Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 10
Текст из файла (страница 10)
830. у=з(пх в точке М (хо, уо) 831. у=1пх в точке М (хо, уо). 6А1 4 ХЗ 833. у'= —, (циссоида) в точке М (хо, уо) ° % к днФввввнцивовлнив фэнкцип 834. Показать, что падкасательная к параболе и-го порядка у=х~ равна — „-й части абсциссы точки касания. Дать способ по. 1 строения касательной к 'линии у=х". 835. Найти подкасательные и поднормали к линии у=х', у' х', ху'= 1. Дать способы построения касательных к этим линиям. 836. Составить уравнения касательной и нормали к параболе х' = 4ау в ее точке (хе, у4); показать, что касательная в точке о абсциссой хв = 2ал1 имеет уравнение х= — +ат. ф 837. Хорда параболы у=х' — 2х+5 соединяет точки с абсциссами х,=1, хэ — — 3.
Составить уравнение касательной к параболе, параллельной хорде. хэ — Зх+ 6 838, Составить уравнение нормали к линии у = в точке а абсциссой х= 3. ВЗЯ. Составить уравнение нормали к линии у = — )/х+2 в точке ее пересечения о биссектрисой первого координатного угла. 840. Составить уравнение нормали к параболе у=х' — бх+6, перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы. 841. Показать, что нормали к линии у=х' — х+1, проведенные в точках о абсцнссамн хг — — О, х,= — 1 и х,=512, пересекаются в одной точке.
842. В точках пересечения прямой х — у+1=0 и параболы у=х' — 4х+5 проведены нормали к параболе. Найти площадь треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей указанные точки пересечения. 843. Показать, что касательные, проведенные к гиперболе у= х — 4 — в точках ее пересечения с осями координат, параллельны между собой.
844. Провести касательную к гиперболе у= — так чтобы э+9 х+З она прошла через начало координат. 1 645. На линии у= — найти точку, в которой касательная 1+ х~ параллельна оси абсцисс. 846. Найти уравнение касательной к линии хэ (х+ у) = а' (х — у) в начале координат. 1+ Зхэ 847.
Доказать, что касательные к линии у= +„, проведенные в точках, для которых у=1, пересекаются в начале каор. ди наг. ГЛ. Пь ПРОИЗВОДИАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 848. Провести нормаль к линии д=х!пх параллельно прямой 2к — 2д+3=0, 849. Найти расстояние от начала координат до нормали к ли. нии д=е'х+х', проведенной в точке х=О.
850. Построить график функции д =з!п(2х — п/3) и найти точку пересечения касательных к графику, проведенных в точках с абсциссой х,=О и х,=5п/12. 85!. Показать, что у линии д=аеах (а и Ь вЂ” постоянные) подкасательная во всех точках имеет постоянную длину. 852. Показать, что поднормаль линии д=х1п(сх) (е — произвольная константа) в любой точке данной линии есть четвергая пропорциональная к абсциссе, ординате и сумме абсциссы и ординаты этой точки. 1 853. Показать, что любая касательная к линии д = — д' х — 4х' 2 пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.
У 854. Показать, что касательная к ~,д эллипсу; +ь, =1 вточке М(ха, да) имеет уравнение —," +-",~'-=1. а' 855. Показать, что касательная .хх х7 .т кгиперболе —, —; =! вточке М(х„да) хс д~ хх, Раа имеет уравнение —; — — =!. Ьс 858. Доказать, что нормаль к Рис. 2! эллипсу в любой его точке делит пополам угол между фокальными радиусами (рис. 21) этой точки. Вывести отсюда способ построения касательной и нормали к эллипсу. хх Рх 857.
Составить уравнения касательных к гиперболе —, — —.- = 1 ° перпендикулярных к прямой 2х+4д — 3=0. 858. Через начало координат проведена прямая, параллельная касательной к кривой в произвольной ее точке М. Найти геометрическое место точек Р пересечения этой прямой с прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку М. Найти такие геометрические места для а) параболы д' = 2рх, б) логарифмики д=!ой„х, в) окружности х'+д'=а', г) трактрисы а-~- !' а' — х' д= а' — х' — а)п х В задачах 859 — 864 найти углы, под которыми пересекаются данные линии. х+1 х'+4х+8 859 1) д 2 и д !а а+2 4 Е ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 2) у=(х — 2)' и у= 4х — к'+4. 860.
1) х'+ ук = 8 и ук = 2х, 2) х'+ у' — 4х = 1 н х*+ у'+ 2у = 9. 861. х' — уз=5 и "—,+--=1. к 862. х +уа=йах и у~=~ — „. вез 863. х* = 4ау и у = —,. кк+4а' ' 864. у=з!пх и у=созх (0(к~п). 865. Составить уравнение касательной н нормали к линии ( †) + (~~) = 2 в точке с абсцнссой, равной а. 866. Доказать, что сумма отрезков иа осях координат, обре. ' зуемых касательной к кривой хм'+ум'=ан', для всех ее точек равна а.
867 Показать, что отрезок касательной к астроиде хм'+ у'гз = -а'г', заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную а. 868. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе у=-- 1и — у а' — х', а а+Уа~ — ка а Уа* кк заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет постоянную длину. 869. Показать, что для любой точки М(х„уа) равнобочной гиперболы х' — уз = а' отрезок нормали от точки М до точки пересечения с осью абсцисс ранен полярному радиусу точки М. 870.
Показать, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс каса- а у тельной в произвольной точке кривой „ †, + †, = 1, пропорционален кубу абсциссы точки касания. 871. Доказать, что ордината любой точки линии 2х'у' — х4=е (е †постоянн) есть средняя пропорциональная между абспнссой и разностью абсциссы и поднормали, проведенной к линии в той же точке. к' у~ 872. Доказать, что у эллипсов —;+ —,=1, у которых ось 2а— общая, а оси 2Ь различны (рис, 22), касательные, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаюгся водной точке, лежащей на осн абсцисс.
Воспользовавшись этим, указать простой прием построения касательной к эллипсу. 873. Показать, что линия у=е' з(пгпх касается каждой из линий у=е", у= — е"" во всех общих с ними точках. ГЛ. ПЬ ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ Рис. 23 Рис. 22 874. Для построения касательной к цепной линии у= ас1т— употребляешься следующий способ: на ординате МДГ точки М, как на диаметре, строится полуокружность (рнс.
23) и откладывается хорда Р)Р=а; прямая МР будет искомой касательной. Доказать это. Графическое дифференцирование 875. Измерение температуры обмотки электромагнита мотора при прохождении электрического тока дало следующие результаты: Построить приближенный график непрерывной зависимости температуры от времени. Выполнив графическое дифференцирование, построить график скорости изменения температуры от времени. аа даа даа ага ОМ ОГоо ого м.» га ис.
24 876. На рис. 24 изображена кривая подъема впускного клапана цилиндра паровой машины (низкого давления). Построить кривую скорости графическим дифференцированием. $3. диФФеРенциАл. диФФеРенциРУемость ФУнкции . 43 й 3. Дифференциал. Дифференцируемость функции Дифференциал 87?. Найти приращение функции д=х', соответствующее пряращению Лх независимой переменной. Вычислить Лу, если х=! и Ах=0,1; 0,01. Какова будет погрешность (абсолютная и относительная) значения Ьу, если ограничиться членом, содержащим !!х в первой степени? 878.
Найти приращение Ьо объема о шара при изменении радиуса )г = 2 на ~И. Вычислить Ьа, если Ь)с = 0,5; 0,1; 0,01. Какова будет погрешность значения Ли, если ограничиться членом, содержащим ц)г в первой степени? 879. Дана функция у=х'+2х. Найти значения приращения и его линейной главной части, соответствующие изменению х от х = 2 до х = 2, 1. 880. Какое приращение получает функция у=Зх' — х при переходе независимой переменной от значения х=! к значению х= 1,02.
Каково значение соответствующей линейной главной части? Найти отношение второй величины к первой. 881. Дана функция у=((х). В некоторой точке х дано приращение Ах=0,2; соответствующая главная часть приращения функции оказалась равной 0,8. Найти производную в точке х.
882. Дана функция Г(х) =ха. Известно, что в некоторой точке приращению независимой переменной Ах=0,2 соответствует главная часть приращения функции П!(х)= — 0,8. Найти начальное значение независимой переменной. 883. Найти приращение и дифференциал функции у=х' — х при х= 10 и Ах=0,1. Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене приращения дифференциалом.
Сйелать чертеж. 884. Найти приращение и дифференциал функции у= )/х нри х= 4 и .Ах=0,41. Вычислить абсолютную и относительную погрешности. Сделать чертеж. 888. у = х' — х. При х= 2 вычислить бу и дд, давая Лх значения Ах=1; Лх=0,1; Ах=0 01, Найти соответствующие значения относительной погрешности 6 = ~ Зу-ду~ ;ау( 888, Найти графически (сделав чертеж на миллиметровой бумаге в большом масштабе) приращение, дифференциал и вычислить абсолютную и относительную погрешности прн замене приращения дифференциалом для функции у= 2" при х=2 и Ах=0,4. 887. Сторона квадрата равна 8 см. Насколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на: а) 1 см; б) 0,5 см", в) 0,1 см. Найти главную линейную часть приращения площади Етого квадрата и оценить относительную погрешность (в процентах) при замене приращения его главной частью.
гл. пс пяоизводцля и диеевеанци«л 888. Известно, что при увеличении сторон данного квадрата на 0,3 см линейная главная часть приращения площади составляет 2,4 см'. Найти линейную главную часть приращения площади, соответствующую приращению каждой стороны на: а) 0,6 см; б) 0,75 см; в) 1,2 см. 889. Найти дифференциал функции: 7) „—; 8) х; 9) — „,,„; 10) —; 11) (хх+4«+1)(х' — )/х)' 12) . 13) . 14) (1+х хз)з. !5) 18« «.
16) 51с!ах. 1 17) 2 сосх. 18) 1п!д(" "). 19) 20) ~/ББ-., (...~с с; 1 7 21) Загса!пх — 4агс!ах+ — агссозх — --асс!8«! 1 22) 3 "'+Зхз — 4 )ах. 890. Вычислить значение дифференциала функции: !) у = 1 Оа х+!)с = — при изменении независимой переменной от х=п/6 до «=61п/360; 2) !!=соавтор при изменении !р от 60' до 60'30"! 3) у=з(п 2!р при изменении ~р от и!6 до 6!я!360; 4) у=а!п Зр при изменении ч~ от и/6 до 61п/360; 5) у =а(п — при изменении 0 6 а 01л от — до —.. 6 300 891.
Найти приближенное значение приращения функции д = сбпх при изменении х от ЗО' до 30'1'. Чему равен а!030'1'Р 892. Найти приближенное значение приращения функции р !8« при изменении х от 45' до 45с10'. 893. Найти приближенное значение приращения функции у ! -1-ссс к сс а 1 = — при изменении х от -- до — + —. 1 — оь х 3 3 !00' 894.' р=0)~ сов 2<р; найти !(р. ! 1 895. 8=3'+ —;;+6". Вычислить ду при х=! и о«=0,2. 896. Вычислить приближенно з!и 60'3', з!и 60'18'. Сопоставить полученные результаты с табличными значениями.
1+!и х 897. Проверить, что функция р= — „„удовлетворяет соотношению 2«' !(у = (х'у'+ 1) !!х. 898. Проверить, что функция й, определенная уравнением агс!д -«8 = 1п 1~ «'+ у', удовлетворяет соотношению х (!!р — 1(х) = = у (!(у+ !!х). З х диоч веенцикл. дпч > с> енцпгксчость ч»нкцпи 899. 7(х> =е' '"и-">. Подсчитать при бли>кеипо 7(1,05). 90п. Вычислить агс1я1,02; агс160,97. / з,пз>- — з 9М. Вычислить пРиближепно 17 ОЗ» 5. а902., Вычислить приближенно агсз(п 0,4П83. 903. Если длина тяжелой нити (провода, цепи) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
