Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ег 3977. Разность потенциалов на зажимах катушки равномерно падает от Ее — — 2 В до Е~ — — 1 В в течение 10 с. Каков будет ток э а конце десятой секунды, если в начале опыта он был 16 — А? з Сопротивление катушки 0,12 Ом, коэффициент индуктивности 0,1 Гн. 3978. Иайти ток в катушке в момент 1, если сопротивление ее !?, коэффициент индуктнвности !., начальный ток 1а =О, электродвижущая сила меняется по закону Е=Е,з!пм1. Разные задачи (уравнения е разделяющимися переменными, однородные и линейные) В задачах 3979 — 3997 найти общие решения уравнений: 3979.
у' =." ~+а . 3980. ххду+(3 — 2ху) е(х=О, 3981, х (хе+ 1) у'+у = х (1+хэ)х. 3982. д' ="+'. 3983. у'= х хе(!+хй ' 3984. (8у+ !Ох) е(х+(5у+7х) е(у=О. 3985. хэу' =у(уз+хе). 3986. "— "" = 1и — ", 3987. (х — у сод "-)йх+х соэ ~ Ну=О. х 3988. у'=ее" — еху. 3989. —, ех еу хе — ху+ ае ду' — ха' 3990. д = .. 3991. (х — 2ху — у')йу+ уЫ =О. ' Нх хеовд+Мн 2д' 3992. у'+усозхг э!пхсозх. 3993. (.х -1- 1) у' — лу = ех (х+ 1)"". 3994. д йх = (у' — х) ду. 3995. ( — ) — (х + у) л — + ху = О* ау 3996*.
уд'э!пх=созх(э!пх — у'). 3997 д'=(х+У)' 3998. Убедиться в том, что интегральными кривыми уравне- ния (1 — х') у'+ху=ах являются эллипсы и гиперболы с цент- рами в точке (О, а) н осями, параллельными координатным осям, причем каждая кривая имеет одну постоянную ось, длина кото- рой равна 2. В задачах 3999 †40 найти частные решения уравнений, удов. летворяккцие указанным начальным условиям: $ Ь УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Зйаа. "— '", '=г, ' х+уу' У)„1= 1. 4000.
У' — 1,=1+х' У! -0=1. Р 4001. (1+ е') уу' = е"; у (~-о = О. 4002. у' = Зхеу+ ха+ х~; у! -ч = 1. 4003. Доказать, что только прямые у=ях и гиперболы ху=т обладают следующим свойством: длина полярного радиуса любой их точки равна длине касательной, проведенной в этой точке. 4004. Найти линию, у которой длина нормали пропорцио- нальна квадрату ордияаты, Коэффициент пропорциональности равен й. 4005.
Найти линию, у которой любая касательная пересе- кается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат. 4006. Найти уравнение линии, пересекающей ось абсцисс в точке х = 1 и обладающей таким свойством: длина поднормалп в каждой точке линии равна среднему арифметическому коорди- нат этои точки. 4007. Найти линию, у которой площадь трапеции, образо- ванной осями координат, ординатой произвольной точки и каса- тельной в этой точке, равна половине квадрата абсциссы. 4008.
Найти линию, для которой площадь„заключенная между осью абсцисс, ли и двумя ординатами, одна из которых постоянная, а другая — йвр~еменная, равна отношению куба пере- менной ординаты к переменной абсциссе. 4009. Найти линию, для оторой площадь фигуры, ограни- ченной осью абсцисс, двумя ор натами и дугой ММ' этой линии, пропорциональна дуге ММ' п и любом выборе точек М и М'. 4010. Найти линию, для ко " с центра масс кри- волинейной трапеции, образованной осями координат, прямой х=а и линией, была бы равна За/4 при любом а.
4011». Найти линию, все касательные к которой проходят через данную точку (х„у,). 4012. Найти линию, проходящую через начало координат, все нормали к которой проходят через данную точку (х„у,). 4013. Какая линия обладает следующим свойством: угол, со- ставляемый с осью Ох касательной к линии в любой ее точке. вдвое больше угла, который составляет с той же осью полярный радиус точки касания.
4014. На тело массы гл=! действует сила, пропорциональ- ная времени (коэффициент пропорциональности равен й1). Кроме того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное скорости тела (коэффициент пропорциональности равен Ф,). Найти закон движения тела (зависимость пути от времени), 4015. Частица падает в среде, сопротивление которой про- порционально квадрату скорости частицы.
Показать, что урав- ГЛ. Х!У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ пение движения будет — =8-йо', где й — постоянная, и — уско. ЛР й рение силы тяжести. Проинтегрировать это уравнение и пока« зать, что о стремится к )/8/й при 1-~+со. 4016. Сила трения, замедлякецая движение диска. вращаю. щегося в жидкости, пропорциональна угловой скорости вращения. 1) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 3 оборота в секунду, через ! мин вращается с угловой скоростью 2 оборота в секунду. Какова будет его угловая скорость через 3 мин после начала вращения? 2) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 5 оборо. тов в секунду, через 2 мин вращается с угловой скоростью 3 оборота в секунду. Через сколько времени после начала вращения он будет обладать угловой скоростью, равной 1 обороту в секундуу 4017, Пуля входит в доску толщиной Й= 0,1 и со скоростью ЕА =' 200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью о1 —— = 80 м/с.
Принимая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску. 4018*. Капля воды, имеющая начальную массу Ма г и равномерно испаряющаяся со скоростью т г/с, движется но инерции с начальной скоростью п, см/с. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения капли и ее радиусу. В начальный момент (// О) она равна /О Н. Найти зависимость скорости капли от времени. 4019Ф. Капля воды, имеющая начальную массу МА г, равномерно испаряющаяся со скоростью гп г/с, свободно падает в воздухе. Сила сопротивления пропорциональна скорости движения капли (коэффициент пропорциональности равен й].
Найти зависимость скорости движения капли от времени, протекшего с начала падения капли, если в начальный момент времени скорость капли равнялась нулю. Считать, что йчь2т. 4020", Решить предыдущую задачу для капли сферической формы, предполагая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна произведению скорости капли и площади ее поверхности. Плотность жидкости у. (Привести к квадратурам.) 4021*.
Если в каком-либо процессе одно вещество превращается в другое, причем скорость образования продукта пропорциональна наличному количеству превращающегося вещества, то такое явление называют процессом (или реакцией) первого порядка. Некоторое вещество, начальное количество которого гл„ превращается в другое вещество, а из образовавшегося продукта немедленно начинает получатЬся второй продукт. Оба превращения происходят кек процессы первого порядка; коэффициенты З Ь УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА пропорциональности известны: й, — в первом процессе н йс — во втором. Какое количество второго продукта образуется через Г единиц времени после начала процесса? 4022.
В резервуаре, объем которого 100 л, находится рассол, содержащий 1О кг растворенной соли. В резервуар втекает вода со скоростью 3 л/мин, а смесь с такой же скоростью перекачивается во второй резервуар емкостью также 100 л, первоначально наполненный чистой водой, из которого избыток жидкости выливается. Сколько соли будет содержать второй резервуар по прошествии часа? Каково максимальное количество соли во втором резервуаре? Когда это максимальное количество достигается? В Ю (Концентрация соли в каждом из ре- А В зервуаров поддерживается равномерной посредством перемешивания.) х сгх 4023. Напряжение и сопротивление цепи равномерно меняются в течение минуты соответственно от нуля до 120 В и от нуля до 120 Ом (см.
задачи Рис. 69 3977 — 3978). Индуктивность цепи постоянна (1 Гн). Начальный ток ус. Найти зависимость между током и временем в течение первой минуты опыта. 4024». В узкой горизонтальной цилиндрической трубке АВ, герметически закрытой, заключен газ. Трубка равномерно вращается вокруг вертикальной оси 00~ (рис.
69), проходящей через один из ее концов с угловой скоростью сс. Длина трубки 1 см, поперечное сечение Я см', масса заключенного в ней газа М г, давление в покоящейся трубке (постоянное вдоль всей трубки) рс. Найти распределение давления вдоль трубки при ее вращении, т. е. выразить р как функцию от х. Другие примеры уравнений первого порядка В задачах 4025 †40 найти общие решения уравнений, при- ведя их с помощью замены переменных к уравнениям линейным или однородным: 2у — х — 5 4026, у'= " "+ 2к — у+4' х-2у-1-1 ' 4027. (х+у+1) с(х = (2х+2у — 1) с(у. 4028.
у'= „+ 4029, у'==" 4030. у' = 2 (,, 4031. (1 — ху+ х уа) дх = хз с(у. 4032. (х'уз - 1) у'+ 2ху' = О. Гл. хпа диФФеРенциАльньи уРАанення 4033. Уу'+х= — (" — „) . 4034. ху'+(=ау. 4035. (хх + ук + 1) сМУ -1- ху бх = О. 4036. хйх+уг(д+х(хбу — уйх) =О. 4037. (кх+ ух+ у) бк = х к(у. В задачах 4038 — 4047 решить уравнения Бернулли: / 4038. у'+2ху=2х'у'. 4039. д'+ — У+д =О. 4040. у"-' (ау' + у) = х. 4041, х бх = ( — — у') бу.
~У 4042. хд'+у=уз!пх. 4043. у' — У15х+у'созх=О. 4044. у'+-„= —,, 2у 2 у'у 4045. ху' — 4у — хк)ГУ =О. 4046. уоу хк к(х кк ' эук Ь хх 4047. д'=уф ~, где ф(х) — заданная функция, ф (х) 4048. Найти линию, у которой отрезок, отсекаемый иа оси ординат касательной в произвольной точке: 1) пропорционален квадрату ординаты точки касания, 2) пропорционален кубу ординаты точки касания. 4049, Найти линии, заданные уравнениями вида р =1(ф), для которых площадь секторов, ограниченных линией и полярным радиусом постоянной точки (р„ ф,) и текущей точки (р, ф) ли- нии, пропорциональна произведению полярных координат р и ф этой текущей точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
