Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В вертикальной стенке призматического сосуда, наполненного водой, проделана прямоугольная вертнкальнзя щель, высота которой равна й, ширина Ь. Верхний край щели, параллельный поверхности воды, расположен на расстоянии Н от поверхности. Какое количество воды вытечет из сосуда за 1 с, если считать, что уровень воды поддерживается все время на одной высоте? Рассмотреть случай Н = 0 (задача о водосливе). 2706. Сосуд, наполненный до краев водой, имеет форму параллелепипеда с площадью основания 100 см'. В боковой стенке его имеется узкая щель высотой 20 см и шириной 0,1 см (рис. 55).
За какое время уровень воды в сосуде понизится на: а) 5 см; б) 1О см; н) 19 см; г) 20 см7 (Воспользоваться результатом предыдущеи задачи.) У(и,виение состояния идеального газа имеет вид по= КТ, где р — давление, и — объем, Т вЂ” абсолютная температура и )7 — постоянная для данной массы газа. Решить задачи 2707 — 2709, считая газы идеальными. б* Гл. РИ1. НРименения интеГРАлА 2707. В цилиндре, площадь основания которого 10 смз, а высота 30 см, заключен атмосферный воздух. Какую работу необходимо затратить, чтобы вдвинуть поршень иа 20 см, т.
е. вдвинуть его так, чтобы ои остановился на расстоянии 1О см от дна цилиндра (рис. 56)? Атмосферное давление равно 1О' Па. Процесс протекает изотермически, т. е. при постоянной температуре. 2708. В цилиндрическом сосуде, поперечное сечение которого 100 см', заключен воздух при атмосферном давлении. В сосуде имеется поршень. Первоначальное расстояние его от дна сосуда Л~см равно 0,1 м.
Цилиндр пол1ещен в пустоту, благодаря чему воздух Г1 в нем расширяется, выталкивая поршень. 1) Вычислить работу, совершаемую воздухом в цилин— дре, когда он поднимает поршень на высоту: а) 0,2 м, б) 0,5 м, в) 1 м. 2) Может ли эта работа ЕОсм неограниченно увеличиваться при неограниченном расширении гавай Рис. 56 (Процесс, как и в предыдущем примере, протекает изотермически.) 2709. В цилиндрическом сосуде объемом ц,=0,1 м' находится атмосферный воздух, который подвергается сжатию быстрым вдвиганием поршня (считаем при этом, что процесс протекает без притока или отдачи тепла, т. е.
адиабатически). Какую работу надо затратить, чтобы сжать воздух в сосуде до объема о=0„03 мау (Атмосферное давление равно 10' Па.) Прн адиабатическом процессе давление и объем газа связаны соотношением рот =р„пт (уравнение Пуассона). Для двухатомных газов (а также для воздуха) 7=1,40. По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела н температурой окружающей среды. На основании этого закона решить задачи 2710 — 2711. 2710.
Тело, температура которого 25', погружено в термастат (в котором поддерживается температура 0 ). За какое время тело охладится до 10, если за 20 мни опа охлаждается до'20'7 2711. Тело, температура которого 30', за 30 мнн пребывания в термостате, температура которого 0', охладилось до 22,5". Какова будет температура тела через 3 ч после начала опыта? По закону Кулона сила взаимодействия двух электрических зарядов раина — „„., Н, где д, и 91 — величины зарядов в куло- 4141 нах, à — расстояние между зарядами в метрах, электрическая постоянная е4=8,85;10-14 Ф/м (4пео=1,!1 10 ") и е — диэлектри- $2.
Иекотоеьщ ЗАдлчи Физики ческая проннцаеаюсть среды относительно вакуума (для воздуха е = !). На основании этого закона решить задачи 2712 †27. 27!2. Бесконечная прямая равномерно заряжена положптель. ным электричеством (линейная плотность электричества и). С какой силой действует эта прямая на единичный заряд, находящийся в точке А на расстоянии а от нее? Диэлектрическая проницаемость среды равна единице. 2713. Два электрических заряда: 42 = 6,6? 10' Кл н = 10 10' Кл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Разделяющей их средой служит воздух. Сначала оба заряда закреплены неподвижно, затем заряд 62 освобождается.
Тогда поддействием силы отталкивания заряд д2 начнет перемещаться, удаляясь от заряда д,. Какую работу совершит сила отталкивания, когда заряд: а) удалится на расстояние ЗО см; б) удалится в беско. нсчностьв 2714. Два электрических заряда д, = ЗЗ,З 10-' Кл и д2 = = — 40 10 ' Кл, находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Каково будет расстояние между зарядамп, если мы приблизим ьгсрой к первому, затратив при этом работу 18 10 '" Д:ке (Разделяющей средой служит воздух.) 27!5. Напряжение на клеммах электрической цс~ и Р= 120 В, В цепь равномерно вводится сопротивление со скорос2ью 0,1 022 в секунду.
Кроме того, в цепь включено постоянное сопротивление «=10 Ои. Сколько кулонов электричества пройдет через цепь в течение двтх мииатв 2716. Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первои|чально 120 В, равномерно падает, убывая па 0,01 В всекунду. Одновременно с этим в цепь вводится сопротивление тоже с постоянной скоростью, именно 0,1 Ом в секунду. Кроме того, в цепи имеется постоянное сопротивление, равное 12 Ом. Сколько кулонов электричества протечет через цепь за 3 мппв 2717. При измевкнии температуры сопротивление металлических проводников меняется (при обычных температурах) по закону )7=-)тл(1+0,0046), где )22 — сопротивление при 0*С и Е— температура по Цельсию. (Этот закон справедлив для большинства чистых металлов.) Проводник, сопротивление которого при 0'С равно !О Ом, равномерно нагревается от Е,=20' до 02=200' в течение 10 мин.
В это время по нему идет ток под напряжением в 120 В. Сколько кулонов электричества протечет за зто время через проводнику 27!8. Закон изменения напряжения сииусоидального тока, имеющего частоту ы, дается следующей формулой: Е=Е,з(п(со!+~в), где Е,— максимальное напряжение, ф — !разя, в ! — время. Найти среднее значение квадрата напряжения за ! период. Показать, что прн постоянном сопротивлении переменный ток выделяет за 1 период столько же тепла, сколько постоянный, имеющий 166 Гл. Еп!, пРименения интеГРАлл напряжение, равное)'(Еа)„. (Ввиду этого выражение !'(Еа), называют эффективным напряжением переменного тока.) 2719.
Напряжение синусоидального тока дается формулой Е= Е ~ш ~ — '1), а ток — формулой /2ш 7 = ?а Е1п (-Т- — 1га) где Е, и 1а — постоянные величины (наиболыпие значения напряженна и тока), Т вЂ” пеРиоД, а Ч1а — так называемаЯ Разность фаз. Вычислить работу тока за время от !1=0 до !Е=Т и показать, что наибольшее значение эта работа будет иметь тогда, когда разность фаз Чъа равна нулю. 2720. Найти время, в течение которого 1 кг воды нагреется электроприбором от 20'С до 100'С, если напряжение тока 120 В, сопротивление спирали 14,4 Ом, температура воздуха в комнате 20'С и если известно, что ! кг воды остывает от 40'С до 30'С за 10 мин. (По закону Джоуля — Ленка 9=11)?1, где Я вЂ” количество теплоты в джоулях, 1 — ток в амперах, )? — сопротивление в омах и ! — время в секундах; удельная теплоемкость воды 4190 —,.
Кроме этого, воспользоваться законом Ньютона об Дж кг К охлаждении; см. задачу 2710.) 2721. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью 3 л, содержит 20% кислорода. Сосуд имеет две трубки. Через одну из них в сосуд начинают впускать чистый кислород, через другую вытекает наружу столько же воздуха, сколько притекает в сосуд кислорода. Какое количество будет содержаться в сосуде, после того как через него протечет 10 л газа? 2722. Воздух содержит аай (=.
8%) СО,; он пропускается через цилиндрический сосуд с поглотительной массой. Тониий слой массы поглощает количество газа, пропорциональное его концентрации и толщине слоя. а) Если воздух, прошедший слой в Н см (== 1О см) толщиной, содержит Ь% (= 2а4) СО,, то какой толщины Н1 должен быть поглотительный слой, для того чтобы, выходя из поглотителя, воздух содержал только с% (= 1%) углекислоты? б) Сколько углекислоты (в ай) останется в воздухе, прошедшем поглотитель, если толщина поглотительного слоя будет равна 30 см? 2723. Если при прохождении через слой воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества дойдет до глубины 30 м? Количество света, поглощенного при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего на его поверхность.
А а нвкотогыа зАдАчи Физики 167 2724. Если первоначальное количество фермента 1 г через час становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 часов после начала брожения, если считать, что скорость прироста фермента пропорциональна его наличному' количеству? 2725. Если через два часа после начала брожения наличное количество фермента составляет 2 г, а через три часа 3 г, то каково было первоначальное количество фермента? (См. предыдущую задачу.) 2726.
2 кг соли растворяются в 30 л воды. Через 5 мин растворяется 1 кг соли. Через какое время растворится 991)! первоначального количества соли? (Скорость растворения пропорциональна количеству перастворенной соли и разности между концентрацией насыщенного раствора, которая равна ! кг па 3 л, и концентрацией раствора в данный момент.) ГЛЛ1)Д !Х РЯДЫ $1.
Числовые ряды Сходимость числового ряда В задачах 2727 — 2736 для каждого ряда: 1) найти сумму и первых членов ряда (Ьи), 2) доказать сходпмость рядз, пользуясь непосредствснно определением сходимости и 3) нанти сумму ряда (5). 1 1 2727и. —.,+ —,, +" -) +" 2,3 " ° ( з- ц 1 1 1 2728. ! 3+" 5+ ° +(2л ц(2л.( ц +''' 1 1 ..1 + 4 . 7 + ' " ' (зи — 2) 13л+ Ц 1, 1 2730. — + —, + " + - — + .
" 1.4 2 5 ''' л(л+3) 1 1 1 2731. — + — +. +,, — — +." 1 7 3 9 ' ' (2л — ц(2и+5! 2732. —,+ — +. +, + " 1 1 1 1.2 3 2 ° 3 4 ''' и(л+Ц(л+2) 5 13 3" +2' 2733..5 +,, +. + —.„+ 1 2 И Ч + 225 + ' ' ' + (зи — Ц' (2л+ Ц' + 2736. агс(а — + агс(Я 3 +... + агс(Я 2-„-х +... ! 1 1 Ряды с положительиымп членами В задачах 2737 — -2783 вопрос о сходимости данных рядоь решить с пои!и(ыо признаков сравнения, 1 1 1 2738. з(п — +з)п 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
