Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 20
Текст из файла (страница 20)
37 1699. Найти кривизну в точке (О, О) линии, заданной уравнением к у = ~ (1+ !) 1и (1+ !) й. а 1670. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции у=')(ха — Зх+2)Г(х. Построить график этой функции. а !671. По графикам функций, данным на рис. 37 и 38, выяснить вид графиков их первообразных. $2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 113 Формула Ньютона — Лейбница 1672. Вычислить интегралы: 4 ! 9 !) ~ —,"; 2) ~ —,"; 3) ~ 3)/х4Ь; 4) ~(х+.— ) дх1 ! 4 7 ! 9 г 21 5) ~ )Гх(1+)Гх)<(х; 6) ( ()'х -1/х)4Ь; 7) ~ = 4 ))! !222 4 8) ~ —.4И; 9) ~,—" (а>0, Ь)0); 10) ~ ()/г — 1)'й.
О !673. Вычислить интегралы! « « 2) )22пх4Ь; 2) )созх2)х 9 9 (объяснить геометрический смысл полученного результата); 2 «/4 ! 242 22 8) ) е« 4Ь; 4) ) зес'х 4Ь; 5) 1 . " , ; 6) 9 9 !+2 ' ! У'~ !Гз 1674. Функция )(х) имеет равные значения в точках х=а и ь х=Ь и непрерывную производную. Чему равен )7'(х)4Ь7 О 1675. Касательная к графику функции у=7(х) в точке с абсциссой х=а составляет о осью абсцисс угол н)3 и в точке а абсь цнссой х = Ь вЂ” угол н(4.
Вычислить )7" (х) 4Ь и ) 7' (х) 7 (х) 4Ь О 9 1«(х) прсдполагается непрерывной. ГЛАВА М1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9 1. Простейшие приемы интегрирования В задачах 1675 — 1702, воспользовавшись основной таблицей интегралов и простейшими правилами интегрирования, найти интегралы. 1676.
) ф' х е(х 1677. ~ у' хн йх. 1678. 1679. $10" дх. 1680. $ а"е." дх. И81. 1 — '" . Л 2г'х 1682. 1 —.. 1683. ~ 3,4х-"'Йх. 1684. ~ (1 — 2и) ди. й г 2яй $685. ~0/х+1)(х — )( х+ 1)йх. 1686. ~ е(х.. 1687. ~ (2х-' '+ Зх-'е — 5х"") дх. 1688. ~ ~ — ) дг. "1689. ~ — й. 1697. )с(й'хдх. 1698. ~ 2зш', ах. - 1699. ( — 1700 3 х2(1 ~ хЗ~ хО -гив 1701. ~ . „. 1702.
) (агсзйп х+ агссозх) дх. В задачах 1703 — 1780 найти интегралы, воспользовавшись теоремой об ннварпантностн формул интегрирования. 1703, ~ з(их д (Нп х). 1704. ) 1йз хсзр ((й х). 1705. ° 1706. ~ (х+1)мйх, 1708. 3 ~, (счь1). $ !. ПРОСТЕГТШР!Е ПРИЕЫЫ ИНТЕГРИРОВЛНИЯ !!5 ° 1762. 1 ,) 2ха+9 ' 1765 )' ' —.и ПО9. 5$Г(8 — Зх)' с(х. 1710. ) )г 8 — 2х г(х.
!711. ~, г(х. ° 1712. ~2х1/хв+!еЬ. !г (а+Ьк)' 1713. ~х)г ! — х' г(х. 1714. ) хв)г хз+2Дх. )гха-)- ! ' 17 16. 1717. (бх — 5) г(к Ра' х' -1-! ) 2)' Яха — 5к+б а!719. ) я!и'хсояхг(х. П2О. ~ ', ","". 172!. г 1722. ~соя'хя!П2хгЬ. г 1 аа'Х !723. ~ — с(х. 1724. к .) 1 тх~ 1725.. 1726. (агсиих)а) 1 — ха ) савах)Г1+(як 1727. ) соя Зхг((ЗХ). ,) сова(1+!их) 1729.
) Соя Зхс(х. 1730. ) (соя а — соя 2х) г!х. - 1731. ~а(п(2х — З)г(х -= — '1732. ~соя(1 — 2х)г)х. т7 1733. соя 2х — 4-)~ гЬ. "1734. ) ех я)п (е") г)х. !735~(1+'")1736('«(;гях)1((2к-3) 174! ~ „з , - 1742 ~ , . ! " 1743 ~ ~ в ° -1744. 5 !Дхг!х. 1745. $с!5хг(х.. 1746. $ !КЗхгЬ. ' 1747. $с!Д(2Х+!) г(х.. 1748. ~ ...
г!х. "1749. ~ — к 1750. ~ г(Х. '1751. ) еагакг((я!Пх) Г (1и х)аг "1752. )е"ахсоях~Ь. '1753.))аахг(х. а!754,/~д- гЬ. 1755 )е-ххаааа, ' 1756. )ех'хг(х 1757, )е г'хвс!х. 1758. — --. " 1759. г( (хгя) „! ах '!760. ~ — яа. " 1761. 1763. ~ . 1764. ~ — '", х . 116 Гл. 47!. неОпРеделенныЙ ннтегРАВт пее. 1 "'." . ,) к+4' 1769. ) у~ — ! ПЕ7. ~ " '" . ПЕ8.
~ ', 1770. ,1 а4 ! ВВПВВВ 1772. 5(е.+Ц (л. 1+х 1775, ~ ~47 с(е. 1776 ~ !+, В)л. 1777. ' 4(Х. 1778. 1"" " ° )4 (! — х')" В задачах 1781 — )790 найти интегралы, выделив це,1,.4 аодынтегральной дроби. а -1-1 " !" (1+х)' ек а кВ+! В задачах 1791 — )807 найти интегралы, использовав разложения подынтегрального выражения и прием выделе н: .:..- ного квадрата. 1791. 1 †.
1792. ,) х(х — 1) ' .) к(к,)* ,) (х+!)(2х — 3)' 1794. ~ (а — к)(Ь вЂ” х)' 1 х — 7х+ !О ' 1800. 1 —,. 1801. ! †. 1802. ,! (к — Ц'+4' ,) х*+2х+3' |ВВВ. ( , * . 1444. ( 4 4~.4 4 В В ', , 4 4'4 - 47 4 14 ' ВВВ7. ) )42 — Ех — 9хх 4 а основныв методы интвггиговкния 1900. ~хк)/4 — х' с(х. !901 ,1 (ко+4) У4хе+1 г х+1хе' е )'х — ке Д к(1+хе") ' В задачах 1905 — !909 найти интегралы, применив сначала за. мену переменной, а потом интегрирование по частям. 1905. )е"' с(х.
1906. ) ейп)' х «(х. 1907. ~ ' с(х. 1908. Г " " ~ с(х 1909 Г 1И „,, Г,4.„, ° Г„е И,, с(х. Разные задачи В задачах 19!Π— 201! найти интегралы. !910. ~ (х+ 1) !/ хе+2хс!х. 1911 ~ (!+езк)ееекс(х г егк 1912. ) — с(х. 1913. ~ — „,„с(х. 19!4. ) )/Т вЂ” екекс!х. 1915. ) х сов хе с(х. 1916. ~ (2 — Зхнт)икхикдх. !917 (' 2"". зк „(х 19!8 !' )' «с(х ,! 1+3.т'"' —.с" лх е"' (3 -1- е к) ' 1920. ) ) е» 1/! !— хек 3 !9х' — 4 ~о.) 1923. ~ — е!х.
!' сое 1' к 1924. О(, '3 ); к)/3 — !пех е )к(хе+1)е !+к» ,! е!ое~рсоее~р' ,) сок! к 1930. соее х !931. ) )Г(йкх зесехс!х. 1932. ) (! — !8 Зх)е с)х. 1933. ,! х)-1 ' 1934 1 3 (х — !)' ' 1935. 3 )е'2+4к' 1936. ) —,'= —. 1937. )х)е'а+хс(х. 1938. ~ (~'з|в х+ соз х)'с(х. 1939. ~ а Ьек с(х. 1940..
1941. ~'5-2к -)- хк д )'9к'-бк+2 $ 3. Оспоиные кллссы иитсГРиРтсмых Функции 1990. 1,~ ' ' . !' )г х -Ь 1 + ! .! 1 х"-Р З )г,х+ ! — 1 . 1' Р 1993 ~ г хел ' . (г+х) 171-).х е л.( х+! х) !994. ~ ) с(х. !995". ( (ах+ Ь) )г,х 3 !! У х'+4 )гх (х — !) З х-' у х 2О02. ! —.,""', ,г (!+к!)л 2003.
! —.агс(йхс)х. Е 2х !Гх 2004. ~ Г гх (!+ ел) ех 2005. ~ )/ех — 1 г(х. 3 у'! — Елх 2006". ~ ( + дх 2007. х (х+ 1) .) Л"-г 1' 2003. ~ агссоз1~ — дх. 2009. ~ )п(х+) 1+хл)йх. х+1 2010. ~~à — ',„йх. 2011. ~ сол' х У ага Зх го23. ('+2" '" ,) „— 1~ . 2025. ~ — '.„,Сгх. 9 3. Основные классы интегрируемых функций Дробно-рациональные функции В задачах 2012 — 2067 найти интегралы. 1) Зггалг ) Зналгенагнель иглеегн только дейьпыигпельнью раз,нгчные корни.
2012. ( —, 2013. .! (х-г !) ('гх+ !) ' ,) 2хл — Зх — 2 ' 2хл+ 4 ! х — 91 "1+ — й. (л — 1) (х+ 3) (х — 4) 2015. ,) Ол' — 7х-' — Зх' '"" Г'--.' х'+ х' — 8 20 И,, с(х. 20!3 Зтхех Р хк„ *.~ * (2» 1) (4»л — 1их+ 15) 2О!9. !' — Зхл-с2 ' 2020. 202! 1 ."" —,)гх'+ах" — ох!+4 2) Знал'натель ил!еет только дейсгггеигг!ельные корни; неко!!врыв ксрни — крепнные. 2022 Г (хл — Зх+2) ггх ,) х (хл+2х+ !) 2024.
1 х"'+5х" +ах+4 ' 122 Гл. ли. неопгеййлсппыЙ и!песолл 2026. 1 †' ,, 4 . 2022 (' ха — 642+ 11л — 5 к6 — ха ' ,0 (к + 2)2 ( + 4)2 ' 2029 64, '(. Р(.-)) (л' — !)6 3) Знамена!пель имеет ктнплгксньее рао)11!нные корни. 2036. 20" 7, О ° х() . (*-')(2- -)6)' 2040. ) —.—: —.', 204). (х'-1 11(И х" — х0-)-х — ! '.1)4',' 4(Х вЂ” — 2043 (х2-)-!) (х2+х)' 2046 (х — 1)0 (х2-!- !)' 2042 2044 2046, ~1— 0" ( "' — 6) Ех Нх х4+6х2+8' 2047*.
4) Знамении)е.аь имеет комплексные кратные корни. *(444 '20-,-*4 (Зха — 12) ик 222 ) ,1 [хл+9)аг О.) *) О 4 26' ,) (1+х2)' (х6 — !)2' 6) Мелнод Остроградского, к4-) О 2066. 1 —.: —" —, ).. 2062 С (4*'-64 4 Е (л2+х-;-11- (к-1)6(кл 11)2 ° «2-(.хо-1 2069. 1 ' , ' 4„ ' х" +х4 — 4х2 — 2 ка (х" + )р ()х (,2+2! ((х 2063. Е (х2 2 24' с 1(62 (ха+Зх-1-2)2' 1' хл — л' — 26лх — 2.1х-25 2065.
— „,— ((к Зла+ 4 (л'.т 4х-,'-5)0(л6+ 4р ха (хл+!)2 5 — Зх + Зла+ 5х' — х' ка-х0 — 2ха+2ха+х — ! ' ' Зх2 (3 Зка)а" 1 3. Осноапые кллссы интегРиРуемых Функций 123 Некоторые иррациональные функции В задачах 2068 — 2089 найти интегралы. у а„х+Ь,' Г адх —,' Ьр 2068.
в,, 2069. х ()' «+ р хв) а )'х+ у'х+2 ф'а ) (х+1)ив+(к+!)ввв ,) К !+х х' у' 1+х 2074. ~ )/ — --. 2075*. 1 „. 1+к х' а у' (х — 1) в (к+ 2)% 2) Дифференциальные биномы к~ (а+ Ьх")а Г)х. ! -в 2076, $~'х(1+У'х)'с(х. 2077. ~х-! ! 1+ха) с(х. в 2079. ~хв 1/(! 1 хв)в!)х 2080. 1,— '" 208! . !~уе!+х' ) вс! 2083. 1 1+' " в(х. 2086. 1 2086.
~, в)х. кв а х" )Г1 -)..кв вовв. )ута — *вш. 2039. 11 ~~~„щ, Тригонометрические функции В задачах 2090 — 2181 найти интегралы. 2090. ~ еб н' х созе х с)х. 2091. 1 — '' с)х ,) соФх 2094. савв к екав к ' 2095. ех в|Ив х савв х' 2096. ~ (1 — сов х)в ' 2098. ~ сов'хе(к. 2099. ~ с1евхбх. 2100 )16 ""х' 2101. ( .) !фх' !2В ГЛ. Ч1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2177. )Ху а-)-хг(х. 21?9. ~ —" г(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
