Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 23
Текст из файла (страница 23)
2489. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией (у — агсяп х)' = х — х'. 2490. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х=а(1 — яп(), у=а(1 — соз() и осью абсцисс. 2491. Вычислить площадь фигуры, Ограниченной астроидой х = а созз 1, у = а з)п' й 2492. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой х= 2а соз( — а соз 2Г, у = 2а яп1 — а яп 26 2493. найти площадь фигуры, ограниченной: 1) зпициклоидой х=()т+г) соз( — гсоз — 1, у=()т+г) з!п( — гз!и — 1; л+г й+г Г l 2) Гнпоциклоидой х= (!т — г) соз У+Рсоа — (, у= Я вЂ” г) яп г — гз!и — ~Х, причем )т лг (и — целое число).
Здесь )т — радиус неподвижной, а г — радиус подвижной окружностей; центр неподвижной окружности совпадает с началом координат, а ! означает угол поворота радиуса, проведенного из центра неподвижной окружности в точку касания. 2494. Найти площадь петли линии: Н х=3(з, у=3( — (з; 2) х=(з — 1, у=(з — 1. 2496. а) Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом спирали Архимеда р=ау при одном его обороте, если началу движения соответствует ~р = О.
б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и третьим витками спирали и отрезком полярной оси. 2496. Найти площадь фигуры, ограниченной линией р = а яп 2<р (двулепестковая роза). 2497. Найти площадь фигуры, ограниченной линией р=асозЬр. 2498. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля р = 2а (2+ соз <р). 2499. Найти площадь фигуры, ограниченной линией р =а1я~р(а О) и прямой ~р=п/4. 2500. Найти площадь общей части фигур, ограниченных линиями р=3+соз49 и р=2 — соз4у. 2601. Найти площадь части фигуры, ограниченной линией р=2+соз2ф, лежащей вне линии р=2+з!п~р. Гл. ти1.
пРименения ынхегРьлл 2502. Найти площадь фигуры, ограниченной линией р' = а!соя!!Ч! (и — целое положительное число). 2503. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любыми двумя полярными радиусами гиперболической спирали 4ир=а и ее дугой, пропорциональна разности этих раднусов. 2504. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любыми полярными радиусами логарифмической спирали р=ае"'ч н ее дугой, пропорциональна разности квадратов этих радиусов. 2505". Найти плвщадь фигуры, заклоченной между внешней и внутренней частями линии р=аз!п'-3-.
2566. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией р = 3/Т вЂ” 1к, <р = агсз!п1+ $Г1 — Г!. В задачах 2507 — 25!1 удобно перейти предварительно к полярным координатам. 2507, Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли (х'+у')'=а'(х' — ук). 2508. Найти площадь части фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли (см. задачу 2567), лежащей внутри окружности х'+ у'= = а'/2. 2509. Найти площадь фигуры, ограниченной линией (х'+ у')'— — а'хз — Ь'у' = О. 2510. Найти площадь фигуры, ограниченной линней (х'+ у')' = 4а'ху (х' — у'). 2511.
Вычислить плон!адь фигуры, ограниченной линией хк+ у4 к!+ ук 2512, Вычислить площадь фигуры, заключенной мезкду линией 1 у=! ., и ее асимптотой. !+к! 25!3. Найти площздь фигуры„заключенной между линией у=ХŠ— кпз И ЕЕ аСИМПтОГОй. 2514. Найти .площадь фигуры, содержащейся между циссондой к! у =з — „н ее асимптотой. 2515. Найти площадь фигуры, заключенной между линией ху'=8 — 4х и ее асимптотой. 2516". 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у= х'е-'* и ее асимптотой.
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у' = хе-". 2517. Найти площадь фигуры, заключенной между трактрисой х=а(соз1+1п16 — ), у=аз!п1 и осью абсцисс. 1\ 2518. Для линии р = — найти площздь петли н площадь сек 2е сов!р фигуры, заключенной между линней и ее аснмнтотой. 3 Ь НЕКОТОРЬза ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ $47 Длина линии ") х = а (соз ! + 1п 16,— ), у=аз!ИФ от ее точки (О, а) до ее точки (х, у). 2536. Найти длину дуги эвольаенты окружности х= й (соз!+! з!п!), у=)с (яп ! — ! сок!) (от 1, = О до 1з — — и).
') В злллчак ва ввчкслевве длав дтг там, где зто кеобкодкмо, в скобказ указывается интервал взмекеквя веалввсвмой перемсвкой, соотвстствуккквй спркмлксмой дуге, 2519. Вычислить длину душн цепной линии у=асЬ вЂ” (отх,=О до хз=Ь). 2520. Найти длину дуги нараболы у'=2)ьс от вершины до ее точки М(х, у). (Взять у в качестве независимой переменной.) 2521. Найти длину дуги линии у = 1п х(от хз= г' 3 до хз= )' 8). 2522. Найти длину дуги линни у =- 1и (1 — х ) (отхз=бдо хо=-!. ы ех+ 1 2523. Найти длину дуги линии у=)п —,(от хз=адо хз=(з). 2524. Вычислить длину дуги нчглукрбнческой нараболы уз = --(х-1)', заключенной внутри пнрнбоаы у'=--, з х 3 ' 2525. Вычнслнсь длину дуги полунубнческой параболы 5у' х', заключенной внутри окружности х'+у'=6.
2526. Вычислить длину нетлчг линни 9пу'=х(х — За)з. 2527. Найти вериметр анисв о из крнволиненных треугольников, ограниченных осью абсцисс и линиями у=1п созх и у= !пяп х, хз 1пх 2528. Найти длину дуги линии у=-ч- — —, заключенной ме- жду ее наинизшей точкой и вершиной (точка линии с экстре- мальной кривизной). 2529. Найти длину линии у =)/х — х'+агсяп)Гх. 2539.
Найти длину лвнии (д — агсз)нх)'=1-хс. 2531. На циклоиде х=а(! — яп !), у=а(1 — сок !) найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1: 3. 2532. Дана астроида х=)ссозз(, у=)с з!пз! и точки на ией А ()с, О), В(О, !с). Найти на дуге АВ такую точку М, чтобы длина дуги АЙ составляла четверть длины дуги АВ.
2533е. Найти длину линии ( — ) + (~) =!. 2534. Найти длину линии х=асозз(, у=аз!пз!. 2535. Найти длину дуги трактрнсы 148 Гл. чн1. пРименения интегвллл 2537. Вычислить длину дуги линии х = (Е' — 2) з!и !+ 2! соз $, у = (2 — 11) соз (+ 2! з>п С (от с!=0 ло Ь! —— и). г> 2538. Найти длину петли линии х=(з, у=(- —. 2539.
По окружности радиуса а, вне и внутри ее с одинаковой угловой скоростью катятся (без скольжения) две окружности с радиусами, равными Ь. В момент Г=О они касаются своими точками М, и М, точки М неподвижной окружности, Показать, что отношен не путей, проходимых точками М, и М! за произвольный промежуток времени 1, постоянно и равно — (см. зздачу 2493). а+Ь 2540. Доказать, что длина дуги линии х =1" (() соз 1+!' (!) 8!и Ф„у = — !" (!) Е1 и 1+ !' (!) соз Х, соответствующей интервалу (11, Фз), равна (((!)+!" (!)) !,'. 254!. Применить результат предыдущей задачи к вычислению длины дуги линии х=е'(соз(+з!П(), у=с'(соз! — з!П1) (от 11=0 до !я=!).
2542. Доказать, что дуги линий х=!Я Ч> (1) у=8>(1)+Г(1) и х=>' (1) з!П1 — ч>'(1) сов!, у=(' (1) соз1+р' (1) е4п1, соответствующие одному и тому же интервалу изменения параметра 1, имеют равные длины. 2543. Найти длину дуги архимедовой спирали р=а4> от начала до конца первого завитка.
1 р 2544. Доказать, что дуга параболы у=э х', соответствующая гр интервалу О.=х~а, имеет ту же длину, что и дуга спирали р = р~, соответствующая интервалу 0 --р.-=-а. 2545. Вычислить длину дуги гиперболической спирали р!у=1 (от !Е1=-3/4 до ч>з= 4/3). 2546. Найти длину кзрдиоиды р=а(1+созЧ>). 2547. Найти длину линии о=аз!и' т (см. задачу 2505).
3 2548. Доказать, что длина линии р =аз>п'" ~ (>п — целое чнс- П! ло) соизмерима с а при >п четном и соизмерима с длиной окру>кности радиуса а при л> нечетном. 2549. Прн каких значениях показателя й(й~вО) длина дуги линии у=-.ах" выражается в элементарных функциях? (Основываться нв теореме Чебышева об условиях иитегрируемости дифференциального бинома в конечном виде.) 149 $ Е ИСКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 2550. Найти длину линии, заданной уравнением к У = ~ 3к СОЗХТ(Х.
лп 255!. Вычислить длину дуги линии ЯЗ 2 у= — ', дг х= ) — йг, ! Объем тела 2555. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением параболы у'=4х вокруг своей оси (параболоид вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы нз расстояние, равное единице. 2556. Эллипс, большая ось которого равна 2а, малая — 2Ь, вращается: !) вокруг большой оси, 2) вокруг малой оси. Найти объем получающихся эллипсоидов вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
