Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 44
Текст из файла (страница 44)
4194. у'у" = — 1; у)о-1= 1, у )х-т — О 4195. Уо — дед'=1; У~~х-о=р 2, У ~х-о= о . 4196. у" =еоо; о=О, д ) -о=). 4197. 2(У') =-д" (У вЂ” 1); У~х-о=2, У' )о-х= — 1. 4198*. х'у"=(у — ху')о; д! о=1, у'~ о=1. 4199. у"=ху'+у+1' У(-о=1. д ~х-о=О 4200о. Какая линия обладает тем свойством, что радиус кри. визиы в любой ее точке пропорционален длине нормали? Принять коэффициент пропорциональности )о= — 1, -1-1, 2, 12. $ Х УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 263 420!.
Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось Од есть величина постоянная, равная а. 4202. Найти линию, проходящую через начало координат, у которой отношение площади треугольника МТР (ряс. 70), образованного касательной в какой-нибудь точке М линии, ординатой этой точки МР и осью абсцисс, к площади криволинейного треугольника 022Р равно постоянному числу 22(22) !!2). 4203. Найти линию, длина дуги которой, отсчитываемая от некоторой точки, пропорциональна угловому коэффициенту касательной в конечной точке дуги. 4204.
Точка массы л2 вертикально брошена вверх с начальной скоростью и,. Сила сопротивления воздуха равна йР'. Поэтому, если принять вертикаль за ось Оу, то при движении вверх имеем Рй 2П 2ПР Яаг Л2 Ф а при падении 2П вЂ”; - = — 222 Р + ЙО~, Вгз Рис. 70 где п=й . Найти скорость, которую будет иметь тело в тот мо- 22Р мент, когда оно падает на землю. 4205. Тонкая гибкая и нерастяжимая нить подвешена за оба конца. Какую форму в равновесии примет нить под действием нагрузки, равномерно распределяющейся по проекции нити на горизонтальную плоскость? (Весом нити пренебрегаем.) 4206. Найти закон прямолинейного движения материалы2ой точки массы п2, если известно, что работа силы, действующей в направлении движения и зависящей от пути, пропорциональна времени, протекшему с мол2ента начала движения.
Коэффициент пропорциональности равен л. 4207*. Луч света из воздуха (показатель преломления Гп,) падает под углом а, с вертикалью в жидкость с переменным показателем преломления. Последний линейно зависит от глубины и постоянен в плоскости, параллельной горизонту; па поверхности жидкости он равен ти а на глубине 22 он равен п2,. Найти форму светового луча в жидкости. (Показатель преломления среды обратно пропорционален скорости распространения света.) Частные случаи уравнений более высоких порядков В задачах 4208 †!7 найти общие решения уравнений: 4208. у" = — .
4209. у = соз 2х. к ГЛ. Х1Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 421! . х'у"' = (у")а. 4213. у" = (у"):. 4215. Уу'" — у'у" = О. 42!7. (у")т — у'у'" =- ~'-'-) . 1х! ' 4210 ух еах 42!2. хуч=угч 42! 4. у'у"' = 3 (у")з. 4216. у" !1+ (у')') = 3У' (у")Я.
Приближенные решения 4218. При исследовании колебания материальной системы с одной степенью свободы встречается дифференциальное уравнение вида у" =Г1(х)+)з(у)+),(у'). Решить это уравнение графически, если: 1) !»1(х)=0 1а(у)= — »У'у ~а(у)=05у' и у!»-а=у')»..Р=О; 2> 111(х) = — х Уа(у) =О )а(у)= — 0 !у' О!у' и у>»-а= =у'1.- =1. 4219. у" =уу' — х»; у',». а= 1, у' ( -А= 1. 1) Решить данное уравнение графически. 2) Найти несколько первых членов разложения решения в степенной ряд. 4220. Найти шесть первых членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения у" = — — †, удовлетворяющего Д а х' начальным условиям у~ -1=1 у'~ -1=0 422!.
Найти в форме степеинбго ряда частное решение уравнения у" = х з!ну', удовлетворяющее начальным условиям у '„., = О, у'! 1= —. (Ограничиться шестью первыми членами.) 4222. Найти в форме степеннбго ряда частное решение У=((х) уравн;ния у" = хуу', удовлетворяющее начальным условиям((0) = 1, )и (0) = 1. Если ограничиться пятью первыми членами разложения, го будет ли этого достаточно для вычисления Г( — 0,5) с точностью до 0,001? 4223. Найти семь первых членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения уу" +у'+У=О, удовлетворяющего Начальным условиям у~ -о=!, д ~ -А=О.
Какого порядка малости будет при х- 0 разность у — (2 — х — е ")? 4224. Найти 12 первых членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения у" +уу' — 2 = О, удонлетворя1ощего начальным условиям у! ч= О, у'(„.А = О. Вычислить интеграл 1 ')удх с точностью до 0,001. Вычислить У' ~„ал с точностью до 0,0000! .
4225". Электрическая цепь состоит нз последовательно соединенных иидуктииности Е=0,4 Гн и электрической ванны. В ванне находится литр воды, подкисленной небольшим количеством сер- 4 с ЛинейнЫе УРАВнеНиЯ 2бб ной кислоты. Вода разлагается током, при этом меняются концентрация, а следовательно и сопротивление раствора в ванне. Напряжение на клеммах поддерживается постоянным (20 В). Количество вещества, выделяющееся при электролизе, пропорционально току, времени и электрохимнческому эквиваленту вещества (закон фарадея). Электрохнмический эквивалент воды равен 0,000187 г/Кл.
Сопротивление раствора в начале опыта )ге = 2 Ом, начальный ток 10 А. Найти зависимость (в форме степенного ряда) объема воды в сосуде от времени. 4226*. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных индуктивности А=О,4 Гн и электрической ванны, первоначальное сопротивление которой 2 Ом. В ванне в литре воды растворено 10 г хлористого водорода.
Кислота разлагается током, при этом меняется концентрация раствора (ср. с предыдущей задачей, где количество растворенного вещества не менялось, а менялся объем растворителя). Напряжение на клеммах цепи 20 В, электрохимический эквивалент й хлористого водорода равен 0,000381 г!Кл, начальный ток 10 А. Найти зависимость (в форме степеннбго ряда) между количеством соляной кислоты в растворе и временем. 5 4. Линейные уравнения 4227. Функции ха и хе удовлетворяют некоторому однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Убедиться, что они образуют фундаментальную систему, и составить уравнение. 4228.
То же для функций е" и х'е". 4229. Функции х, х', е образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения третьего порядка. Составить это уравнение. 4230. Функция х' и х' образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения второго порядка. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у~ т=1, у'~ т=О. 4231. Функции соз'х и е)пех удовлетворяют некоторому линейному однородному уравнению второго порядка: а) проверить, что онн составляют фундаментальную систему решений; б) составить уравнение; в) показать, что другой фундаментальной системой этого уравнения являются функции 1 н соз2х. 4232*. Есл!т у, есть частное решение уравнения у" +у'Р (х)+уЯ (х) =О, — 1 Р Оа ЕтЕХ у,=Су,) е 1 — (С вЂ” постоянная) ! тоже является решением. Показать это тремя способами: ГЛ.
К1Ч ДИФФЕРЕ!1ЦИАЛШ1ЫЕ УРЛВНЕПИЯ 1) непосредственной проверкой, 2) заменой у=уга, 3) из фор. мулы Остроградского. 4233. Пользуясь формулой задачи 4232, найти общее решение уравнения (1 — х')у" — 2хд'+2у=О, зная его частное решение д1 х. 2 4234. Решить уравнение у" + — у'+у=О, зная его частное яп х решение у,= —. Х 4235. Уравнение (2х — хо) у" +(х' — 2) у'+2(1 — х) у= 0 имеет решение у=е". Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у'~ 1=0, у'~,=1=1. 4236Ф. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение у"+у'Р(х) — уЯ(х)=0 имелодва линейно независимых решения у1 и у„удовлетворяющих условию уоу,=!.
4237Ф. Найти общее решение уравнения (1 — х') у" — ху'+9у=О, если его частное решение есть многочлен третьей степени. В задачах 4238 — 4240 легко подобрать одно частное решение (не считая тривиального у=О) для данного уравнения. Найти общие решения этих уравнений: 4238. д" — 18х д'+2у=О. 4239. у" — у'+е-=О. 4240. д" — —,— д'+ — =О. хх, 2Д хо+7 хо+ ~ 4241.
Найти общее решение уравнения х'у'" — Зх'у" +бху'— — 6д=О, зная частные решения д,=х и до=хо. В задачах 4242 — 4244 найти общие решения неоднородных уравнений: 4242. х'у" — ху'+у=4х". 4243. у" — — 1 у' + х— 1 д = х — 1. 4244. (Зх+2хх)у" — 6(1+х) д'+бу=б. 4245. Уравнение (1+ хо) у" + 2ху' — 2у = 4х'+ 2 допускает частное решение у=х'. Найти решение этого уравнения, удовлетвоо ~ о Е,-о, У~-,=о. 4246. Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения у" — (1+х')у=О, удовлетворяющего начальным условиям у)х о= — 2, у') о = 2.
4247. Найти девять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения д"= х'у — д', удовлетворяющего начальным условиям у~ о=1, д')„о=О. 4248. Записать в виде степеннбго ряда частное решение уравНЕНИя у" — Ху'+Д-1=0; у!х-в=01 у'1х-а=О. 4249. Записать в виде стспеннбго ряда общее решение уравнения у"=уа . (Ограничиться шестью первыми членами.) 4250. Записать в виде степеннбго ряда общее решение уравне. ния у" +ху'-х'у=О.
(Ограничиться шестью первыми членами.) 4 4. ЛИНЕПНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнения с постоянными коэффициентами 267 В задачах 425! — 4261 найти общие решения уравнений: 425!. у"+у' — 2у=О. 4252. у"-9у=О. 4253. у" — 4у' = О. 4254. у" — 2у' — у = О. 4255. Зу" — 2у' — 8у=О. 4256. и'+у=-0. 4257. у" +бу'+13у=О. 4258, 4у" — Зу'+5у=О.
4259. у" — 2у' +у= О. 4260. 4-„, — 20„. — + 25х = О. 4261. 2у" +у'+2ейпо !5'сох'15' у=О. В задачах 4262 — 4264 найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 4262. у" — 4у' +Зу= 0; у)х о †''б, у !х-о= !О. 4263. у" +4у'+29у=-0; у~х-о=О, у (х-о= !5. 4264. 4у"+4у'+у=О; у'х о==2, у'!х о=О. 4265. Дано частное решение некоторого линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у, = е ". Дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
