Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 36
Текст из файла (страница 36)
3515. Найти среднее значение функции а=х+бу в треуголнике, ограниченном прямыми у=х, у=5х и х=1. ии.ни, рд ы фу н -~Ф: р в круге х'+уз( 1с'. 2!7 а э. НнтеГРьлы В пОляРных кООРдинлтлх Тройной интеграл В задачах 3517 — 3524 вычислить интегралы: з а Ь с 3517, ) ь(х $ с(у ~ ь(г. 3518. 5 ь(х 1 ь(у )с (х+ и+ г) ь(г. а а а а а а а к у а «ка 3519. )Ь(х ) !(у ~хна!(г. 3520. ) Ь(х ) !(у ~ х'у'гь(г. а а а а а а с-! к-к — 1 «+«+с д д' « 3522. ~ ~ ~ ! „ ь) — область, ограниченная плоско- а.к с!у И~ 1«+ у+ к+! ) стями х=О, у=о, г=О, х+у-)-г=1. 3523. ~ ~ баху!(х!(уь(г, !) — область, ограниченная гиперболическим параболоидом г=ху и плоскостями х+у=1 и г=о (г -»0). 3524. )))усов(г+х)!(х!(у!(г, 1)-оеласть, ограниченная цни линдром у=)с'х и плоскостями у=о, г =О и х+г= П72.
9 3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических координатах Двойной интеграл В задачах 3525 — 3531 перейти в двойном интеграле ) )1(х, у)!)х!Ьу к полярным координатам р и ка (х =рсоа Ч2, у= и = рз(псу), и расставить пределы интегрирования: 3525. Р— круг: 1) хк+ук~щ 2) ха+у«~ох; 3) ха+!!«=-оу. 3526. Р— область, ограниченная окружностями ха+да=4х, ха + ук = 8х и п р ямым и у = х и у = 2х. 3527. Р— область, являющаяся общей частью двух кругов ха + у' ( ах и х' + уа ~ (ку.
3528. Р— область, ограниченная прямыми у=х, у=о и х=1. 3529. Р— меньший из дау х сегментоп, на которые прямая х+у=2 рассекает круг »2+у!(4. 3530. Р— внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли (ха+у')'=а'(х' — у'). 3531. Р— область, определенная неравенствами х)О, у=о, (ха ) ук)к 4акхкук. В задачах 3532 — 3535 двойные интегралы преобразовать к ~олярным координатам: Ьсас-кс 2Я У21~~ — ас 3532.
Р» 5 )(х, у)ь(у. 3533. ~ (у )В "Г(„у) (х а а л22 а 21$ ГЛ. Х11, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНое интеГРИРОВАНИЕ 3534. ~ дх ~ ) (ха+ ув) г(у. а а В/Р'1-~- В* Вс и вввв. 1 в, ( 1(') вер 1' в„) р (х)в„ а 3 " В~а,,+, В задачах 3536 — 3540 с помощью перехода к полярным координатам вычислить двойные интегралы: и 1гяг св 3538, ') 1(х ') 1п(1+ха+уз) ду. а а Г1 — хв — ув 3537, ~ ~ р1,р =, дхду, где область 0 определяется нера1+хе+ус о веиствами хв+уас"-1, х= О, у~О.
3538. ! ~(Ь вЂ” 2х — Зу) бхг(у, где 0 — круг ха+уз =.Яа. о авве. 1(ЗГИ вЂ” Р— "грвгвр, в о — рр с+у~в . о 3540. ~ ~ ага!8 У дхг2у, где 0 — часть кольца о х'+у'=-1, '+у' О, у -"-, у - )ГЗ. )ГЗ 3541. Показать, исходя из геометрических соображений, что если декартовы координаты преобразовать по формулам х = =арсозвр, у=бра(пгр (о и Ь вЂ” постоянные), то элементом площади будет г(о = аэр др 1(гр. В задачах 3542 — 3544, используя результат предыдущей задачи и выбрав подходящим образом а и Ь, преобразовать двойные интегралы: 3542.
)')1(х, у)1(х1(у, где область 0 ограничена эллипсом о хе уе 4+ 9 3543. ~')Г(х, у)в(хну, где 0 — область, ограниченная линией о (сг-с('=ср. ввв4..1 ) 1(1' в — —, — „-;) '«вв, рве а -евсее вввввгвеывргр кольца, ограниченная эллипсами в + в = 1, 4 †, + †,, = 1 и лежащая в первом квадранте. % 3 интегпалы в цоляоиых кооздийатал 3545. Вычислить интеграл ) ) худхду, где О-область, огра. О х* ниченная эллипсом —;+от =1 и лежащая в первом квадранте. 3546. Вычислить интеграл ~ ~ у"ху бх Ыу, где  — область, огра/хо уо ~о ху ничениая линией ~-+ — ) = — — и лежжцая в первом квадранте.
13 3) у'е Тройной интеграл В задачах 3547 — %51 перейти в тройном интеграле ~ ~17 (х У, г) ~(хдубг к цилиндрическим координатам р, ф, г (х=рсозф, у= рз(пф, г=г) или сферическим координатам р, 6, ф (х=рсозфа(па, у=рз(пфа(па, г=-рсоа а) и расставить пределы интегрирования: 3547. Я вЂ” область, находящаяся в первом октанте и ограниченная циляндром хо+уо=)со и плоскостями г=О, г=1, у=х и у=х)УЗ. 3546. И вЂ” область, ограниченная цилиндром х*+у'= 2х, цлоскостью г=О и параболоидом г=х'+у*. 3649. И вЂ” часть шара х'+уо+го =Во, лежаоцая в первом октанте.
3660. И вЂ” часть шара хо+уо+го(Йо, лежащая внутри цилиндра (хо+уо)о=Во(хо — у) (х~О). 3661. И-общая часть двух шаров хо+Уз+го(Яо и хо-»- +у'+(г — 0)'~й' В эгдачзк 3552 — 3558 вычислить интегралы с помощью перехода к цилиндрическим или к сферическим координатам: У1-к а 2 Уао — м а 3562. (о(л ~ бу1бг. 3553. ~бх ( ду~г')Ухо+уобг. о у,:,~ о о о о я уя1:к' уя*:7*:а"' 3654. ~ а(г ) а(у ) (хо+ уо) а(г. Уà — 'о' ЫББ 1~ ~ ч ~ У*'АРФ" ~* а о о 3556. $$$(хо+уо)азха(уй, где область Й определяется неравенствами г~О, г' -хо+уо+го --Яо.
ах ау ог 1.,= г~ ~1 хго гл. хц, многомееныя интегеалы и кеатное интегеиеованив й 4. Применение двойных и тройных интегралов Объем тела. 1 В задачах 3559-3596 нзйти двойным интегрированием обт емы тел, ограниченных данными поверхностями (входящне в условия задач параметры считаются положительнымн): 3559. Плоскостямп координат, плоскостями х=4 и у=4 и параболопдом вращения г = х'+у'+ 1.
3560. Плоскостями координат, плоскостями х= а, у= Ь и х' д' эллиптическим параболондом г= - + — . гр 2а' х у г 3561. Плоскостью — + --+ — =1 и координатными плоско- а Ь с стями (пирамида). 3562. Плоскостями у=О, г=О, Зх+у=б, Зх+2у=12 и х+у+г=б. 3563. Параболоидом вращения г= х'+ у', координатными плоскостями н плоскостью х +у= 1. 3564. Параболоидом вращения г= х' +у' и плоскостями г=О, у=1, у=2х и у=6 — х. 3565.
Цилиндрами у=)/х, у=2$' х и плоскостями г=О и х+г= б. 3566. Координатными плоскостями, плоскостью 2х+Зу — 12=0 и цилиндром г=у'!2. 3567. Цилиндром г = 9 — у', координатными плоскостями и плоскостью Зх+4у= 12 (у~О). 3566. Цилиндром г=4 — х', координатными плоскостями и плоскостью 2х+д=4 (х~О). За69. Цилиндром 2у~=х, плоскостями — + ~ + 4 1 и г=О. 4 3570. Круглым цилиндром радиуса г, осью которого служит ось ординат, координатными плоскостямн н плоскостью — + — =1.
х у а 3571. Эллиптическим цилиндром — +у'=1, плоскостями г= ~ 12 — Зх — 4у и г = 1. 3572. Цилиндрами х'+у'= Р' и х'+г'= Р'. 3573. Цилиндрами г=4 — у', у= — и плоскостью г=0. 2 3574. Цилиндрами х'+у'=Р', г= —, и плоскостью г=О уЗ (х =-. 0). 3575. Гиперболическим параболоидом г = х'- д' и плоскостями г=О, х=З. 3576. Гиперболическим параболоидом г=хд, цилиндром д= = 1'х и плоскостями х +у= 2, д = О и г =О. $4. пяименения даоиных и тгоиных интаггллов 221 3577.
Параболоидом г=х'+у', цилиндром у=х' и плоскостями у=1 и г=О. хи хз 3578. Эллиптическим цилиндром —, +;,-= 1 и плоскостями у= -х, у=О н г=О (х)0). Ь и4 — хи — 4 их 3579. Параболоидом г= и плоскостью г=О. и 3580. Циляндрамн у=е", у=е-, г=е' — у' и плоскостью г=О. 3581. Цилиндрами у=!пх и у= 1и'х и плоскостями г=О и у+а=1. 3582*. Цилиндрами г= 1пх и г=1пу и плоскостями г=О и х+у=2е (х~1). 3583, Цилиндрами у=х+а(пх, у=х — 6(пх и г= 4 (па- (х+ д)4 раболический цилиндр, образующие которого параллельны прямой х — у = О, г = 0) н плоскостью г=О (О~х~ж, у~О).
3584. Конической поверхностью г'=ху (рис. 66), цилиндром 3/х+ + )Р у = 1 и плоскостью г= О. Рис. 66 Рис. 67 3585. Конической поверхностью 4у' = х (2 — г) (параболический конус, рис. 67) и плоскостями г=О и х+г=2. 3586. Поверхностью г=соахсоау и плоскостями х=О, у=О, г=О и х+у=л/2. 3587. Цилиндром х'+у'= 4, плоскостями г=-0 и г=х+у+10. 3588. Цилиндром х'+у4=2х, плоскостями 2х — г=О и 4х— — г= О. 3589. Цилиндром х'+у'= 4с', параболоидом 77г=24с'+х'+у' и плоскостью г=О. 3590. Цилиндром х'+у'=2ах, параболоидом г= ~~ и пло- и скостью г=О.
3591. Сферой х'+ ух+ г'= а' и цилиндром х'+ у'= ах. (Задача Вивиани.) ага гл. хп.многомееные иитегиалы и хваткое ннтеганеовьние 3592. Гиперболическим параболондом г= —, цилиндром х'+ ХЯ +у»=ах и плоскостью г=О (х)0, у~О). 3593. Цилиндрами х'+у»=х и х'+у* = 2х, параболоидом г=х»+у» и плоскостями х+у=О, х — у=О и г=0. 3594. Цилиндрами х'+у'=2х, х'+у»=2у и плоскостями г = х+ 2у и г = О.
3595. Конической поверхностью г' = ху и цилиндром (х'+у')'= ° =2ху (х~О, у~О, а==О). 3596. Геликоидом («винтовая лестница») г=йагс1и — ", цилинг' дром х«+у»=Л» н плоскостями х=О и г=О (х)0, у~О). Площадь плоской фигуры В задачах 3597 — 3608 найти двойным интегрированием площади указанных областей: 3597. Области, ограниченной прямыми х=О, у=О, х+у=1. 3598. Области, ограниченной прямыми у=х, у=бх, х=!. 3599. Области, ограниченной эллипсом —, + — = 1. Ь» 3600. Области, заключенной между параболой ~= — х и пряа Ь мой у=-х. а 3601. Области, ограниченной параболами у=Ух, у=2 у х и прямой х='4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
