Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 7
Текст из файла (страница 7)
382. 1!гп — „„е (а >О). „„ах+ ! к-+со "+ 383. 1ип —. 384. Игп — ~ х со к, х к В О. НАХОЯВДЕ!ОИЕ ПРЕДЕЛОВ 383. !ип х+ 380 1. оооо)а х х+ сов х х в 2 387, 1ип «1п (а+36) — 3 На (а+21»)+3 в!а (а+а) — в)а а о о к а/2 389. 1ип 1 — сов (! — ае х) 390*. 1ип )сов — сов —...сов -1. l х х х) 2 4 ' ' 2«/' о о оо 391. 1!гпх'(1 — сов — ~. 392. 1ип (сов)»х+1 — сов)»х). к»»» к»о 393*. 1ип х ~агс18 — — 4 ). х+! Л1 «+2 394.
!!Пт х (агс18 — — агс18 — 1. 395". 1Пп х+2 «+2! ' 1 390, 1ип (1+ --) (п>0). 397з. 1ип(сов х)"'о . х Еоо~ к ооо к 398. 1ип —. 399. 1'ип ( — ) к о х о ! в 400. 1!гп(совх+в!п х)" . 401. 1ип (совх+аз!ПЬх) . к з Сравнение бесконечно малых 403. Бесконечно малая величина и, принимает значения 1 1 1 ив=! Пз= и воз= 3» ". » Нк=,—, ° " а бесконечно малая величина о — соответственно значения ! 1 ! ов — 1» оз — 9»» оз = 3! > 1« = а)' ''' Сравнить ив и о„; какая из них высшего порядка малости? 403. Функция и„принимает значения 3 а ив — ! Е,=О ив= „= из= —, ..., и„= 3' 27' ''' ав а функция о„— соответственно значения Ох=2~ Ов= 3, Ох=2-~, ..., 0«= —.. аз Сравнить эти бесконечно малые величины. 404.
Бесконечно малая величина а, принимает значения ! 2 а — ! и' 40 ГЛ, П. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ а бесконечно малая величина о„— соответственно значения 5 7 Ел+1 о1 3 о» 4 оз ' . о» = 9' '''' л' Убедиться в том, что и„и о„— бесконечно малые одного порядка, но неэквивалентные. 405, При х-~-1 функции 0 = — и р = 1 — $' х бесконечно 1+» малы. Которая из них высшего порядка милости? 406.
Дана функция у=ха. Показать, что Лу и Лх при Ьх-э-О и при х Ре О являются бесконечно малыми одного порядка. Проверить, что при х = О величина Ьу бесконечно малая более высокого порядка, чем Лх. При каком значении х приращения йх и Ьу будут эквивалентными? 407. Убедиться в том, что при х- 1 бесконечно малые величины 1 — х и 1-Р'х будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентными? 408.
Пусть х-РО. Тогда 7 а+х" — р а (а)0) будет бесконечно малой величиной. Определить порядок ее относительно х. 400. Определить порядок относительно х функции, бесконечно малой при х-».О: 1) ха+ 1000х'; 2) 1Гхз — )/ х; 3) — "1; 4) 1+Ь'» х»+! 410. Доказать, что приращения функций и=а)Гх и Е=Ьхз при х 0 и при общем приращении Ах-~.О будут одного порядка малости. При каком значении х они будут эквивалентнымн (а и Ь отличны от нуля)? 411, Показать, что при х л- 1 бесконечно малые величины 1 — х и а(1-?Ух), где а~ 0 и й — целое положительное число, будут одного порядка малости.
При каком значении а они будут эквивалентными? 4!2. Доказать, что при х-Рп/2 функции зесх — 1ях и и — 2х будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они эквивалентными? 413. Доказать, что при х -«-О бесконечно малые величины ел» вЂ” е» и з1п 2х — В1п х будут эквивалентными. 414. Определить порядок относительно х функции, бесконечно малой прн х- О: л Ут»~' -1; Ч У1-~2* — 1 — У; 3) ~* — 1; Л "' — 1; 5) 1п(1+)Ухяпх); 6) Р"11+хз10-"; 7) е" — созх; 8) есл — созх; 9) созх — 17созх; 1О) з(п()71+х — 1); 11) 1п (1-)-х') — 2 ~/ ~е" — 1)', 12) агсз)п (~/»4+ хл — 2). $ С НАХОХ4ДЕИ44Е ПРЕДЕЛОВ Некоторые геометрические задачи 4!б.
Дан правильный треугольник со стороной а; из трех высот его строится новый правильный треугольник и так и раз. Найти предел суммы площадей всех треугольников при П-РОО. 4!6. В круг радиуса В вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг опять вписан квадрат и так л раз. Найти предел суммы площадей всех кругов и предел суммы площадей всех квадратов при п-4.ОО.
417, В равнобедренный прямоугольный треугольник. основание которого разбито на 2л равных частей, вписана ступенчатая фигура (рис. 15). Доказать, что при неограниченно возрастающем п разность между площадью треугольника и площадью ступенчатой фигуры бесконечно мала, Рис. 15 Рис. !6 4!8. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, катет которого равен а, гипотеиуза разделена на и равных частей и из точек деления проведены прямые, параллельные катетам. При этом получается ломаная АКЕ'.МФОРЯ)7ТВ (рис. 16), Длина этой ломаной при любом и равна 2а, значит, и предел ее длины ра. вен 2а. Но, с другой стороны, при неограниченном возрастании л ломаная неограниченно приближается к гипотенузе треугольника.
Следовательно, длина гипотенузы равна сумме длин катетов. Найти ошибку в рассуждении. 4!9. Отрезок АВ длины а разделен п точками на равные части, и из этих точек проведены лучи под углами п72п (рис. 17). Найти предел длины получившейся ломаной линии при неограниченном возрастании и. Сравнить с результатом предыдущей зздачи. 420. Отрезок АВ длины а разделен на л равных частей. На каждом частичном отрезке построена дуга окружности, равная п)л радиан (рис. 18). Найти предел длины получившейся линии при п~оо. Как изменится результат, если на каждом частичном отрезке будет строиться полуокружность? 42!.
Окружность радиуса Я разделена а точками Мь М„... ..., М„на равные части. Из каждой такой точки проведена дуга гл и. пеедел. нвпевеыаность окружности радиуса г до пересечения с дугами, построенными в соседних точках (рис. 19). Найти предел длины получившейся замкнутой линни при неограниченном возрастании л. 422. Два круга с радиусами Й и г (й'= г) касаются в начале координат оси ОУ и расположены правее нее (рис. 20). Какого порядка относительно х при х-~.0 будут бесконечно малый отрезок ММ' и бесконечно малый угол а? Рис.
17 Рис, 1а 423. Центр окружности соединен отрезком прямой ОР с точкой Р, лежащей вне окружности. Из точки Р проведена касательная РТ к окружности и из точки Т опущен перпендикуляр Т)т на прямую ОР. Доказать, что отрезки АР и Ай7, где А— точка пересечения прямой ОР с окружностью, — эквивалентные бесконечно малые при Р- А. Рас. 20 Рис. 1а 424. В конечных и в средней точках дуги АВ окружности проведены касательные и точки А и В соединены хордой.
Доказать, что отношение площадей образовавшихся при этом двух треугольников стремится к 4 при неограниченном уменьшении дуги АВ. Вычислительные задачи 425. Исходя из эквивалентности при х-~0фуикгшй )~'1+х-! и --х, вычислить приближенно: 1) 3 100; 2) 3~912; 3) )~'260; 4) ~ ~Ы; б) р'0,01; 0) 1'0,021 ° 3 с ИАхождение пРеделОВ 426. Показать, что при х- 0 функции у'1 +х — 1 и х)ив аквивалентные бесконечно малые. Воспользоваться згим для приближенного вычисления корней: 1) у'1047; 2) у' 8144; Э) ь' 1,1; 4) уТ080.
Найти значение этих же корней с помощью логарифмических таблиц. Сравнить результаты. 427. Использовать зквивалентность !П(1+х) и х при х-РО для приближенного вычисления натуральных логарифмов следующих чисел: 1,О1; 1,02; 1,1; 1,2. Найти десятичные логарифмы зтих же чисел и сравнить с табличными данными. ГЛАВА !11 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $ !. Производиав.
Скорость изменения функции Некоторые задачи физики 428. Дано уравнение прямолинейного движения точки: а=б!+б. Определить среднюю скорость движения: а) за первые б секунд, б) за промежуток времени от конца 3-й до конца б-й секунды. 429. Точка М удаляется от неподвижной точки А так, что расстояние АМ растет пропорционально квадрату времени. По истечении 2 мин от начала движения расстояние АМ равнялось 12 м. Найти среднюю скорость движения: а) за первые 5 мии, б) за промежуток времени от 1=4 мин до 1=7 мин, в) за промежуток времени от г=1, до 1=1,.
з 430. Дано уравнение прямолинейного движения: а=И+--. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от ! = 4 до ! = 4 +М, полагая Ы = 2; 1; 0,1; 0,03. 431. Свободно падающее тело движется по закону з= —, где ат 2* д1= 9,80 м/с') есть ускорение силы тяжести. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от 1= 5 с до (1+А!) с, полагая 51=! с; О,! с; 0,05 с; 0,001 с; найти скорость падающего тела в конце 5-й секунды, в конце 10-й секунды. Получить формулу для скорости падающего тела для любого момента времени 1.
432. Имеется тонкий неоднородный стержень АВ. Длина его 7.=20 см. Масса отрезка АМ растет пропорционально квадрату расстояния точки М от точки А, причем известно, что масса отрезка АМ=2 см равна 8 г. Найти: а) среднюю линейную плотность отрезка стержня АМ=2 см; б) среднюю линейную плотность всего стержня; в) плотность стержня в точке М.
433. В тонком неоднородном стержне АВ длиной 30 см масса (в граммах) распределена по закону л!=ЗР+51, где ! — длина часгн стержня, отсчитываемая от точки А. Найти: 1) среднюю линейную плотность стержня; 2) линейную плотность: а) в точке, З ь пвоизводнля. сковость изменения еункции аз отстоящей от точки А на расстоянии 1= 5 см, б) в самой точке А, в) в конце стержня. 434. Количество тепла Я (в джоулях), необходимого для нагре вания 1 кг воды от 0 до !'С, определяется формулой О= 4135,3 (!+ О,ОООО21 + О,ОООООО31*). Вычислить теплоемкость воды для ! = 30', ! = 100'. 435*. Угловую скорость равномерного вращения определяют как отношение угла поворота к соответствующему промежутку "-времени.
-Дать определение угловой скорости неравномерного вращения. 436. Если бы процесс радиоактивного распада протекал равномерно, -то нод скоростью распада следовало бы понимать количество вещества, разложившегося в единицу времени. На самом деле процесс протекает неравномерно. Дать определение скорости радиоактивного распада. 437. Сила постоянного тока определяется как количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в едИницу времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
