Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 26
Текст из файла (страница 26)
С какой силой проволочное кольцо массы М, ршшуса Й действует на материальную точку С массы т, лежащую на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно к его плоскости. Расстояние от точки до центра кольца равно а Какую работу совершит сила притяжения при перемещении точки из бесконечности в центр кольца? 2673. Используя результат предыдущей задачи, вычислить, с какой силой плоский диск, радиус которого равен ??, масса М, действует на материальную точку массы т, которая лежит на его оси на расстоянии а от центра.
2674. Используя результат предыдущей задачи, вычислить, с какой силой действует на материальную точку массы гп бесконечная плоскость, иа которой равномерно распределена масса с поверхностной плотностью о. Расстояние от точки до плоскости равно и. 2675". Радиусы оснований усеченного прямого круглого конуса равны Я и г, вывога Й, плотность у. С какой силой действует ои на материальную точку массы ги, помещенную него вершине? 2676. С какой силой материальная ломаная у=~х(+1 притягивает материальную точку массы яю, находящуюся в начале координат? (Линейная плотность равна 7.) 2677.
Доказать, что материальная ломаная у=а)х)+1 (а~О) притягивает материальную точку, находящуюся в начале координат, с одной и той же силой независимо от а, т. е. независимо от величины угла между сторонами ломаной. 2678'. Два одинаковых стержня (длниой ( н массы М каждый) лежат на одной прямой на расстоянии 1 один от другого. Подсчитать силу их взаимного притяжения. 2679. Капля с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную т. Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.) 2680. Какую работу нужно произвести„ чтобы насыпать кучу песка а форме усеченного конуса высоты Н, имеющего радиусы 160 ГЛ.
УН1. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТСГРАЛЛ оснований 1с и т (г(Я)7 Плотность равна б (песок поднимают с поверхности земли, на которой покоится большее основание конуса). 2681. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота 140 м, ребро основания (квадрата) 200 м.
Плотность камня, из которого она сделана, приблизительно равен 2,5 1О' кг1мз. Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести. 2682. Вычислить работу, которую необходимо затратить, для того чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой Н = 5 и, имеющий в основании круг радиуса 0=3 м, Рис. з! Рас, ьо 2683.
Вычислить работу, которую ну1кно затратить, чтобы выкачать жидкость плотности Й нз резервуара, имеющего форму обращенного вершиной вниз конуса, высота которого равна Н, а радиус основания )с. Как изменится результат, если конус будет обращен вершиной кверху? 2684. Вычислить работу, котору1о необходимо затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую полусферический резервуар радиуса 1(=0,6 м. 2685. Котел имеет форму параболоида вращения (рнс. 50). Радиус основания й =2 м, глубина котла И = 4 м.
Он наполнен жидкостью, плотность которой и'=800 кг(мз. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла. 2686. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из цистерны, которая имеет следующие размеры (рпс. 51): и=0,75 м, 6==!,2 м, Н=1 м. Боковая поверхность цистераы — параболический цилиндр.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг иеподвиж- ! ной оси, равна — 1ь!'-, где 1з — угловая скорость, а 7 — момент инерции относительно осн вращения. Зная это, решить задачи 2687 — 2692. 161 $ Е НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ 2687. Стержень АВ (рис. 52) вращается в горизонтальной пло.
скости вокруг оси 00' с угловой скоростью со=10п радус. Поперечное сечение стержня 5=4 см', длина его 1=20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, у = 7,8 10' кг7м'. Найти кинетическую энергию стержня. 2688. Прямоугольная пластинка, стороны которой а=50 см и 5=40 см, вращается с постоянной угловой скоростью ы, равной Зп рад/с, вокруг стороны а. Найти кинетическую энергию пластинки. Толщина пластинки д равна О,З см, плотность у материала, из которого сделана пластинка, равна 8 1О' кг/м'. 2689.
Треутольная пластинка, основание которой а=-40 см, а высота Й=ЗО см, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью ы=бп рад/с. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее 0=0,2 см, а плотность мате. риала, нз которого она изготовлена, у == 2,2 . 1О' кг/и'. л1 л~ Рис. Е2 'ис. 53 2690. Пластинка в форме параболического сегмента (рис. 53) врацщется вокруг осн параболы с по:гоянной угловой скоростью ы = 4п рад7с.
Основание сегмента а=-20 см, высота 8=50 см, толшпна пластинки Й=О,З см, плотность материала 7=7,8 10' кг!м'. Найти кинетическую энергию пластинки. 2691. Круглый цилиндр, радиус основания которого равен )т, а высота Н, вращается вокруг своей осп с постоянной угловой скоростью со, Плотность материала, из которого сделан цилиндр, равна у.
Найти кинетическую энергию цилиндра. 2692. Тонкая проволока массы Л4 согнута в виде полуокружностн радиуса )7 и вращается вокруг оси, проходящей через концы полуокружносгп, делая а оборотов в минуту. Вычислить ее кинетическую энергию. Вычислить кинетическую энергию, если осью вращения служит касательная в сре;пей точке полуокружности. 2693. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота й. а) Подсчитать силу давления воды на каждую нз сторон пластинки. б) Во сколько раз увеличится давление, если перевернуть пла- 6 г.н.гг- )йг гл. чш. ппимвнвния интсгрллз стинку так, что на поверхности окажется вершина, а основание будет параллельно поверхности воды? 2694.
Квадратная пластинка погружена вертикально в воду так, что одна из вершин квадрата лежит на поверхности воды, а одна из диагоналей параллельна поверхности. Сторона квадрата равна а. С какой силой вода давит на каждую сторону пластинки? 2695. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой а= 6,4 м, нижнее Ь= 4,2 и, а высота Н =3 м.
2696. Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость (вертикально), так что одна из осей (длиной 2Ь) лежит на поверхности. Как велика сила давления жидкоспг на каждую из сторон этой пластинки, если длина погруженной полуоси эллипса равна а, а плотность жидкости г)? 2697. Прямоугольная пластинка со сторонами а и Ь (а)Ь) погружена в жидкость под углом а к поверхности жидкости. Ббльшая сторона параллельна поверхности и лежит на глубине Ь. Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон пластинки, если плотность жидкости г!. 2698. Прямоугольный сосуд наполнен равными по объему частями воды и масла, причем масло вдвое легче воды.
Показать, что давление на каждую стенку сосуда уменьшится на одну пятую, если вместо смеси будет взгпо одно масло. (згчесть, что нсе масло находится сверху,) При решении задач 2699 — 2700 следует опираться на закон Архимеда: подъемная сила, действующая на погруженное в жидкость твердое тело, равна весу вытесненной им жидкости.
2699. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого 5=4000 см', а высота Н=-50 ем, плавает на поверхности воды. Плотность дерева г)=0,8 )О" кгум". а) Какую работу нужно произвести, чтобы вытащить поплавок из воды? б) Вычислить, какую работу нужно затратить, чтобы поплавок погрузить в поду целиком.
2700. Шзр радиуса )? с плотностью ! погружен в воду так, что он касается поверхности. Какую работу нужно затратить, чтобы извлечь шар из воды? Задачи 270! — 2706 связаны с явлением истечения жидкости из малого отверстия. Скорость истечения жидкости определяется по закону Торричелли: о=)Г2ф, где Ь вЂ” высота столба жидкости над отверстием, а — ускорение силы тяжести я). *) В дзниой здесь форме закон Торричелли применим только к идезльпой жидкости. для этой идеальной жидкости и даны ответы и зздзчзм.
(Прзктически пользуются формулой н= )г )' йййг, где р — коэффиниент, зависящий ог вязкости жидкости и характера отверстия, из которого происходит истечение, Для воды в простейпгем случае и=0,6.) 163 % Е ИСКОТОПЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ 2701. В дне цилиндрического сосуда, площадь основания которого 1ОО см, а высота 30 см, имеется отверстие. Вычислить площадь этого отверстия, если известно, что вода, наполняющая сосуд, вытекает из него в течение 2 мин. 2702. Коническая воронка высотой Н =20 ем наполнена водой. Радиус верхнего отверстия Я=!2 см. Нижнее отверстие, через которое вода начинает вытекать из воронки, имеет радиус г =- = 0,3 см. а) В течение какого времени уровень воды в воронке понизится на 5 ему б) Когда воронка опорожннтся7 2703, В дне котла, имеющего форму полушара радиуса )7 =- = 43 см, образовалась пробоина площадью 5 = 0,2 см'.
Через сколько времени вода, наполняющая котел, вытечет нз него? Рас. 54 Рис. 55 2704. Котел имеет форму эллиптического цилиндра с горизонтальной ссью. Полуоси эллиптического сечения (перпендикуляр. ного к осн цилиндра) равны Ь (горизонтальная) н а (вертикальная); образующая цилиндра равна 7. (рис. 54). Котел наполнен водой до половины. За какое время вода вытечет иэ котла через отнерстпе в его дне, имеющее площадь 5? 2705.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
