Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 32
Текст из файла (страница 32)
3176. х=е" сово, д=е" в!по, г=ио. Выразить «(г через и, о, «(х и Йл 3177. Соотношения и=1(х, у), о= С" (х, у), Где 1 и Р— диффе- ренцируемые функции х и у, определяют х и у как диффереици. руемые функцнн от и н о. Доказать, что (д««««««ди де) (дхдо дх де) 3178.
и и о являются функциями х, у, г, удовлетворяющими соотношениям ио=Зх — 2д+г, ох=хе+уз+г'. Показать, по хд +уде+г«м =0' ди дх ди 4 3. пОВтОРнОе днФФВРенциуоаание 3179. Пусть у=7(х, !), Р(х, у, !) =О. Проверить, что д! дР д! дР ду дх д? дг дх дх д~ дд дУ * М ду др 3180. Пусть !.(х, у, г) =О, Р(х, у, г) =О. Проверить, что д! дУ дУ д! ду дхух дх д сТх д! дх дг д! ду дг ду дг $ 5. Повторное дифференцирование 3181. г= х'+ху' — 5ху'+у'. Показать, что — = — . д'г д»г дх ду ду дх дгг д'г 3182.
г=хг. Показать, что — = —. дхду дудх' 3183. г» ех(созу+хз!пу). Показать, что Уг г дх ду ду дх 3!84. г=агс18 —. Показать, что —., у д!г дгг х' ду-" дх дх ду' дгг д'г дгг В задачах 3185 — 3192 найти —, — и — от данных функций. дх»' дхду дуг 3!Вг, — '1 (3+»! г!В — ! Р.~.)ГР»!!. 3187. г=агс15 х У. 3188, г=з!Пг(ах+Ьу).
3189. г = е''х. 3!90. г= — У. х+у 3191. г = уы ". 3192. г= агсз(п (ху). 3!93. -1З»7»Э — 2 3194. г = е'г' — =? д!г дхг ду г. дгг 3195. г = 1п (х'+ уг); — „=? 3196. г = г(п ху; —, =? дгг! дги 3!97. гу=ехг', — =? 3198. и=к у"гг; —,=? ' дхду дг дх ду' дг' дг дг 3199. г=1п(ех+еу); убедиться, что -+ — =1 и что Рг дгг д'г !г дги дга 3200. и=у" (хсозу-уз)пу); показать, что — —,+ — =О. 1 дга д»и 3201. и=1п —; показать, что —,+ — =О. $г х»+ у» 3хг ду' 7» 196 ГЛ. Х. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1 дзи Уи дзи 32(Р2. и= )г хз -1-у'+ г' ; показа!ь, что —,+ — + — =О.
дхз дуг дгз зззз. -З/Эгз'~Р; азг дг дг 2 У(!иг! дз((иг) дз(!иг) 1 дкз дуз дгз г ' — + — + — =- ° — + — + — =— дхз ду' дгз — гк 3204. При каком значении постоянной а функция о=хи+ахая дйз дззз удовлетворяет уравнению —; + —, = ОР дхз ду' 3205 г= —,,„.. Показатчч что дх, =а'д-, ° ! ! ! 3206. о= — + — + —; показать, что х — у у — г г — х' дзи дю дзи ~ дзи дзи дзи ) дхе дуз дгз (дхду дудг дгдх! — е+ -+- — +2( — + —.
+ — 1=0. 3207.,г=((х, у), $=х+у, т(=х — и; проверить, что Уг дзг дзг дхз ддз дЕ дч' 3208. о=х(п(х+г) — г, где г'=х'+у'! показать, что дзи дЪ ! -+ дх' ду* х+г ' Уд 3209. Найти выражение для второй производной —, от функции у, заданной неявно уравнением ((х, у) =О. 3210. у=зр(х — а()+зр(х+а(). Показать, что —,=а* —,„каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции зр и ф 3211.
и=зр(х)+зр(у)+(х — у) ф'(д). Проверить, что дзи ди (х — д) — =— дк ду ду (Чз и зр — дважды дифференцируемые функции). (дг 1дг г 3212. г=угр(хг — ((г). Проверить, что — -+ — — = —, (ф-диф. хдх удд уз ференцируемая функция). 3213. г=хр(х+и)+уф(х+у). Показать, что д'г Уг д'г дхз дх ду ду' — — — 2 — +- =О ((р и !р — дважды дифференцируемые функции).
3214. и = — (гр (ах+ у) +ф (ах — у)1, Показать, что ! д Уи из а (,ди! ахг =дз ду(И дд/' $5. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 197 3215. и= — „(~р(х — д)+ф(х+д)). Показать, что 1 д — (х' -) =х' 32!6. и=хеу+уе". Показать, что дзи дхи У~с дхи дхх + дух дхду'+Удх'-'ду' 3217. и=е'Р-'.
Показать, что д~и дхи ди — = ху —, + 2х - - + и. дх ду дх дх ду дх 32!8. и=!и . Показать, что В задачах 3219 — 3224 найти дифференциалы второго порядка ог данных функций. 32!9. г=ху' — хеу. 3220. г=!п(х — д). 322!. г=з „,. 3222. г=хзптху.
! 2 (хх+ ух) 3223. г=е'и. 3224. и =хдг. 3225. а=з(п (2х+у). Найти е(хг н точках (О, и), ( — и/2, и!2). 3220. и=з!п(х+у+г); ахи=? хх ух 2~ 3227. —, + дх + —, = 1; Уг =? 3228. гх — Зхуг=а'; е(хг=? 3229. Зх'у'-+ 2гххд — 2гх'+ 4гд" — 4 = О. Найти г(хг в точке (2, 1, 2). Замена переменных 3230. Преобразовать дифференциальное выражение дху ду хх У+2хх У+, полагая х= 1/1. 3231. Преобразовать дифференциальное выражение х'д" — 4хд'+ д, полагая х=е'. 3232. Прдобразовать дифференциальное выражение (! — х ) —,„, — хих+ау, полагая х=з!и !. 3233.
Преобразовать дифференциальное выражение — „+ у, считая у независимой переменной, х-функцией от нее. 4ВВ Гл. х. Функции нескольких пеРеменных 3234. Преобразовать выражение у'у'" — Зд"', принимая за независимую переменную у. 3235. Преобразовать выражение уу" — 2 (ух+у") к новой функ- 1 пии и, полагая у=--. .3236. Преобразовать к полярным координатам ураннение ду х+у дх х — у' Полярные координаты связаны с декартовыми формулами х~ = рсозгр, у=рз1п~р. 3237.
Выражение е= ",, преобразовать кполярнымкоор(1+у')"' динатам р, су, дх дх 3238. Функция г зависит от х, д. В выражении у — -х— д д„ сделать замену независимых переменных с помощью фпрмуд Х = = мсозеч у= и 51п и. д~и дзи 3239. Оператор Лапласа †„; + — преобразовать к полярным координатам. дхх д' х 3240. Выражение, + —., + йх преобразовать к полярным коордх- 'дуз динатам, считая, что г = ы (р) зависит только от р и не зависит от ~р. дих дЪ Рх 324!. В выражении — +2 — + — независимые перемендх' дх ду дух ные х и у заменить переменными и н и, а функцию х — переменной щ полагая, что эти переменные связаны соотношениями х= и1и и и иа из 2 *й 2 ' 4 ГЛАВА Х! ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОП) ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 5 1. формула Тейлора.
Экстремумы функций нескелькик перемеинык Формула Тейлора 3242. Г(х, у) =хх+2У' — ху; разложить функцию Г(х+й, у+й) по степеням й и й. 3243. Г(», у) =ха+ух — бху — 39х+18у+4; яайтн приращение, которое получает функция при переходе незазнсммых переменных от значений х=5, д=б к значениям х=5+й, у=б+й. „у1 ххуз 3244. 1(», У) = — 4 — — Ух'+ — — 2»+Зу — 4; найти приращение, которое получает функция при переходе независимых переменных от значений х=1, У=2 к значениям х=1+й, у=2+й.
Ограничиваясь членами до второго порядка включительно, вычислить ~(1,02; 2,03). 3245. 1 (х, у, г) = Ах'+ Вух + Сг'+ Рху+ Еуг+ Егх; разложить 1(х+й, д+й, г+1) по степеням й, й и 1. 3246, Разложить г=з(пхз(пд по степеням х — — и д — 4-. 4 Найти члены первою и второго порядка и Рх (остаточный член второго порядка). 3247. Функцию г=хх разложить по степеням х — 1, у — 1, найдя члены до третьего порядка включительно. Использовать результат для вычисления (без таблиц!) г1= 1,1ьм. 3248.
1(х, у) =е з1оу; разложить 1(»+й, у+й) по степеням й и й, ограничиваясь членами третьего порядка относительной и й. Использовать результат для вычисления гх=е' ' з(п 0,49п. 3249. Найти несколько первых членов разложения функции е Нпу в ряд Тейлора в окрестности точки (О, 0). 3250. Найти несколько первых членов разложения функции е" 1п(1+у) в ряд Тейлора в окрестности точки (О, 0). В задачах 3251 — 3256 разложить в ряд Тейлора при»а=О> У,=О данные функции. 3251.
г= . 3252*. г= агс1я — У. ! — х — у+ху ' 1+ху' 3253. г = 1п (1 — х) 1п (1 — у). 3254. г = 1п 200 ГЛ, Хс ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 3255. г = з1п (хи+ уз). 3256. г=е" сову. 3257. Найти несколько первых членов разложения по степеням х — 1, у — 1 функции г, заданной неявно уравнением аз + уг — хдз — хз = О и равной единице при х= 1, у= 1. 3258. Получить приближенную формулу — — 1 — --(х — у) сиз к з з сиз у 2 для достаточно малых значений 1х(, 1у!. Экстремумы В задачах 3259 — 3267 найти стационарные точки функций. 3259.
г=2х'+ху'+5хз+у'. 32Г>О. г=е'к(х+у'+2у). 3261. г = ху (а — х — д), 3262. г =-- (2ах — х') (20у — у'). 3263. г=-з1пх+з1пд+сов(х+у) (О~х ='л/4, О~у п)4). 3264. г= "+' . 3265. г=у'р'1+к+к)/Т+д. у' !+к'+у' 3266. и=2х'+у'+2г — ху — хг. 3267. и = 3 1п х + 2 1п у+ 5 1П г + 1п (22 — х — у — г). Рис. 60 3268. На р11с, 60 изображены линии уровня функции г=1(х, у). Какие особенности имеет функция н точках А, В, С, з) и на линии ЕЕ7 3269. Функция г задана неявно: 2х'+2у'+г'+6хг-г+6=0. Найти ее стационарные точки. 201 $ ь ФОРмэлА тейловл. зкстпемумы функций 3270. Функция г задана неявно: 5х'+5дг+5г' — 2ху — 2хг— — 2дг — 72=0.
Найти ее стационарные точки. - 327!*. Найти точки экстремума функции г=2хд — Зха — 2г'-1-10. -3272. Найти точки экстремума функции г=4(х — д) — х' — у'. . 3273. Найти точки экстремума функции г=х*+ху+у'+ +х †у. аз аг 3274. Убедиться, что функция г=х'+ху+у'+ -- + — имеет х д минимум в точке х=д=-,;а —. га -3275. Убедиться, что при х= д'2, д=)Г2 и при х= — )Г2, д= — 3/2 функция г=х'+д' — 2х' — 4ху — 2у' имеет минпм~м. 3276. Убедиться, что прп х=5, у=6 функции г=х'+у— — бху — 39х+18у+20 нмеет минимум.
3277. Найти стационарные точки функции г=х'у'(12 — х — д), удовлетворяющие условиюх= О, у)0, и исследовать их характер. 3278. Найти стационарныс точки функции г=х'+у' — Зху и исследовать их характер. Наибольшие и наименьшие значения 3279. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г= = х' — у' в круге ха+да~4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
