Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 9
Текст из файла (страница 9)
У=с'совх. х »в+ 2» е"' сав х х 607. у= —,„„. 698. у= —,. 609. у= — „. 6!0. д= -3.. 6П. д-) !+е.. 612. У=(хв — 2х+3)е". ' 613. у= —, 1+в» 1 — !О" е» 614. у= + 1+ !Е»' 615. у= —, 1+ хв' 616. у = хе (сов х+ гбп к). 617. д= е ". 6!8. у- 10в.-в. 6!9. У=с~ +Л Показательные функции В задачах 598 — 633 продифференцироаать данные функции. гл. пь пгоизводняя и диеезгвнцилл 620. у = з|п (2-").
622. у=а""'". 624. у= 2'*. 626 у з1п (еа+вк — з) 628 у еК1п~ ° +~*+с!, 630. у=ае-"'"'. 632. у= Ае-'" з(п (е1х+а). 62!. у=За"". 623 у еим1п 2м 625. у=е~ "'". 627 у 10~ — ап'м е 629. у=)пз(пу~агс1де". 6З!. у= е- *и'. 633. у=а х. Гиперболические функции В задачах 634 — 649 продифференцировать данные функции, 634. у=зИзх. 635. д=!псИх. 636. у= агс!6 (!Их).
637. у=!И(1 — хз). 638. у= зИ'х+сИ'х. 639. у= И(зИх). В40. У=У сИх. 64! у — есь'х 642. д=(И(1 ). 643. у = х зИ х — сИ х. 644 У=У(!.~Ю )'. 645. У=~ — * — ~!Ь'д. 646. у= ~г —. ' /'1+ 1Ь вЂ” $~ 1 — (кх. 647. у= — !Их+ — 1п— 1 )~2 1+у Й!Ьх 2 а ! — д21ьх 648. у=-„-сИ2х+)/хзИ2х. 649. у=х'е сзсИх. Логарифмическое дифференцирование В задачах 650 — 666 продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования.
650. у=х". 651. у =*х"". 652. у=(з(пх)"" . В5З. у=(1пх) . 654. у=(х+1)'!". 655. у=хзе"'з(п2х. Йа, 656.~ ~ ~ *'. 667.у (х — з)а 86а. д-~~ '"' ' еба. о-1/* *К1 — ~*. ', (*-в! К 1+агсапк' х !» 662 у=х~ь к 663 у= (~ 664. у=2х!'". 665. у = (х'+ 1)и"". к (хе+ 1) 668. д= Ф- !)" ГЛ. ИЕ ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ во в- ~~'~~в 7!3. у=в 1 'г' 1+апвх 7!5. у= — """" 1п совх' 712. д = хв ф 1+ ) х.
714. у=ха агс!8 ха. 716. у=агсв(Их+~/1 — х'. ! 718. у= е™". 1 — вх ' д!9. у=!п:. ех 720. у=!О'1а, 2 сов х 722. у==. "г' сы 2х 1 1+к 1 4 ) — к 2 724. у = — 1п — — — агс!ах. в-1~р — ~1 — Ъ) — ( — Ы звГ Я.. /~ — х 728 у ЕГ 1+к 721. у=в(пвхв!пхв 723. у=х1 1,+,. х 725 д 21в х. 726 в1п Зх ' У 2впв овх' х 729. у= в пв — х' — аагссоз —. а' 030. у = )~ хв + 1 — 1п ~ — + ~/ 1+ —,). В1ПВ Х СОВВ К 731. д= — + —. 1+с!ах 1+Век 732. у=1П(х+)Гх~ — 1) — =.
в' кв — 1 733. у = е'" (а я и х — соа х). 734. у = хе'- 735. у== 1 736. у=ее(яп Зх — ЗсоаЗх). асс!а е вв' 737. у = Зх' агсяп х+ (х'+ 2) )Г1 — х'. 1 * 2 738. у=, . 739. у=2агсв(п= — )Г2+4х — х'. У'6 740. у=!п(е'созх+е хв!Пх). 74!. у= 1+х агфа к 742. у= 1 г' 1+х~ сов !х — сов х) ' 1! 743.
у=ехв!Пхсозвх. 744. у= )Г 9-!-бу Ав. 745. у = х — 1п ~2ех + 1+ 1/ евх+ 4е' + 1). фв 14В У, ЧбСВВР 7% ВО, В ех+е-х 748. у= 1п !вг — с!5х !п(1+яп х) — х. гл. ик пгоизводнля и диееваанцихл 773. Доказать, что функция у= удовлетворяет соотнор! — хз шению (1 — х') у' — ху = 1. 774*. Вычислить суммы а) 1+2х+Зк'+...+пхх-'; б) 2+2.3х+3 4х'+...+п(п — 1) х"-х Обратные функции 775. Допустим, что правило дифференцирования степеннбй функции установлено только для целого положительного показателя. Вывести формулу дифференцирования корня, используя правило дифференцирования обратной функции. 776. х=ех""!"х; найти выражение для — через р; через х.
иу й» 777. 1=2 — За+У; выразить -: через з. лх ай 1 1+и ии ии 778. и= 1и —; проверить соотношение -- -- =1. х ! — и! йй йи 779. Зная, что функции агсз!п3/х и з)п'х — взаимно обратные функции и что (з!и'х)'=з!п2х, найти (агсз(п)lх) . 780. Обозначим функцию, обратную степенно-показательной функции у=х', символом а(х), т. е.
положим, что из у=х" следует х= а(у). Найти формулу для производной от функции у = = а (х). 781, Функции, обратные гиперболическим, обозначаются символами Агз)! х, Агс)! х, Аг()! х. Найти производные этих функций. ш 782. з=!е-'! найти —. йх 1 — х' их 783. р= +х,. Выразить — через х! через у. Показать спралу ведливость соотношения — ° — = 1. йх йу 784. х=ут — 4у+1. Найти —.
йу йх йх 785. г=агсз!п2'. Найти выражение для;7 через з; через 1. Иу их 786. Проверить справедливость соотношения — „--= 1, если х йх йу и у связаны зависимостью: 1) у = х' + ах + Ь; 2) у = х-"; 3) у = 1п (х' — 1), Ф у н к ц и и, заданные н е я в и о 787. Убедиться дифференцированием в том, что производные от обеих частей равенства з)п'к=) — соках тождественно равны между собой. Э й.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 788. Убедиться дифференцированием в том, что производные от обеих частей равенства 2 Мнй к — ! соз к (2 зм к+ О сззк !+зык тождественно равны друг другу. 789. Чему равен угловой коэффициент касательной, проведен. кй уй ной к эллипсу — + — =1 в точке (1, )/'2)? 790. Чему равен угловой коэффициент касательной к гиперболе ху=а (ачьО), проведенной в точке (а, 1)? 79!. Чему равен угловой коэффициент касательной к окружности (х — 1)й+(у+3)й=17, проведенной в точке (2, 1)? В задачах 792 — 812 найти производные функций у, заданных неявно.
+ ь-й Зй 793. хй/й + !/1 /й а1/й 794. хз+ уз — Заку = О. 795. у'созх=а' з!НЗх/ 796. уз — Зу+2ах=О, 797. уй — 2ху+Ьй=О. 798. х' + у' = хйуй. 799. х'+ахйу+Ьхуй+дй=О. 800. зйп(хУ)+соз(ху)=!8(х+у).!801. 2" +2У=2кйз. 802, 28 !Ну=х. 803. х — у=агсй!и х — агсй!п у. 804. х"=у, й805. у= сок (х+ у). 806. сой (ху) =х. 807, Хй/3+уй/й = амй. 608. у= 1+хе'. 809. хй(п у — сое у+соз 25=0. 810. !5 —" = 1: 18 — ". 2 з' !+Е 2' 811. уебпх-соз(х — р) =О.
812. у=х+агс!йу. 813. Убедиться в том, что функция у, определенная уравнением ку — )ну= 1, удовлетворяет также соотношению уй+(хр — 1) -„=О. еу Применения производной 814. На параболе у.=х' взяты две точки с абсциссамн хй= 1, х. = 3. Через эти точки проведена секушая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секушей? 815, Через фокус параболы проведена хорда, перпендикулярная к оси параболы. Через точки пересечения этой хорды с па.
раболой проведены касательные. Доказать, что эти касательные пересекаются под прямым углом. 816. Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе у=1/х в точке с абсциссой х= — !/2. Найти подкасательиую и поднормаль. 817. Показать, что отрезок касательной к гиперболе у = — „, а заключенный между осями координат, делится в точке касаний пополз м. ГЛ. ПЬ ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 618.
Показать, что для гиперболы ху=а площадь треуголь- ника, образованного любой касательной и координатными осями, равна квадрату полуоси гиперболы. 819. Точна движется по прямой так, что ее расстояние з от 1', начального пункта через 1 с равно з= 4 г~ — 41 + 1И'. а) В какие моменты точка была в начальном пункте? б) В ка- кие моменты ее скорость равна нулю? 820. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону з=!+!+1з; з выражено в сантиметрах, ! — в секундах.
Определить кинетиче/Аяя 1 скую энергию 1 — ) тела через 5 с после начала движения. ~з ) 82!. Угол а поворота шкива в зависимости от времени!задан функцией а=!А+3! — 5. Найти угловую скорость при 1=5 с. 822. Колесо вращается так. что угол поворота пропорционален квадрату времени, Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найти угловую скорость а через 32 с после начала движения. 823. Угол 8, на который поворачивается колесо через! с равен Э=а!з — 6!+с, где а, Ь, с — положительные постоянные. Йайти угловую скорость ы движения колеса. В какой момент времени угловая скорость будет равна нулю? 824. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени ! =О, дается формулой Я = 2Р + 31+ 1 (Кл).
Найти силу тока в конце пятой секунды. 825. На линии у=х'(х — 2)' найти точки, в которых каса- тельные параллельны оси абсцисс. 826. Показать, что линия у= х'+ бх — 12 во всех своих точ- как наклонена к оси Ох под острым углом, 827. В каких точках линии у= хА+х — 2 касательная к ней параллельна прямой д= 4х — 1. 1 628. Составить уравнения касательных к линии у = х — -- в точх как ее пересечения с осью абсцисс. 829. Составить уравнение касательной к линии у = х'+Зхз — 5, перпендикулярной к прямой 2х — бр+ 1 =О. В задачах 830 — 833 составить уравнения касательной и нор- мали к данным ливням.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
