Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1464. у=хз — 4(х(+3. В задачах 1465 — 14б9 исследовать функции, заданные параметрически, и начертить их графики. 1465. х = В+ 31+ 1, у =  — 31+ 1. 1466. х= — Зп, д= — багс1н(, 1467. х= —, у=в зг зм ~-~->' 1+В' 1468. х=Ге', у= Ге-'. 1469. х = 2а соз ! — а соз 21, у = 2а з!и ! — а з!и 2! (кардиопда). В задачах 1470 — 1477 исследовать линии, уравнения которых заданы в полярных координатах (см. сноску на с. 26). 1470. р = а з!п Зу (трехлепестковая раза). 1471. р=а!НЧз. 1472.
р=а(!+!8гр). 1473. р=а(!+созгр) (кардиоида). 1474. р=а(!+Ьсоз<р) (а)0, Ь~ !). 1475. р= !г' — (жезл). 1476. р= агс!9 —. Гп 2 ф я и 1477 р=У! — 1', ~р=агсз!и!+У! — Гх. В задачах 1478 — 148! исследовать и построить линии, предварительно приведя их уравнения к полярным координатам. 1478. (хе+у")'=4а'хху*.
1479. (х'+у')х=а'д. 1480. х'+у'=а'(хе+ух). 1481. (хе+у)(х' — у)'=4ху'. Решение уравнений 1482. Проверить, что уравнение х' — х' — 8х+ 12 = 0 имеет один простой корень х,= — 3 и один двукратный корень ха=2. 1483. Проверить, что уравнение х'+ 2х' — Зх' — 4х+ 4 = О имеет два двукратных корня х, = 1 н х, = — 2.
1484. Убедиться в том, что уравнение х агсз !п х = 0 имеет только один действительный корень х=О и притом двукратньш. !485. Показать, что корни уравнения хзшх=О имеют вид у=/гп (А=О, .+ 1, + 2„...), причем значению А=О соответствуег двукратный корень. Какова кратность остальных корней? 1486. Показать, что уравнение хх — Зхх+ бх — ! =0 имеет единственный действительный простой корень, принадлежащий интервалу (О, 1), и найти этот корень с точностью до 0,1, пользуясь методом проб.
1487. Показать, что уравнение х'+Зхе — х — 2=0 имеет два (и только два) действительных простых корня, принадлежащих соответственно интервалам ( — 1, 0) и (О, !). С помощью метода проб найти эти корни с точностью до О,!. 4 Г. Н. Бегяан зв Гл, ис исследОВАние Фюжцин и их ГРАФикОВ 1488. Показать, что уравнение /(х) =ачьО, где /(х) — много- член с положительными коэффициентами, показатели степеней всех членов которого печетны, имеет один и только один действительный корень (который может быть и кратным).
Рассмотреть случай, когда а=О. Найти с точностью до 0,01 корень уравнения хз+Зх — 1=О, комбинируя метод проб с методом хорд. 1489. Доказать теорему: для того чтобы уравнение х'+рх+4=0 имело три простых действительных корня, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты р и 4 удовлетворяли неравенству 4ра+274'(О. Найти с точностью до 0,01 все корни уравнения х' — 9х+2=0, комбинируя метод проб с методом хорд. 1490. Показать, что уравнение х'+2х' — бх+2= 0 имеет два (и только два) действительных простых корня, принадлежащих соответственно интервалам (О, 1) и (1,2). Комбинируя метод хорд с методом касательных, найти зти корни с точностью до 0,01.
!491. Показать, что уравнение хз+5к+! =-0 имеет единственный действительный простой корень, принадлежащнй интервалу ( — 1, 0), и найти этот корень с точностью до 0,01, комбинируя метод хорд с методом касательных. В задачах 1492 — !497 приближенные значения корней уравнения следует находить комбинированием трех методов: метода проб, метода хорд и метода касательных.
(При необходимости следует пользова1ься таблицами значений функций, входящих в уравнение.) 1492. Показать, что уравнение хе"'=2 имеет только адин действительный корень, который принадлежит интервалу (О, 1), н найти этот корень с точностью до 0,01. !493. Показать, что уравнение х1пхг а не имеет вовсе действительных корней при а — 1/е, имеет один действительный двукратный корень прн а= — 1/е, два действительных простых корня при — 1/е(а~О и один действительный про:той корень при а- О. Найти корень уравнения х1пх=0,8 с точностью до 0,01. 1494. Показан ь, что так называемое уравнение Кеплера х=- =-аз!Их+а, где 0<в< 1, имеет один простой действительный корень, н найти з1от корень с точностью до 0,001 при е == 0,538 и а = 1.
1495. Показа1ь, что уравнение а"=ох прн а)! всегда имеет два (и только два) действительных и положительных корпя, причем одни корень равен 1, а второй корень меньше, больше пли ранен ! в зависимости от того, будет ли а больше, меньше или равно е.
Найти с точностью до 0,00! Второй корень этого уравнения прн а=--З. 1496. Показать, что уравнение х'аг.(ах=а, где а~О, имеет один действительнып корень. Найти с точносгью до 0,00! корень этого уравнения прп а-= 1. 1497. При каком основании а системы логарифмов существуют числа, равные свопм логарифмам? Сколько таких чисел может быть? Найти такое число (с точностью до 0,01) при а=1/2? $ к ФОРмулА тсплОРА и ее пРименепие 99 9 5. Формула Тейлора и ее применение Формула Тейлора для многочленов 1498. Разложить многочлен х' — 5х'+х' — Зх+4 по степеням двучлена х — 4. 1499.
Разложить многочлен х" +Зх' — 2х+4 по степеням двучлспа х+ !. 1500. Разложить многочлен хм — Зх'+1 по степеням двучлена х — 1. 1501. Функцию Г'(х) =(х' — Зх+ !)' разложить по степеням х, пользуясь формулой Тейлора. 1502. Г(х) — многочлен четвертой степени. Зная, что ((2) = — 1, У'(2)=О, Т'(2)=2 )" (2)= — !2, РУ(2)=24, вычислить ~( — 1), У (О), (" (!). Формула Тейлора 1503. Написать формулу Тейлора и-го порядка для функции ! у= — при х,=- — 1. х 1504. Написать формулу Тейлора (формулу Маклорена) и-го порядка для функции у=хе прн х,=О.
1505. Написать формулу Тейлора п-го порядка для функции 9=$'х при х„=4. 1506. Написагь формулу Тейлора 2п-го порядка для функции ее+ е-' у= при хе — О. 1507. Написать формулу Тейлора и-го порядка для функции у=хе !пх при х„=- !. 1508. Написать формулу Тейлора 2а-го порядка для функции у=з!пчх при х,=О.
1509. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции р= — при х,=2 и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 1510. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции у= 1ах при х„ =О и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 2-й степени. 1511. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у=агсзспх при х,=О и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 1512. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции ! у= = прн х,=! и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 1513".
Доказать, что число 0 в остаточном члене формулы Тейлора 1-го порядка ! (а+ Ц = '! (а) + )!! ' (а) + -- Г (а+ Щ 4а 100 гл. нс иссладоалнис Фгнкцип и нх техников стремится к 1!3 прп й-е-О, если )"'(х) непрерывна при х=а и 1 (а) чь О. Некоторые применения формулы Тейлора В задачах 1514 — 1519 выяс1шть поведение данных фушеций в указанных точках. 1514. у=2х' — хе+3 в точке х=О.
1515. у=х" +Зх'+ 1 в точке х= О. 15!6. у=2созх+х' в точке х=-О. ! 517. у = 6 1п х — 2хх+ 9хе — 18х в точке х = 1. 15!8. у=бгйпх+ха в точке х=О. 1519. у=24е' — 21х — 12х' — 4х' — х' — 20 в точке х=О. !520, 1(х)=хм — Зхе+х'+2. Найти первые три члена разложения по формуле Тейлора при хе=1. Подсчитать приближенно 1(1,03). 1521. ((х) = х' — 2х'+ 5х' — х+ 3.
Найти первые три члена разложения по формуле Тейлора при х,=2. Подсчитать приближенно г(2,02) и г(1,97). 1522. (2(х)=хм — хм+х". Найти первые три члена разложения г(х) по степеням х — 1 и найти приближенно ((1,005). !523. Г(х) =х' — 5хз+х. Найти первые трп члена разложения по степеням х — 2. Вычислить приближенно ! (2, 1). Вычислить ~(2,1) точно и найти абсолютную и относительную погрешности.
!524. Провер1пь, что прп вычислении значений функции е" при 0 х~1)2 по приближенной формуле ся хе е" !+х+ч-+— 2 б допускаемая погрешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти 3/е с тремя верными цифрами. 1525. Пользуясь приблвженной формулой е' 1+х+ —, найти 2' ! — и оценить погрешность. тее !526. Проверить, что для углов, меньших 28', погрешность, хе х! которая получится, если вместо э!их взять выражение х — -; + —;, будет меньше 0,000001.
Пользуясь этим, вычислить э!и 20' с шестью вернымн цифрами. 1527. Найти сох!О' с точностью до 0,00!. Убедиться в том, что для достижения указанной точности достаточно взять соответствующую формулу Тейлора 2-го порядка. 1528. Пользуясь приближенной формулой хе хз хе 1п (1+ х) ж х — — + — —— 2 Э 4' найти 1п),5 и оценить погрешность. $ з. кеиапзнх 6 6. Кривизна 10! В задачах 1529 — 1536 найти кривизну данных линий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
