Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1 2348. Зная что ~ †, = -", вычислить приближенно число и. ОХ Н !+ХО 2 ' Результаты, полученные по различным правилам, при разбиении отрезка интегрирования на 1О частей сравнить между собой и с результатами предыдущей задачи. 1О 2349. Вычислить 1и 1О = — „, используя правило Симпсона р дх при п=!О. Найти модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.
Сравнить с табличным значением. В задачах 2350 — 2355 вычислить приближенно, пользуясь формулой Симпсона, интегралы, которые не могут быть найдены в конечном виде с помощью элементарных функций. Число л частичных интервалов задается в скобках. ! 1 2350. ~ У~ — хз Их (и = 10). 2351. ~ Р/1+х1 4(х (л = 10).
О О О л/3 1аб гл. Еп. спОсОБы Вычисления ОпРеделенных интеГРллов »ьь». 1 ) ) — 0,) ( '»в) ( =»). »ььь. ) — ', »* ( -!0). О О !,35 2356. Вычислить по формуле Симпсона интеграл ~ )(х)»(х, ),аз пользуясь следующей таблицей значений функции ) (х)! 2357. Прямая ливия касается берега реки в точках А и В. Для измерения плошади участка между рекой и прямой АВ провешены 11 перпенд)!куляроз к АВ от реки через каждые 5 и (следовательно, прямая АВ имеет длину 60 м). Длины этих перпендикуляров оказались равными 3,28 м; 4,02 м; 4,64 м; 5,26 м; 4,98 м; 3,62 и; 3,82 и; 4,68 м; 5,26 м; 3,82 и; 3,24 м. Вычислить приближенное значение плошади участка.
Ряс. 39 2358. Вычислить плошадь поперечного сечения судна прн следующих данных (рис. 39)! АА)= А)А»= А»А»= АзА»= АаЛь= А»Ав = А»А»= 0 4 м, АВ = 3 и, А,В,= 2,92 м, А В( = 2,75 м, А»Вз = 2,52 м, А»В,=2,30 м, А,В,=!,84 м, А»В,=0,92 м. 2359. Для вычисления работы пара в цилиндре паровой мап:ины вычисляют площадь индикаторной диаграммы, представляк)щей собой графическое изображение ззвнсимости между давлением пара в цилиндре н ходом поршня.
На рис. 40 изображена инди- 137 $ е приялиженные методы каторная диаграмма паровой машины. Ординаты точек линий АВС и ЕЭ, соответствующие абсциссам хв, х,, х.„..., х,в, даны еле. дующей таблицей: хв 19,9 07 17,0 о'а 24,1 0,6 Абсциссы Ординаты линии АВС а э Е77 "в 15,0 0,9 12,0 1,3 х„ ! 1,0 1,а хю а,з Ъ,т 1з,з 1,0 Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь АВСОЕ, Ордииаты даны в мнллимезрах. Длина ОЕ=66,7 мм (точка Г— общая проекция точек С и 0 на ось абсцисс). В задачах 2360 — 2363 при нахождении пределов интегрирования необходимо воспользоваться методами приближенного решения уравнений. Рис.
40 2360. Найти площадь фигуры, ограниченной дугамн парабол у=ха — ? и р= — 2х'+Зх и осью ординат. 236!. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=ха и прямой у = 7 (х+ 1). 2362. Найги площадь фигуры, ограниченной параболой д =— «= 16 — х' и полукубической параболой у = — у'ха. 2363. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4 †' и у=~/х.
2364. На рис. 41 изображена нндикатонная диаграмма (упрощенная) паровой машины. Исходя из размеров, проставленных на чертеже (в мм), вычислить площадь АВСОО, если известно уравнение линии ВС:рит=сопв1 (линня ВС называется адиабатой), у=1,3, А — прямая, параллельная оси Оп. 13$ гл, юь спосовы вычисления опоеделаниых интвголлов 2366. На рис. 42 представлена индикаторная диаграмма дизельного двигателя. Отрезок ЛВ соответствует процессу сгорания смеси, аднабата ВС вЂ” расширению, отрезок СР— выпуску н аднабата РА — сжатию. Рссс.
4! Рнс. 42 Уравнение адиабаты ВС:ри' '= сопз(, уравнение адиабаты ЛР: рп7 хо=о сопо(. Исходя из размеров, проставленных на чертеже (в мм), определить площадь АВСР. 9 3. Несобственные интегралы Интегралы с бесконечными пределами В задачах 2366 — 2385 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость). + со + СО +ОО 2366. ) - . 2367. ( --. 2363. ~ О7 )67 1 х 1 )7 Х + о» + Ос + со 2369. ~ —,.
2370. ~Г 2 .. 2371. — е(х. 2х ех !ох хо+! ' 3 хс+вх+2' ~ х + со + о + ОО х'(х+ 1) ' ,) (!+х)2 ' хух2 — 1 о Уо 2373. ! — *. 2376. ) -"6 . 2377. ) 36 ' Ь. + со + СО + со 2378. ~ хо(пхо(х. 2379. ~ е — "" 6(х. 2380. ~ е-"з(пхдх. о о о + Ос + Ос + ОО 238!. ~ е-' созЬхг(х.
2382. ~ †". 6(х. 2383, ( ХО 1-1-хо о +63 +СО 2384. ~ —. ' 2383. — о(х. е», Г х (хо+ !)2' ' ~ (1+х)3 Ос $ 3. несовственные интеГРАлы 169 В задачах 2386 — 2393 исследовать сходимость интегралов. + Ое + пе + еп и 1 + пп + пе + Оп т(,. + еп + «О х)п1пх' ее е И нтегралы от функций с бесконечиымп разрывами В задачах 2394 — 2411 вычислить несобственные интегралы (илн установить их расходимость).
1 г 2 2394. ~ . 2395, ~ ! „2396 )Гх — ! 1 1(е 2 2397. х)нхе(х. 2398. 1 —" 2399. 1 —. 1 х!ппх' ',) х(пх 1 ь 1 а и $ 2402. (а Ь). 2403. 1 )' (х — а) (Ь вЂ” «) .! ре(х-3) (З вЂ” х) а 1 ! 2404. ! 2405. 1 ) (2 — «) )' 1 — х» 1 1 2406.
~ †„ , е(х. 2407. ~ †,, е(х. 2408. 1 " ††„ „ еех. Ге х' 'р хп )1«1 — ! — 1 и 1 ~'« хе ' ' ! х" В задачах 2412 — 2417 исследовать сходимость интегралов. ! 1 2412. 1(Х. 2413. 1 е. =. 2414. * р 1:хе ез! !' (! —.т')Е 1 2415 " ' 2416 " 2417 " )и «1п «1(х )Ех е(х е(х епп" ~ Е» — СП2Х' рх и !40 гл. Тн. спосОВы Вычисления ОПРеделенных интеГРАлОВ разные задачи 2418.
Функция )(х) в полуинтервале 1а, + ОО) непрерывна и +'о /(х)-от(ФО при к-о.+ОО. Может ли интеграл ~ г(х)г(х сходиться? +оо 2419. При каких значениях )г интеграл х' — '. г(х будет х-апк сходящимся? 2420. При каких значениях и сходятся интегралы Тоо +оо о г 1гх 2421. При каких значениях я сходится интеграл !в !Ь вЂ” к)" (ь<а)? +оз 2422. Можно ли найти такое гг, чтобы интеграл ~ х" г(х схоо дился? +оо хо 2423. При каких значениях гг и 1 интеграл ~ —,г(х сходится? !+х' Р/1 ! — Гоа х 2424.
При каких значениях гл интеграл ~ — ггх сходится? в Г о'х 2426. При каких значениях гг интеграл — сходится? ~ ап" х В задачах 2428 — 2435 вычислить несобственные интегралы. + о 1 2426. ~ = Лх 2427*. ~ 1п— Г !+к хо Лх хрл — ! г-х 1~! — хо 1 — 1 +оо +оо 1 !ао+хо!" тельное число).
-г-оо 2430. ~ хое-х г(х (и - целое положительное число). о оо 2431. ~ хо'ога-"'г(х (и — целое положительное число). о 1 2432. ~ (1п х)" г(х (л — целое положительное число). о 142 ГЛ. РП СПОСОВЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОНРЕДЕЛЕНИЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2449+. А)оложим Гр(х)= — ~ 1исоауду. (Этот интеграл иазы- О ваегся интегралом лобачевского.) Доказать соотношение ~р (х) = 2~р1 — + — ) — 2<р ~ — — — ~ — х 1и 2. !л хТ и х О помощью найденного соотношения вычислить величину (впервые вычисленную Эйлером). В задачах 2450 — 2454 вычислить интегралы.
Л/2 Л ИТ2 2450. ~ 1пз(пхГ(х. 2451. )х 1пз)пхдх. 2452'. 1 хс(ях<(х. о о а ! ! 1( У1 — л' ГЛАВ А Ч1И ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА $1. Некоторые задачи геометрии н статики Площадь фигуры 2455. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых у'=2х+1 и х — у — 1=0. 2456. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой у= — х'+4х — 3 и касательными к ней в точках (О, — 3) и (3, О).
2457. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у'=2рх и нормалью к ней„наклоненной к оси абсцисс под углом 135'. 2458. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболамн у=х' и у=)/'х. 2459. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у'+Вх=16 и ук — 24х=48. 2460. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у=ха и у=ха/3. 2461. Окружность х'-)-у'=8 разделена параболой у=хк12 на две части. Найти площади обеих частей. 2462, Найти площади фигур, на которые парабола у'=бх делит окружность х'+ у' = 16.
2463. Из круга радиуса а вырезан эллипс, ббльшая ось кото- рого совпадаег с одним из диаметров круга, а меньшая равна 2Ь. Доказать, что площадь оставшейся части равна площади эллипса с полуосями а и а — Ь. 2484. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы и ее хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к действи- тельной оси, 2465. Окружность хк+у'=а' разбивается гиперболой х' — 2у*. = ак~4 на три части.
Определить площади эких частей. 2466. Вычислить площади криволинейных фигур, образованных к к к~ пересечением эллипса 4 +у'=1 и гиперболы — — у'=1. 2 2467. Вычислить плошадь фигуры, заключенной между линией 1 к' у;-+ г и параболой у= —. 1+к 144 ГЛ. ЕЛИ, ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 2468. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у = х(х — 1)' н осью абсцисс. 2469.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью ординат и линией х=-д'(д — 1). 2470. Найти площадь части фигуры, ограниченной линиями у =х" и у"=х", где т и а — целые положительные числа, расположенной в первом квадранте. рассмотреть вопрос о площади всей фигуры в зависимости от характера четности чисел т и и. 2471. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и линией у = х — х' $' х. б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями линии (д — х)1=ха и прямой х= 4. 2472.
Вычислить площадь фигуры„ограниченной линией (д — х — 2)'=9х и осями координат. 2473. Найти площадь петли линии у*=х(х — 1)'. 2474. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией 1)Э 2476. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией д' = х' — х'. 2476. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией х' — ах'+ а'у' = О. 2477. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной линией хкдз = 4 (х — 1) и прямой, проходящей через ее точки перегиба. 2478.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями д=е', у=с-к и прямой х=1. 2479. Вычислить плошадь криволинейной трапеции, ограниченной линией у=(х'+2х)е- и осью абсцисс. 2489. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной лшшей у=е-к(х'+Зх+1)+е', осью Ох и двумя прямыми, параллельными оси Оу, проведенными через точки экстремума функции у. 2481. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной линиями и 2хьак и д хзек 2482.
а) Вычислить площадь криволинейной трапеции с основанием 1а, Ь1, ограниченной линией у=, 1п х. б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у=1пх, осью ординат и прямыми у=(па и д=1ПЬ. 2483. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями д=)пх и д== !пах. 2484. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями !пк у — — и д — х1пх. 2486. Вычислить площадь одного из криволинейных треугольников, ограниченных осью абсцисс и линиями у ейпх и у=созх. $ Ь НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 2486.
Вычислить площадь криволинейного треугольника, огра. 2 нпчепного осью ординат и лнниямн у=12х и у= — созх. з 2487. Найти площадь фигуры, Ограниченной линией у=яп'х+ + соззх н отрезком оси абсцисс, соединяющим две последовательные точки пересечения линии с осью абсцисс. 2488. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и линиями у=агсяпх и у=агссозх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
