Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 48
Текст из файла (страница 48)
4445. Дан прямой круглый однородный цилиндр (радиус основания )г, высота Н, плотность 6). 1) Найти потенциал в центре его основания. 2) Найти потенциал в середине его оси. 4446. Дан прямой круглый однородный конус (раднус основания )7, высота Н, плотность 6). Найти потенциал конуса вето вершине. 4447.
Найти потенциал однородного полушара хз+у'+г'~ й-" (г-"-О) с плотностью 6 в точке А (О, О, а). (Рассмотреть два случая: а)Я и а~Я,) 4448". Найти потенциал однородного тела, ограниченного двумя концентрическими сферами с радиусом Й и г (Й ) г) и плотностью 6, в точке, удаленной от центра шара на расстояние а, (Рассмотреть трн случая: а~)т, а=-г и г~п -Я.) Показать, что если точка находится во внутренней полости тела, то сила притяжения, действующая на зту точку, равна нулю.
4449. Найти потенциал неоднородного сплошного шара х+и +а ~Я в точке Л (О, О, а) (а) й), если плотность 6 = Ха', т. е. пропор- циональна квадрату расстояния точки от плоскости Оху. Поток и циркуляция (плоский случай) 4450. Вычислить поток и циркуляцию постоянного вектора А вдоль произвольной замкнутой кривой Е. ГЛ, ХШ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 445!. Вычислить поток и циркуляцию вектора А (Р) =аг, где а — постоянный скаляр, а г — радиус-вектор точки Р, вдоль произвольной замкнутой кривой Ь. 4452. Вычислить поток и циркуляцию вектора А (Р) =х( — уу' вдоль произвольной замкнутой кривой Е,.
4453. Вычислить поток и циркуляцию вектора А (Р)=(л' — у) 7+ +(у'+х)Г вдоль окружности радиуса )? с центром в начале координат. 4454. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен и =!п г, где г =)Гх'+у'. Определить количество жидкости, вытекающей из замкнутого контура 7., окружающего начало координат, в единицу времени (поток) и количество жидкости, протекающей в единицу времени вдоль этого контура (циркуляция).
Как изменится результат, если начало координат лежит вне контура? 4455, Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен и=ср, где ср=агс15 —. Определить поток и циркуляцию >> вектора вдоль замкнутого контура Ь. 4456, Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен и(х, у) =х(х~ — Зу').
Вычислить количество жидкости, протекающей за единицу времени через отрезок прямой линии, соединяющей начало координат с точкой (1, !). Поток и циркуляция (пространственный случай) 4457. Доказать, что поток радиус-вектора г через любую замкнутую поверхность равен утроенному объему тела, ограниченного этой поверхностью. 4458. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность круглого цилиндра (радиус основания >т', высота Н), если ось цилиндра проходит через начало координат.
4459. Пользуясь результатами задач 4457 и 4458, установить, чему равен поток радиус-вектора через оба основания цилиндра предыдущей задачи. 4460, Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность круглого конуса, основание которого находится на плоскости кОд, а ось совпадает с осью Ог.
(Высота конуса 1, радиус основания 2.) 446!. Найти поток вектора А(Р)=х!>!+уаг+хгй через границу части шара х'+у'+за = 1, заключенной в первом октанте. 4462*. Найти поток вектора А (Р) = уг1+ хгу+ хуй через боновую поверхность пирамиды с вершиной в точке 5 (О, О, 2), основанием которой служит треугольник с вершинами 0(0, О, 0), А (2, О, 0) и В (О, 1, 0). т88 ГЛ. ХЧЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 4463, Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль одного витка АВ винтовой линии х=асоз1, у=аз1П1, Я=И, где А н В-точки, соответствующие значению параметра О и 2п. 4464. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью Г» вокруг осн Ог.
Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиуса Й„центр которой лежит на оси вращения, а плоскость окружности перпендикулярна к оси вращения в направлении вращения. 4466". Вычислить поток ротора поля векторов А [Р1 = уй+ +гу+ хй через поверхность параболоида вращения е = 2 (1 — ке— — р-"), отсеченную плоскостью Е=О. отВетЫ К главе ! 1, Все числа и иатуральиого ряда, кроме и †.. ! и и = 2. Еслсс сумма углов 5, а числ с с орои и. то 5 =и (и — 2). 4. а) Прп х = — 2, х =- 1, х=б функция ойрзщаегся а нуль; б) при х» — 2, — 2» х» 1, с~ 6 фуикция поло.
1 жительиз; в) при 1, х»6 функция отрицательиз. 6. г==. 7. 5 ) ~й/с 4 = — (на. 8. Ь=!'25 — и'-'. 9. /(0)= —; /(1)=- — 0,5; /(2).=0; /( — 2)=4; /( — 1/2)= — 5; /(рг2) = — О 242 ..., 1/1)с2) = 1; ср(0) =- 2; ср(1) = Обс ф(2)=0; ср( — 2)= — 4; ср(4)=04; /( — !) ве существует; ср( — 1) ие суща.
ствует. 10. /(!) = 0; /(а) =а" — 1; /(а+ 1) ='аз+ За!+За; / (а — 1) = аз— — Заа-!-За — 2; 2/(2и)=16ат — 2. 11. /'(О)=!/4; Р(2)=1; г (З)=2; Р( — 1) 1/8' Р(25)=)с2*' Р( — 1,5)=!/У1281 ср(0)мм!/4' ф(2)=11 ср( — Ц=1/2 ср(х) =2'-а при х ) 0 и ф(х) =2 х з при х»0; ср( — 1)+г (!)=1, !2. ф(0).=0; ф(ц=а; ф( — !)= — 1/а; ф(1/а)=аС' и"; иг(а)=ан", ф( — а)= — а' ". 13. ф(/н)=ге+1; (ф(С))е=т +2тз+1. 29.
ПЬ) — (и) разно таигеису угла ма>ад!С Ь вЂ” а секущей, проходящей через точки (а, /(а)) и (Ь, /(Ь)), и положительимсс изпразлеиием аси Ох. 22. а) х,=О, х,=2; б) х,= — 1, .те=3. 23. х,= — 2. хе —.-5, ха= — 1/2. 24. Одним яорием всегда будет х=а, 25. 4 и — 2; — 2, 2, 4, !О. 29. х, = — 3, х = — 2, ха=2, х, = 3.
27. хт.й — ! и х - 2. 28. а = 4, Сс = — 1. 29. а= †, , = — 1,04 (полагая Мп 0,5 = 0,48); Ь = 1; г= — .+ 29п или 2яп0,5 2 1 а= —,. „!,04; Ь=- — 1; г= +(29+!)и (Ь=О, 9 1. сс-2, ...). 30. д (х+1) . 31, д=~ — ~. 32. д= » (ос+1)'-', 83.
и= ! ! -1-(12 ып х)-'. 34. с. ~ сссз х !' =- з!п(!+х), 35. !) д=е', о=з!пх; 2) 9=с' г, с =и'-', и=х+1; 3) д=)8 си с = 12 х; 4) у=и'", и= яп с, с =2х) 1; 5) 9=5", и = с'-', г=-Зх+1. 38. з) — 3/8; б) 0; з) з!п!2; г) — асп 2хсозт2х; д) х" — Зх'-,'-Зс' — 2хз-1-х; е) 0; яс) Мп (2яп2х). 38. !) д = с- ) 1 — х'-'; 2) д = с. ) зе†а-"; 3) и = ! ан — х, 4) д= †; 5) д и х )оис 5 1О 600 — 6) д= — — 1; 7) д = !одс(ха+ 7) — !обс(хе — 2) — х; 8) х ' х хт =А ссоз —. 39*. Пусть х)0 и д)О, тосда д-)-д —.т — х=О; у=х (гра1+х * фик — биссектриса первого коордииатиого угла). Пссть х~О и д-"О, тогда д-д — х — х=0; х=0 (график -отрицюельиая полуось Од).
Пусть х . 0 и дом О, тогда д+д — х+х=О; д=О (график — отрицатсльиая полуось Ох), Пусть х»0 и д»О, тогда д — д — х+х=Π— тоскдество (графпк — множество щех виутреииик точек ~ретив~о коердииатиого угла). 1О г. и. внрмнн ОТВЕТЫ г 8 1/720 1/б 1/24 1/120 1 1/2 42. 43. Если /(х) — масса отрезка АМ, то /!х)=2х при 0(х(1, /!х) 2+- (х — 1) при 1(х(3, /(х)=я+2 прн 3<к<4. Функция опреде- 3 2 лена при О=.х(4.
44. При 0(х</7 Б=п(2Б — т)з; при Н(х(3/7 Б=п/»', нри 3/7(х<4/7 Б=4 !бйх —,тз — 8/7»). Ене интервала /О, 4/7) функ- хз! цня Б=/!х) не определена. 45. У=их///з — — ~; 0<к(2//, 46. Б 4 /' яхз 5 Р»4/7» — хн 0(х(2/7. 47. 1) я~О; 2) х) — 3; 3) х( —; 4) — оо( 2Й ' ' ' ' 2' х(0; 5) вся числовая ось, кроме точек х=.61; 6) нся числовая ос!6 7) не определена только при х=О, х=.— 1, х=1; 8) вся числоная ось, кроме точек х=! и х=2; 9) — ! <х<1,' 1О) — со(х(0 и 4 <х(-1-со; 11) — со < х(1 и 3«.к(-)-сю; в интервале !1, 3) функция ве определена; 12) — со<к<1 и 2<х <+от; на отрезке !1, 2) 1»ункция не определена; 3 5 13) — 4 "х:.' 4; 14) ! = х»93; !5) 0 сйх = 1; 16) — — (хе8 -,—; 17) 0»их ..:.; !8) — ! -,х«»1; 19) — со<х<0; 20) це имеет смысла; 21) 1«»х.=4; 1 2' 22) 2/гл(х( !24+1) и.
где д — целое число; 23) 2/л < хе8 !2/с+1) и, где я — целое число; 24) 0(х (1 и 1(х <+со. 48. !) — 2 вОх(0 и 0<х(1; 2) — ! «й х =-, 3; 3) 1» х < 4; 4) 3/2 < х < 2 и 2 х (+ со; Я область определенияя состоит только из одной точки х=1;йо ° — 1<х~О и 1(х(2; 2<х<+4)48 7! 3 — 2н<х<3 — и и 3<х="'4:~ — 4 =х « — пи О=к«»л; 9) 2/гп<х< !2/г+ !) и, где /г — целое число; !0) 4 <х(5 и 6 <х(+со; 1!) нигде нс определена; 12) — 1 -, х»=' 1 и 2».
х < 3; !3) вся числонан ось; 14) 4 (х== 6; !5) 2 (х(3. 49. !) Да; 2) тогкдествепны па лобов» гнпсрвале, пе содср>канссм точку х=О; 3) тогкдестненны на пол)интервале !О, -~- со); 4) тагидсствснны на интервале /О, +со). 50. 1) 11апрнмср, д=1'1 — хе) 1 ! ! 2) например, д=; 3) например, д= — -!- — -1- —. 5!. П ! < х г»4 — ха х — 2 х †.'1 х — 4' <х<3; 2) 0(х<+со для двух ветвей и !(к<+со для двух других ветвей, 52. — со(х(+оз.
53. 1) д)0 при х)2; д(0 прн х(2; д=О при х=2; 2) д)0 при х<2 и х~З! д<0 при 2(х<3; д=О при х,= — 2 и ОТВЕТЫ 291 Рис. 8! на интервале ( — со, — 3), 0 — — -хе+5 на отрезке [ — 3, 3[, 5 9 2 3 --х — 2 на отрезке [3, б[, 63. 1) у= — 7/8 прн х=!/4; 2) у=)7/4 при х= — 3/2; 3) у=5 прн х=О; ас аз 4> у= — 7аз/8 при х=а/4; 5) у= — — прн х= —. 84. 1) у= — б при х= — 2; 4Ьз 2Ьз' 2) у-0,31875 при х=З/В; 3) у=5/8 при х= 1/4; 4) у=аз при х=О; 5) у 9 Ь а а а а 2а' ' 2 2' 2 2' = — — Ьз при х = —. 85.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
