Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Проверить, что функция г = г"(х, у) = ху удовлетворяет функциональному уравнению г (ах+йи, су+с(п) = асГ(х, у)+Ьсг (и, у)+айаг (х, о)+(к(г (и, а). 2964. Проверить, что функция г=г (х, у) = 1пх1пу удовлетворяет функциональному уравнению г (ху, ип) =г'(х, и)+г (х, и)+г (у, и)+г (у, о) (х, у, и, о положительны). 2965. Из уравнения †; + †; + †,; = 1 определить г как явную ~Р дг гз функцию х и у. Будет ли функция однозначнойу 2966.
Дана сложная функция г=и', где и=х+у, п=х — у. Найти значение функции: 1) при х=О, у=1; 2) при х=1, у=1; 3) при х = 2, у = 3; 4) при х = О, у = О; 5) при х = — 1, у = — 1. 2967. г= —, и=пг', п=ю-, и='Р: х+у, г=2(х — у). Выразить г непосредственно в виде функции от х и д. Является ли г рациональной функцией от и и гл от ж и О от х и у? 2968. Дана 'сложная функция г = и" +ю"~', где и = х+ у, и=х — у, ш=ху. Выразить г непосредственно в виде функции от х и у. 2969. и=($+Ч) — Р— Ч', $= —, Ч=— в=!п(х'+у'+ге), ~р=2!П(х+у+г).
Выразить и непосредственно 184 ГЛ. Х. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ в виде функции от х, у и г. Является ли и целой рациональной функцией от $ и тй от «2 и «р; от х, у, г? 2970. Сложную функцию ( + К+У) +х» 1 у» представить в аиде «цепочки» зависимостей из двух звеньев. 2971. Исследовать методом сечений график функции г = = — (х' — у»). Что представляют собой сечения плоскостями х=соп51; 2 з у = соп51; г = соп51? 2972. Исследовать методом сечений график функции г=ху.
Что представляют собой сечения плоскостями х=соп51; у=-сои»1; г = соп51? 2973. Исследовать методом сечений график функции г = у' — с». 2974. Исследовать методом сечений график функции г»= пх»+(!у» (ц)0, Ь «О) 9 2. простейшие' свойства функции Область определения 2978. Область ограничена параллелограммом со сторонами у= О, ! 1 у=2, у= 2 х, у= -х — 1; граница параллелограмма исключается. Задать эту область неравенствами. 2976. Областью служит фигура, ограниченная параболами у=х' и х=у' (включая границы). Задать эту область неравенствами.
2977. Записать с помощью неравенств открытую область, являющуюся правильным треугольником с вершиной в начале координат, со сторонами, равными а, причем одна из них направлена по положительной полуоси Ох (треугольник лежит в первом квадранте). 2978. Область ограничена бескснечным круглым цилиндром радиуса )? (грзинны исключаются) с осью, параллельной осн Ог и проходящей через точку (а, Ь, с). Задать эту область с помощью неравенства.
2979. Записать с помощью неравенства область, ограниченную сферой радиуса )? с центром в точке (а, 6, с) (включая границу). 2980. Вершины прямоугольного треугольника лежат внутри круга радиуса )?. Площадь 5 треугольника является функцией его катетов х и у: 3 =«р(х, у). Какова область определения функции 5=!р(х, у). 2981. В шар радиуса )х' вписана пирамида с прямоугольным основанием, вершинз которой ортогональио проектируется вточку пересечения диагоналей основания. Объем У' пирамиды является з г. пуостейшие свойства функции функцией сторон х и у ее основания. Будет ли эта функция однозначной? Составить для нее аналитическое выраже(ше.
Найти область определения функции. 2982. Квадратная доска состоит из четырех квадратных клеток; двух черных и двух белых, как указано на рис. 5?; сторона каждой из них равна единице длины. рассмотрим прямоугольник, стороны которого х и у параллельны сторонам доски и одпп из углов которого совпадает с черным ее углом.
Площадь черной части этого прямоугольника будет функцией от х и у. Какова область определен и я этой функции? Выразить зту функцию аналитически. В задачах 2983 — 3002 найти области определения функций. хх ух 2983. г= 1 — — — '— а' ьу' 2984. г=1п (ух — 4х+8). 2985. г= ! 2986. г=ф х+д+у'х — у. ! 2987. г= — + = у' х+у у' х — у у †! 2988. г= агсяп —. х 2989. г = 1п ху. 2990. г = ~Гхх — ~Г'у хх+ ух 2991. г = агсяп + + агсзес (х'+ д'). х 2992. г=,... 2993.
г= 1/,+ "+~, (и (! — х" — ф! у х1-2х+ух' 2094. у)/1 „—,, )-)' хт7 — х'. 2995. г=с12п(х+д). 2996. г=)'япп(ха+у'). 2997. г=)/ ха(пд. 2998. г=1пх — 1пя)пу. 2999. г =!п(х 1п (у — х)1: 3000. г = агсяп 12у(1+х') — 11. ! 1 ! 3001. и= — + — + — =. ух у'у 1'х хю2.
-хх* — 3 — 7 — Р4- ., !х) ). ! ~'х2+ ух+ х-' — Гх Предел. Непрерывность функции В задачах 3003 †30 вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям. ГЛ. Х. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3004.
1пп ' к-О "'+У' у О ЗОО6. 1! ', '".,'+"' Он+и) 'у Зййз. 1!и! к ОУ хО+Ф'-! ! — ! у о ЗОО5. Г ""'"+" ' к О к+у О О 3007. !!гп —, 3008. 1! и! (1+ х'у') "'+ у'. О ! У к О у о 3009. Показать, чта функция и= — при х-~о, д-поможет х+у Х вЂ” У стремиться к любому прецелу (в зависимости от того, как стремятся к нулю х н д).
Привести примеры таких изменений хи у, чтобы: а) ! 1гп и = 1; б) 1! !и и =- 2. ЗО!О, Найти точки разрыва функции г=„—,, Как ведетсебя 2 функция в окрестности точки разрыва? 30!1. Найти точки разрыва функции г=- ! ил пх+ ип пу 30!2. Где будет разрывна функция г= — ? ! Х вЂ” У ЗО!3. Где будет разрывна функция г= —. + —.? ! ! ЯП ПХ ЯП ПУ' 3014. Где будет разрывна функция г= —,, ? ук+ 2х ЗО!5'. Исследовать непрерывность функции при х= О, у=о: !) !'(х, д) = „,, +,к г (О, О) = О;. 2) !' (х, д) = к,. + „, !'(О, О) = О; 3) ~ (х, д) = †„, „" ,, ~ (О, О) = О; 4) ) (х, у) = †, „ ~ (О, О) = О; 5) ~ (х, У) = „,+ у„ 1(О, О) =- О; 6) ) (х, У) = †," У , ~ (О, О) = О.
Л и н и и и п о в е р х н о с т и уровня 30!6. Дана функция г=)(х, у)= + к Построить линии ! кк+ук ' уровня этой функции для г= 1, 2, 3, 4. 30!7. Функция г=г(х, у) задана следующим образом: в тачке Р(х, у) ее значение равно углу, под которым виден пз этой точки данный в плоскости Оху отрезок ЛВ. Найти линии уровняфункции ) (х, д). В задачах ЗО!8 — 3021 начертить линии уровня данных функций, придавая г значепп!я от — 5 до +5 через 1.
30!8. г=ху. 3019. г=хху+х. 3020. г=у(х'+1). 3021. г= —, !ат $ а пРОстейшие свонства Функции 3022. Построить линни уровня функции г=(х'+у2)' — 2(к2 — у2), придавая г значения от — 1 до 312 через !/2. 3023. Построить линии уровня функции г, неявно заданной уравнением ( — ) !(х — 5)'+у')=(-) !(х+5)'+у21, давая г значения ат — 4 до 4 через единицу. 3024. Построить линии уровня функции г, заданной неявно уравнением у'=2= (х — г), давая г значения от — 3 до 3 через 1. 3025.
Найти линии уровня функции г, заданной неявно уравнением г+х!пг+у=О. 3026. В пространстве дана точка А. Расстояние переменной точки М от точки А есть функция координат точки М. Найти поверхности уровня этой функции, соответствующие расстояниям, равным 1, 2, 3, 4. 1~7 1 Рис. Еа 3027.
Функция и =-1(х, у, г) задана следукицим образом: в точке Р (х, у, г) ее значение равно сумме расстояний этой точки ат двух данных точек А (х,, уь г2), В (к.„у.„г,), Указать поверхиости уровня функции ! (х, у, 2). 3028. Найти поверхности уровня функции и=!и— 1 1 !' Х +У2+2" 1 — У аз+У'+ 2"" ха+уз 3029. Найти поверхности уровня функции и= ЗОЗО. Найти поверхности уровня функции: 1) и = 52"22-'" 2) и = (5 (х'+у' — 2г2). 1аз гл. х. эхнкции нескольких пеевмвнных 3031.
На рис. 58 изображены линии уровня функции г =т(х, у). Построить график функции: 1! г=Г(х, О); 2) г=г'(х, 4); 3) г=!'(1, у); 4) г=г'( — 5, д); 5) г=Г" (х, Зх)," 6) г=т(х, хг). 0 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 3037. г =- х'д — у'х. (а, 6 — постоянные). 3040. г= —,.' х-* ч- ч-' 3042. а=ха/д+ —,, д !'л 3044. г =- агс1И ' . У' 3041. г=(бхзу — у" +7)з 3013. г= !п(х+ ! х'+д>) 3043. г = —,. ! ,'> агыа л 3048. г=лл. 3048. г= !и= 1 л"-', дь+л 3050.
г=!и 18 --, д 3047. г =-!и (х" + у'). 3049. г= агсз!и — "=~-. )>х'-'+ дз Частные производные 3032. Объем газа о является функцией его теапературы и давления: п=("(р, Т). Средним козффициентом расширения газа при постоянном давлении и изменении температуры от Т, до Т. называют выражение,', ', . Что следует назвать коэффнцнен- , П'.,— тн ' том оасшпреппя при постоянном давлении при данной температуре Т,? 3033. Температура в данной точке А стержня Ох является функцией абсциссы х точки А и времени й 0=7(х, 1). Какой да да физический смысл имеют частные производные - и — ? дт дк' 3034.
Площадь 5 прямоуголышка выра>кается через основанпе 6 и высоту 6 формулой 5=66. Найти —, —. и выяснить дь дЯ да ' да геометрический смысл полученных результатов. 3035. Даны две функции: и = ~/а' — х' (а — постоянная) и ди дг а=1~ у~-' — х"'. Найти -- и —. Сравнить результшы, дх дх' В задачах 5036 — 3084 найти частные произ> одные данных функций по каждой пз независимых переменных (т, д, г, и, сч 1, <р н ф — переменные): 3036. г=-х — у. 3038. О=ахг '+И ЗОЗО г=, + 8 з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
