>ься параметрическим заданием эллипса.) 1256. В прямоугольной системе координат хОд дзпы точка (а, Ы и кривая >) = — ) (х). Показать, что рассто>пше между постоянпой точкой (о, 5) и переменной (х, )(х)) может достигнуть зкстречума только в направлении нормали к кривой у--((х). Первообразной функции ((х) называется функция Р(х), про. нзводиая которой равнз данной фуиьц>ш: Р' (х)=-)'(х). ь 3. пРиыепспие В«ОРОГ! пРОизводпОп В задачах 1260 — 1262 показать (прн помошн дифференциро- вания и без него), что данные функции являются первообразнимп одной и той же функции.
1260. у= !пах и у=1пх. 1261. у=2 гйп'х и у= — соз 2х. 1262. д=(ех+е- )2 н у=(ех — е-*)'. 1263*. Показать, что функция д=созхх+соз 1- +х/ — созхсоз1' +х) 21а га ~з / ~з есть константа (т. е. не зависит от х). Найти значение этой кон- станты. зх 1264. Показать, что функция у=2агс!6«+агсз1П ., есть константа при х)1.
Найти значение этой константы. 1265, Показать, что функция а са2 х+ Ь 1 Га — Ь к1 у= агссоз ' — 2 агс!61 ~, — !й — /, а+Ьам х а+Ь 2/' где 0 сЬ~а, есть константа при «~0. Найти значение этой константы. 1266. Убедиться в том, что функции --е"', ехз!1х н ехс)2 х отхтх х личаются одна от другой на постоянную величину. Показать, что каждая нз данных функций являегся первообразной для функ- ции е". й 3. Применение второй производной Экстремумы В задачах 1267 — 1275 найти экстремумы данных функций, пользуясь второй производной. !267. у=ха — 2ак'+а'х (а' О). 1268. у=ха (а — х)2. 1269. у=х+ - (а)0).
* 1270. д=х+$' 1 — х. "1271. у=-х3'2 — х'. 1272. у=с)!ах. 1273. д=х'е-". 1274. у= !275. у=-«11х. 1пх' 1276. Прн каком значении а функция /(х) =аз1пх+ — з1пЗх ! 3 имеет экстремум при х = и/37 Будет ли это максимум или минимум? 1277. Найти значения а н Ь, при которых функция у=а )пх+ +Ь«2+х имеет экстремумы в точках «,=! и ха=2. Показать, что при этих значениях а н Ь данная функгн1я имеет минимум в точке х, и максимум в точке «2.
90 ГЛ. ИС ИССЛЕДОВАНИС ФРИКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 1278. Выяснить, выпукла или вогнута линия у=ха — 5хз— — 15х'+30 в окрестностях точек (1, 11) и (3, 3). 1279. Выяснить, выпукла или вогнута лрния у=агс1йх в акре. стностях точек (1, л(4) и ( — 1, — л(4). 1280. Выяснить, выпукла илн вогнута линия у=х'1пх в окре- стностях точек (1, 0» и (1(с', — 2(с'). 1281.
Показать, что график функции у=хасс!их везде вогнутый. 1282. Показать, что график функции у=!п(х' — 1) везде вы- пуклый, 1283. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде вогнутый, то зта функция ве может иметь более одного экстремума. 1284. Пусть Р(х) — многочлен с положительными коэффициен- тами и четными показателями степеней. Показать, что график функции д=Р(х)+ах+Ь везде вогнутый.
1285. Линии у=с~(х) н у — — ф(х) вогнуты на интервале (а, Ь). Доказать, что на данном интервале: а) линия у=гр(х)+ф(х) вогнута; б) если Ч~(х) и ф(х) положительны и имеют общуто точку минимума, то линия д=Ч~(х) ф(х) вогнута. 1286. Выяснить вид графика функции, если известно, что в интервале (а, Ь»: 1) у~О, у' »О, у" <О; 2) д)0, у'<О, у")О; 3) у<0, у' О, у" >О; 4) у>0, у'<О„у" <О. В задачах !287 — !300 найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графиков данных функций. 1287.
д=х' — 5хз+ Зх — 5. 1288. д= (х+1)'+е". 1289. у=х' — 12х'+48хв — 50. 1290. у=х+Збх-' — 2х' — х'. '1291. у=-Зх' — 5х'+Зх — 2. !292. у=(х+2)В+2х+2. 1293. у= —,—, (а)01. 1294. у=- а — 1/х — Ь. 1295. ««Ви™( — л(2=х=: л(2). 1296. у=!п (1+х'). 1297. у= — „1п.-- (а) 0). 1298 д = а — '~/(х — Ь)' 1299. у= елсн.', 1300. у=х'(12!пх — 7). хи.! 1301. Показать что линия у=„—, имеет трп точки перегиба, лежащие на одной прямой. 1302.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
