Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Доказать, что функция у= ~ — ', й удовлетворяет о дифференциальному уравнению у" +у=1)х. 1 3767*. Доказать, что функции у= ') (г' — 1) 'е ей удовлет- -1 воряет дифференциальному уравнению ху"+2лд' — ху=О. + ю е 3768". доказать, что функция и= „„Иг удОВлетВО- ряет дифференциальному уравнению ху" — 2лу' +ху = 1.

3769*. Доказать, что функции Бесселя нулевого порядка 121 Уо(х) = - ~ соз(хз1пе)е(а УдовлетвоРЯетДиффеРенцнальномУУРав- 2 о нению,/о (х)+ — "+ уо(х) =О ГЛАВА Х![! КРИВОЛИНЕАНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ $1. Криволинейные интегралы по длине Вычисление интегралов В задачах 3770 — 3775 вычислить криволинейные интегралы: г а5 ! 3770. —, где Ь вЂ” отрезок прямой у --х — 2; заключен' ~к — у' 2 ный между точками А (О, — 2) и В(4, О).

377!. ) хубз, где 7. — контур прямоугольника с вершинами с А (О, О), В (4, О), С (4, 2) и )7 (О, 2), 3772. )уй, где 7.-дуга параболы у'= 2рх, отсеченная парас белой х'= 2ру. 3773. )(х'+у')" й, где Е-окружность х=асозг, у=аз!и!.

хч уз 3774. ~хупз, где Ь вЂ” четверть эллипса —,+ — „,=1, лежащая в первом квадранте. 3775. ~3~ 2удз, где Š— первая арка циклоиды х=а(! — Ип!), у=а(1 — соз!). 3776.. Вывести формулу для вычисления интеграла ~ г" (х, у) дэ в полярных координатах„если линия Ь задана уравнением р=р(т) (ф1~ф~в). 3777*.

Вычислить ) (х — у) Й, где (. — окружность ха+у'= ах. 3778. Вычислить ~х~"х~ — фаз, где Š— линия, заданная урав- нением (х~+у')'=а'(х' — у*) (х)0) (половина лемнискаты). 3779. Вычислить агс(3 — „й, где Ь вЂ” часть спирали Архимеда Д р= 2<р, заключенная внутри круга радиуса )т с центром в начале координат (в полюсе). Г!!. Хп!. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3780.

Вычислить интеграл ~ —, где 1. — первый виток внн. Г И,Н ~ к!+у! !. топай линии х=:асоз1, у=аз!О1, г=а 3781. Вычислить ) хуге!з, где 7. — четверть окружности х'+у'+ -!а!= !т', х'+у'=)7к/4, лежащая в первом Октанте. 3782. Вычислить )(2г — '1! х'+у')!!з, где 1.— первый виток копической винтовой линии х=1соз1, у=1з!п1, г=1. 3783. Вычислить ~ !х+ у) е!а, где 7. — четверть окружности х'+у'+г'=!т', у=х, лежащая в первом октанте. Применения интегралов 3784. Найти массу участка линии у=!пх между точками с абсциссамн к, н х,, если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки. 3785.

Найти массу участка цепной линии у=ос!! — между к а точками с абсциссамн хТ=О и х,=а, если плотность линни в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке (О, а! ранна 6. 3780. 'Найти массу четверти эллипса х=асоз 1, у=Ьз!О1, расположенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке равна ординате этой точки. 3787.

Найти массу первого витка винтовой линии х= а сов 1, у=аз!Н1, г=Ь1, плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки. 3788. Нзйти массу дуги линни х=е'соз1, у=е!з!п1, г=е' от точки, соответствугошей 1 =О, до произвольной точки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1, О, 1) равна единице.

3789, Найти координаты центра масс первого полувнтка винтовой линии х =а соз 1, у= а з!и 1, г = Ь1, считая плотность постоянной. 3790. Вычислить статический момент первого витка конической винтовой линии х = 1 сов 1, у =- 1 з!и 1, г= 1 относительно пло! Хости Оху, считая плотность пропорциональной квадрату рас» стояния От этой плоскости: р= йг . 3791. Вычислить моменты инерции первого витка винтовой ли. ь нни х=асоз1, у=аз!Й1, г= — „1 относительно координатных ач осей.

$ Ь КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ 237 В задачах 3792 — 3797 вычислить площади частей цилиндрических поверхностей, заключенных между плоскостью Оху и указанными поверхностями: 3792. х'+у«=)т', г=й+ —. 3793. у« = 2рх, г = )~ 2рх — 4х'. 3794. у'=--(х — 1)'; г=2 — к'х. 3795.

х'+у'=Я', 2)тг=ху. х« г« 3796. —,+ —;=1, г=йх и г=О (г~О) («цилиндрическая подковав). 3797. у=3/2рк, г=у и х=-р. 3798. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из круглого цилиндра рздиуса )т такой же цилиндр, если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом (ср. с решением задачи 3642). 3799. Найти площадь части поверхности цилиндра х'+у' =-Ях, заключенной внутри сферы х«+у'+г«=Я'. Согласно закону Био — Савара элемент тока действует на магнитную массу т с силой, равной по величине,, где ш/ мп а з« Гй 1 — ток, «Ь — элемент длины проводника, г — расстояние от элемента тока до магнитной массы, а — угол между направлением прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и направлением самого элемента тока.

Этз сила направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую помещена магнитная масса; направление силы устанавливается правилом «буравчикам Опираясь на этот закон, решить задачи 3800 — 3805. 3800. Найти силу, с которой ток 1 в бесконечном прямолинейном проводнике действует иа точечную магнитную массу т, находящуюся на расстоянии а от проводника.

3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток 1. С какой силой этот ток действует на точечную магнитную массу т, находящуюся в центре квадрата7 3802. Показать, что ток 1, текущий по дуге линии, уравнение которой в полярных координатах имеет вид р =р(~р), действует на точечную магнитную массу, находящуюся в полюсе, с силой 1=т1 ~ —. г ар Ф~ 3803. С какой силой ток 1, текущий по замкнутому эллиптическому контуру, действуег на точечную магнитную массу т, находящуюся в фокусе эллипсар ГЛ. Х>И. КРИЕОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3804. С какой силой ток 1, текущий по бесконечному парабо.

лическому контуру, действует на точечную магнитную массу л), помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до фокуса равно р/2. 3805. С какой силой ток 1, текущий по'круговому контуру радиуса Й, действует иа точечную магнитную массу л), помещенную в точку Р, лежащую на перпеидикуляре, восставленном в центре круга, на расстоянии й от плоскости круга? При каком значении /? эта сила будет наибольшей при заданном й? й 2.

Криволинейные интегралы по координатам Вычисление интегралов В задачах 3806 — 382! вычислить криволинейные интегралы: 3806. ) ха(у, где Ь вЂ” контур треугольника, образованного осями координат н прямой — +--=1, в положительном направлении х у 2 3 (т. е. против движения часовой стрелки). 3807. ~ х)(у, где 1. — отрезок прямой х + — "=1 от точки пеа Ь ! ресечения ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью ординат.

3808. )(х' — у')а!х, где 1. †ду параболы у=х' от точки (О, 0) А до точки (2, 4). 3809. ') (х'+у'))(у, где 1.— контур четырехугольника с вершинами (указаннымн в порядке обхода) в точках А (О, О), В (2, О),( С(4, 4) н !? (О, 4). ал. ял) ' 3810. ~ — хсозу)/х+ уз!пхну вдоль отрезка, соединяю- <а, а> щего точки (О, О) и (и, 2п). )). )) 381 1. ~ ху а(х + (у — х) оу вдоль линии 1) у = х, 2) у = х', сь а> 3) у' = х, 4) у = х'. (), )) 381 2. ~ 2ху а!х + х' )!у вдоль линии 1) у = х, 2) у = х', <а, а> 3) у=ха, 4) уа=х. 3813. )у)(х+хбд, где 1.— четверть окружности х=)тсоз(, у=)? Ейп! от 1)=О до 1а=п/2. 3814.

)уФ вЂ” х)!у, где 1,— эллипс х> асоз 1, у — ()з!И1, пробе. гаемый в положительном направлении. $ Е КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ ЕЗЕ 4= Р444х — х444у 3815.,+,, где 8 — полуокружность х=асозг, у= = аып( от (4=0 до 1,=л. 3816. ~(2а — у) 4(х — (а — у) 4(у, где Š— первая (от начала координат) арка циклоиды х=а(1 — ыпг), у=а(1 — соз1). 3811. ) „„„где Л вЂ” четверть астроиды х = )х созе, у= Я з1п'1 от точки (441, О) до точ~и (О, )4).

3818. )х4(х+у4(у+(х+у — 1)4(г, где Х.— отрезок прямой от точки (1, !, 1) да точки (2, 3, 4). 3619. ~ уг 4(к+ гх 4(у+ху 4(г, где 4. — дуга винтовой линии ы х=)Г соз1, у=)Г з1п1, г= — от точки пересечения линии с пеоскостью г=О до точки ее пересечения с плоскостью г=а.

Характеристики

Список файлов книги