Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 14
Текст из файла (страница 14)
!127. Написать формулу Лагранжа для функции д=-ип Зх на отрезке [х,, х.]. 1128. Написать формулу Лагранжа для функции д=х(! — !пх) на отрезке [а, б]. $ К ПРИЬЮНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 1129. Написать формулу Лагранжа для функции у —.-Вгсз)п2х на отрезке [хо, хо+Ах). 1130. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функ- ции у=х" на отрезке [О, а); л)0, а -О. 1131. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функ- ции у=1пх на отрезке [1, е1.
1132. Доказать с помощью формулы Лагранжа неравенства а — Ь а а — Ь вЂ” (1п — =.— ь ь при условии 0<Ь=.а. !1ЗЗ. Доказать с помощью формулы Лагранжа неравенства ~ „~~1да — 1ий(~— ,~ при условии О<р(а< соко й сова а ПЗ4. Доказать с помощью формулы Лаграюка справедливость при а~Ь неравенств НЬ"-! (а — Ь) <а" — Ь" < паа-' (а — Ь), если л= 1, и неравенств противоположного смысла, если п<1. 1135.
Рассмотрим функцию 1 х'з!и — при хчьО, ~(х) = О при х= О. Эта функция дифференцируема при любом х. Напишем для нее формулу Лагранжа иа отрезке [О, х1: 7 (х) -1(0) = хг' (а) (О < 5 < х). Будем иметь 1 ! . 1 11 хо я!и — = х [аз!и — — соз — ~ в 1 . 1 .
1 откуда соз — =25 з!и — — хз!и —, Заставим теперь х стремиться к к нулю, тогда будет стремиться к нулю и $, и мы получаем: 1нн соз — = О. 1 е о Объяснить этот парадоксальный результат. 1136. Применяя на отрезке [1; 1,!) к функции 1(х) =агс1нх формулу ~(х + ах) [(хо)+Г (хо+ й ) Ьх найти приближенное значение агс!и 1, !. В задачах 113? — !!41, используя формулу [(хо+ Лх) ~ (хо) +[' ~хо+ --~) Лх, вычислить приближенные значения данных выражений: ва гл. пс исследовлние Фь пкции и их гглч иков 1137, агсз1п 0,54. 1138. !я !1. Сравнить с табличным значением. 1139.
!п(х+1 1+х') при х=0,2. 1140. !а7, зная 162=0,3010 и !63=0,4771. Сравнить результат с табличным. 1141. !я 61. Сравнить результат с табличным. 1142. Убедиться в том, что, применяя формулу ( (5) = ( (а) + (Ь вЂ” а) ~' ( — 2) к вычислению логарифма от Л(+0,0!)х', т.
е. полагая 16(Л(+0,0!й() = 165(+ 0 „, 0,01,6 = 16(У+ — ( —,, 0,43429 , 0,40429 допускаем погрешность, меньшую 0,00001, т. е. получаем пять верных цифр после запятой, если только !6 М дан с пятью верными цифрами. Поведение функций в интервале 1!43. Показать, что функция д=2хз+Зх' — 12х+ ! убывает в интервале ( — 2, 1). ь 1144. Показать, что функция д= и'2х — х' возрастает в интервале (О, !) и убывает в интервале (1, 2). Построить график данной функции. 1145.
Показать, что функция д=х"+х везде возрастает. 1146. Показать, что функция д = агс!6х — х везде убывает. хх — 1 '1147. Показать, что функция д= — возрастает в любом интервале, не содержащем тачки х=О. еп (х-(-Ю 1148. Показать, что функция д='— .— изменяется моноаж (х+ь( тонно в любом интервале, не содержащем точек разрыва функции. 1149*. Доказать неравенство — '" --- при условии (е ху х~ (а х, х, 0(х,~хе~и!2. 1150.
Найти интервалы монотонности функции д=х' — Зх~— — 9х+14 и построить по точкам ее график в интервале ( — 2, 4). 1151. Найги интервалы кюпотоипостп функции д=х' — 2х'-' — 5. В задачах 1152 — !164 найти интервалы монотонности функций. " 1152. д = (х — 2 (з (2х +! )'. 1153. д =-1~ (2х — а) (а — х)' (а ) О). '1154. д= (,, ',. 1!55. д 4 — ч '-' (+х.г х- 1156. д=х — е".
1!57. д=-х'е- . ! а пРименение пеРВоп пРоизВоднои 1!58. у=в 1159. у= 2х' — 1пх. !и х' '1160. у=х — 2сппх (О~х =2л). р 1161. д=2з!Пх+соз2х (О~х~2л). 1162. д=х+созх. 1163. у=!п(х+)~ 1+хз). 1164. у=х'р'ах — х' (а)0). В задачах 1155 — !!84 найти экстремумы функций. 1165.
у=2хх — Зхв. 1166 у 2хх бхх 18х+ 7 Р1167. ! = 1!68. = 1)'х' — Зх'+8'. у= 1171 д= -хг у бх — 7 1172 у= зхт' ! — х 1173. у= |П4, р=ДР У)с )' 4 !- Ех'-' Р 1175. д = х — !и (1+ х). 1176. у= х — 1и (1+ хх). 1177. у=(х — 5)ху' (х+ !)х. 1!78. у=(хх — 2х)!пх — — хх+ 4х. ! х л х — ! 1179, у= - (х'+1) агс!йх- — х' — —. 2 8' 2 1180. у=--(х' — —,-!агсз!Их+ 4 х)Г1-х' —;йх'.
л! 1181. у = х з! п х+ сов х — -- х* (- -- ~ х =-". — ). 4 ( 2 2!' /! 1182, у = (;- — х соз х+ з!и х — — ~ 0 ~х -. — ~. -2) 1183. у = — соз л (х+ 3) + —., В(п л (х+ 3) (О ~ х .. 4). 2 †1 1184 у ггсрх ) Ье-рк В задачах 1185 — 1197 найти наибольшие и наименьшие значения данных функций на указанных отрезках и в указанных интервалах. "1185. д=х' — 2!а+5; ( — 2, 2). р! ! 86.
у = х+ 2 ! ' х; (О, 4). 1187. у=хх — 5х'+5хх+1; [ — 1, 21. 1188. у=хх — Зх'+бх — 2; ( — 1, Ц. 1189. у = 1' 100 — х' ( — б ~ х х- 8). ~ 1190, у=, (О х(1). ! — х-!-х1 1191. у=„— (О~х(4). ГЛ. ИЛ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ аа Ы 1192. 9= — + — (0<х< !) (а>О, Ь>О). 1193. у=з!п2х — х $ — и/2 =.х(п/2). 1194.
у=2!6х — (цах (О~х<п~2). 1195 у хх (О ! х < + со) 1196. 9 = РГ(х' — 2х)а (О < х ~ 3), 1197. у = агс!я —, (О < х ~ 1). Неравенства В задачах !198 †12 доказать справедливость неравенств. 1198. 2)Гх ~3 — — „(х) 1). 1199. е )1+х (х~О). 1200. х) 1п(!+х) (х- О). 1201. !пх> „~! (х>1). 1202. 2х агс!йх~!и(1+х').
1203. 1+х!п(х+3/ !+х) .)/1+ха. 1204. 1п (1+х) ) — ~„(х) О). 1205. Гбп х < х — -В- + ейб (х ) О). ха Ач 1206. з1пх+!йх)2х (0<х И12). 1207. сйх~ !+ — (хФО). Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функпий !208. Число 8 разбить иа два таких слагаемых, чтобы сУмма их кубов была наименьшей.
1209. Каное положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму? !2!О. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма ик квадратов была наименьшей. !211. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см', привем стороны основания относились бы, как 1: 2, Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей? 1212. Из углов квадратного листа картона размером !8М18 см' нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям (рис. 29), получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата? ! ! ПРименение песевоп пиоизаодной 1213. Решить предыдущую задачу для прямоугольного листа размером 8;;5 сьр.
1214. Объем правильной треугольной призмы равен о. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей? !215. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме и каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей? 12!6. Найти соотношение между радиусом !х и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность. ! 1217. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см.
Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим? 1218. Из круга вырезан сектор с центральным углом а. Из сектора свернута коническая поверхность. При каком значении угла а объем полученного конуса будет наибольшим? 1219. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образовашюго вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим". 1229. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим? 1221.
Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса )?. 1222. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса ??. 1223. Дождевая капля, начальная масса которой т,, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь„так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен я).
Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.) 1224. Рычаг второго рода имеет точку опоры в А; в точке В (ЛВ =-а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага равен й. Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р уравновепшвался наименьшей силой? (д!омент уравновешива!ошей силы должен равняться сумме моментов груза Р и рычага.) 1225. Расходы на топливо для топки парохода пропорииональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в !О км/ч расходы на топливо составляют 80 руб, в час, остальные же расходы (пе зависящие от скорости) составляют 480 руб.
в час. При какой вв ГЛ. ПЛ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час? 1226. Три пункта А, В и Срасположены так, что ~АВС=60'. Из пункта А выходит автомобиль, а одновременно из пункта  — поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью 80 км/ч, поезд — по направлению к С со скоростью 60 км~ч. В какай момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ=200 км? 1227. На окружности дана точка А.
Провести хорду ВС параллельна касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей. 1228. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса )т. 1229. В данный сегмент круга вписать прямоугольник наибольшей площади. 1230. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать). 1231, Найтп высоту прямого круглого конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса й. 1232.
Найти угол при вершние осевого сечения пануса наименьшей боковой поверхности, описанного около данного шара. 1233. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в эт~гг треугольник круга был наибольшим? 1234. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса 1? (центр основания конуса лежит в центре шара). 1235 Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар Радиуса ??, для того чтобы его боковая поверхность была наи- большеМ 1236. Доказать, что конический 1патер данкой вместимости требует наименыпего количества материн, когда его высота в ) 2 раз больше радиуса основания. 1237.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
