Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 52
Текст из файла (страница 52)
у 2х — 2; у=2х+2. 829. Зх+у+5=0. 830. Касательная У вЂ” Уо=(х — хо) сов хо' нормаль д — Уо = — (х — хо) вес хо 831. Касательная хо(у — Уо) =х — хо! нормаль (У вЂ” Уо)+хо(х — хо)=0. 832. Касательная х+2У 4а; нормаль У=2х — За. ВЗЗ. Касательная у — у,= — ' х,! (За — хо) (х — хо)! ноР. уо (2а — хо)в у, (2а — Хо)б маль у — уо=— (х — хо). 835. Подквсагельные равны соответствен х,' (За — хо) но х/3, 2х/3 и — Зх; поднормали равны соответственна — Зх", — Зхб(2 н хб/2.
хо / хо). 2а 836. д=- — ~х — -)1 у — уо= — -. (х — хо). 837. 2Х вЂ” (/+1=0, 838. 27х— 2а( 2/1 хо — Зд — 79 — — О. 839. 2х †у 1 =О. 840. 4х — 4д — 21 =О. 642. 3,75. 844. х + +25 У=О; х+У=О. 845. (О, 1). 846. у=-х. 848. х — у — Зе в=О. 849. 2/рг5.
850. (!+)'3/2, 1).,857. 2х-д п1.=0. 856. Кслн у=-/(х) — уравнение дан- ной кривой, то уравневнем искомого геометрического л(еста будет у=х/'(х). 1 1 б) Парабола ув=--рх; б) прямая, параллельная осн Ох, у= —; в) кривая 2 )пЬ ' Каппа у)( а~ — хв-(-хо=О; г) окружность хо+у'=а. 859. 1) (рл=О, (рв 18 8 агс16 —; 2) а!с!2--. 860. !) агс(931 2) 45'.
861. 90'. 682. 45' и 90', 31' 15' 304 отибтьг 863. агс123. 884. агс16(2)/2). 865. При нечетном л касательная — + — =2, у нормаль ах — Ьд=ав-Ьв. При четном и касательные — ь — =2, нормали х у а Ь ах ь Ьу=ав — Ьв, 879. Лу=!,461; с)у= 1,4. 880. Лу=0,10!2; г)у=0,1!— ог ' ' Лу 0,9880, 881. 4.
882. — 2. 883. Лу=1,91; ну=1,9; Лу — г(у=0,01; — = Лд 00052. 884. Лу=0,1! ну=0,1025; Лу — г)у= — 0,0025; — у — = — 0,025. ,, Лу-~у Лд 0,1 1,!61 1,! 0,061 0,0526 0,01 0,1! 0601 0,11 0,000601 0,0055 Лу 885 Лх=), Лд= !8, бр=!1, Лд — ду=7, 6= — =0,39 Лу — ф Лн 886. Лу=1,3; лд=!,1; Лу — с(у=0,2; 6= — =О,!5. 887. а) Ну=16, Лу д'/ =5,88'/; б) Ну=8, У дв/ = — 3,03'/; в) г)у=!,б, — У/ 0,62%.
888. в) г)у=4,8 см"-; б) с)у=6,0 см"-; в) ну=9,6 смв. 889. 1) -' —.с(х, 2) —,.; 3) — -..„—; 4) — —; 5) — — ',. 1 О, 125 бг)х 4г)х г)х Лх б) — — „; 7) Их г(х р!и 4 8) — — с(х' Злх ~Г х 2 (а+Ь) )/х дь 0,2 (лг — н) (ш+ гг) г(х 9) — ' г)х; 10) х Зхф'х И) ~(2х+4) (хв — )/х)+ (хв+ 4х+ !) ~2х — — ) ~нх! 2)гхг') 12) — —.' ',; 13) —; 14) 3(1+х — хв)в(1-2х)с(х. бхв г(х 21 а2 (хв — 1)в' (1 — Р)в ' ссмв х ' яп 2х сове х (хв — !) яп х+2х сов х „ 18) — —; 19) Х' (1 — х')в г)х! 2я" г г 1 2 агс!6 «') ',2 р' агсяп х Гг1 — хв 1+хе ) ~) ! — хв 1+хе 2 2 ) 3 Оы °, !п 3+9.св — — =!дх.
890. !) — 0,0050; 2) — 0,0075; 3) 0,0086; 4) 0; 5) 0,00287. 89!. Лд — 0,00025; в!и 30'-!' — 0,50025. 892. 0,00582. 893. — 0,0693. 894. бр Й в!и 2~) — — йр. 895. 0,3466. 896. в!и 60'03'=0,866Ш яп60'18'=0,8686. 1' со- Згс 899, О 905. 900. вгс!8 102=0 795; агс!20 97=0 770. 90!.
О 355. 902. О 52!64. М'. 903. в! 11зиенснсе длины нити: 2ств=--г(/; б) изменение стрелки провеса: зг 3! г(/ =: ов. 904. Погрешность при определении угла по его синусу: Лх- 4! !8хду; погрешность при определении угла по его таигенсу: Лхг ~ ОТВЕТЫ вЂ” зш 2х Аз (где Ьу, Ьз-погрешности, с которымн ланы величины у и зй 1 2 Лхз ! — — точность определения угла по логарифму его тангенса выше, дат созе х ' чем при определении по логарифму его синуса.
905. 0,3%. 3 17 [(!з+2!+1) (!З+2/+6))З ' 2 !п3 чз 3) сИ= — йз; 4) Во = 3!/1а!кз)па18з ми 2з (4и — 3) оп 2ат 2 2)/2из Зп ! 1 ' соз2з' 906. Непрерывна и дифференцируема. 909. /(х) непрерывна всюду, кроме точек х=О и х=2; /'(х) существует н непрерывна всюду, кроме точек л =О, 1, 2, гле она не существует. 910. При х=йн.
где й — произвольное целое число 911. Непрерывна, но недифференцируема. 912. /' (О) =О, 913. Испрс. рывна, но недифференцнруема, 914. Ьу и Ьх — величины разлнчнык порядков малости. 9!5. Непрерывна, ио недифференцнруема. 916. Да; нет. 9!7. а. 9И. азызе. 819. Абсцисса изменяется со скоростью о„= — 2гымийф; орлнната изменяется со скоростью о„= — 2гысозйф. 920. Скорость изменения абсциссы о„=о(!+созф); скорость изменении ординаты о =о зшф (ф — угол р!п2 между осью ординат и полярным радиусом точки). 92!.
— — ~ — 0,000!25р. 5540 922. 2 ед./с в точке (3, 6) и — 2 ед./с в точке (3, — 6). 923. 2 см/с в точке (3, 4) и — 2 см/с в точке ( — 3, 4). 924. В точкак (3, 16/3) и ( — 3. — 16/3]. 925. 4о и 2ао. 926, 2по и 2пго, 927. 4пгзо и Виго. 928.
При х=2лй-+.— я прн х=2пй ч- — ', 929. При х=2пй. 930. В 1/лз раз. 932. а) Да; б) нет. 2л 3 ' 934. 1) хз — !Вх+ОУ=О; 2) уз=4хз(1-хз); 3) уз=(х-1)ч 4) х Агссоз(1 — у) т ) 2У вЂ” Уз; 5) у=, ' . 935. 1) ! =(28+ 1) л; 2) != !1 1+ха 3) /=п/4+пН 4)' /,=1, /з= — 1. 936. — — с(бф. 937. — — (Вф. 938. с! ь ь р и ' о 939. —,. 940. — !. 941.
--. 942.. 943. ЗЫ вЂ” ! ! созф — фа!пф !+ы 22 ' ' ' ' 2 ' ' ! — з!пф — фсозф ' !(2+3! — Ы) 944. —. 945... 946. — 4/3. 947. 0 и !/3. 948 Не сУЩествУет. !В / / (г /з) ' !+!В/' ' ! — 22 949 )/3/б. 950. 1) /=и/2+гк 2) !=л — и; 3) /=и/б+и/3, где и — угол, образованный касательной с осью Ох. 956.
1) Кривые пересекаются в двук 4! ч тачках под углаып ит=-из=асс!В =87'12'; 2) кривые пересекаются а трек 2 точках под углзмн и,=и,=30' и из=0'. 958. Длина касательной Т вЂ” длина нормали /т' —; длина подкасательной Я~ 3 3 з!и — / 2 соз ! 3 2 ус[В--/1; длина поднормали Ю =!у! — !1. 959, ! — 1, ! —. [п15!! н [Ус12! ',.
961 ~ —.! ~, 1 — ~, ) Ус!В! ! н [У!В ! [. 963. х-[-2У— — 4=0; 2х — у-3=0. 964. 4х+2у — 3=0; 2х — 4у-[-1=0. 965. у 2, х=1. 965, 1) 4х.(-ЗУ вЂ” !2а=О; Зх — 4У+ба-0; 2) к+у=пар 2/16; у — «=и)'2/2; ОТВЕТЫ 3) у=1+х!па. 969. р=2асов!. 970. В=ф, а=2ф. 974. 3; 3. 975. 1) 0; 2) О; г'3; — )/3. 977., ' =!50. 978 агс|5- Ыз=агс|2 — ф. 979. р — /г(Г) /((Г) 2 2 /Ь =)/азсжвт+узвьчв!; ф=агс!5( — !8!); таагеис угла между касательной и 2аь полярным радиусом равен , , 2 . 980.
Полярная подкасательиая Ят (Ь'-а') мп 2/ ' |л ар' —; поляряая подиориаль Зм — — —. 983. р/|па. 964. р1па. 965. у 1+аз. рф а »гт:з=,». », ттв»х»» *, юа э~1»х» „, "— "'ать. ' 1' 2х у 989. 4у 1+ —. 990. Ьг1+совзхах. 991. / 4 е»-)-~ х 9ах' ' ' 2 ' ' 2' =д. 992. г. 993. раз|п —. 994. Засов! в!п!а!. 995. а)/1-(-!за!. 996. 4а в|и — в(/. 997. ас(2/Ш.
998. а!. 2 999. а)/сп2/а!. 1ООО. 3/2 м/мии; вектор скорости направлен вертикально вниз. 1001. 10 З/26 — 51 км/ч; вектор скорости параллелен гипотеиуве прямо- угольного треугольника, одни катет которого гориэоиталеи и разек 50 км, а другой вертикален и равен |О км. 1002. 14,63 км/ч. 1003. 40 км/ч.
1004. /(м (в(п а+ ) . 1005. 9,43 м/с. 1006. 2. 1007. — 24х. /7 в|п 2а 2 у'!з — /7з мпза 1008. 207 ЗбО. 1009. 360. 1010. 6(5хв+бхв+ !). 1011. 4 в|и 2х. 1012, 4/е. 1013. — !/2. 1014. 5!/(! — х)'. 1015. б/х. 1016. ал(л+ !)/х»+з. 1017. |ба юп 2ф. 1018.
2. ( — 1)" л!/(!+х)»тг. 1019. 2е* (Зх+2хз). 1020. бх(2хз — 1)/(ха+1)з. 1021, + 2 агс!5 х. 1022. — а /)/ (аз — х )'. 1023. — х/у' (! -|-хз)з. 1+ха ~.э1'* „,, х" (1гр — г агсюп к+х )' ! —.~'"' 1026. — . 1027. а(аз — !) МПХ/Г'(! — а'МизХ)з. )/(! — х-')' 1028. х" ((|и х+ !)з+ !/х). 1029. а»е»», 1030. ( — 1)" е-'. 1031. а» в|п (ах-(-ил/2)+Ь" сов (Ьх+ли/2), 1032, 2"-' мп (2х+(и — !) л/2).
1ОЗЗ. ех (х+и), !034. ( — 1)» (и — 2)!/х" " (л | е2). 1035. ( — !)» а»и~/(ах-(-Ь)»тт. 1036. ( — !)»-'а»(и — 1)!/(ах+Ь)". 1037. ( — !)»-т (- )| х» |па ' л| !" ! 1 !038 '-) а"(.+!)" +(.-) 1 1038. г — 1 " 1 1 1039. ( — !)" и! ~ — —— 2)»эг (х !)»ы |' 1040. 4» 'сов(1»+ил/2). 1054. —;-= — —; 1056. — —,, 1057. — Эгтх/ув.. 1058. — 2(Здв+Эуз+5)/дв.
гну' ' 1059. (3 — з)сзз/(2 — в)'. 1060. — 2авху/(уз — ах)'". д Нх — 1)3+(у — !)') 1061. — д/(! — (х+д))з 1062 -' „, 1 „ 1063, — "=- —" // Ч) . 1064. 1/е. 1065. — р'/) (ув-грз)з. ' в(дз дхз / (г(х/ ОтВеты !069. — —. 1070. — — = — —.. 1071. — —. 2а а'г 1 ЗЬ соя ! 9ЬЧ' ' ' дч а юп»Г " ' а' юпЯ! ' 1 соя» à — 4 я|па Г 1072. —, .
1073. 1)...; 2) О, так как »+д=а, а(! — соя ф)я ' ' 9а'соя'г юп'г ' 1074. 1) 4/Я; 2) — —. 1075. 2 2+ы 1080. 16 м/сз. 1081, з 1-ГЯ' а(соя/ — / юп Г)' ' 2| — 4, а=2. 1082. — пя/18 см/с'. 1084. — 0,0015 м/с'. 1085. — 1/В м/ся, » 1088. 1) (ха — 379) юп х — 40»стих; 2) е" ~, 'С~ я!п(х+Ьи/2); я=а 3) а»хя я|п (ах+ ип/2) + Зим»-гхя юп [ах+ (и — 1) и/2]+ + Зи (и — 1) а" ях юп [ах+ (и — 2) и/2]+ +и(и — 1) (и — 2) ю» я юп [ах+(и — 3) л/2]. 1093 у~т~ (0) О. у~э»ьг~ (0) [! .
3. 5., (2и 1)]Я 1095. у'яя г'(0)=0; у" и (0)=2 ° [2 4 ° 6 °... ° (2и — 2)]я, Збгэ !ОЗЕ. — =„', . 1097. т (т — 1) (т — 2)»т -З г/хя 9»ух 1098. 4 (х+!) (5хэ — 2х — 1) ахэ. 1099. 4 " ° 2 |п 4 (2х' |и 4 — 1) а»Я. 4 |и х — 4 — |пах 1100. аЬ (а' — Ья) я|п 2х бхя/(ая сояя х+Ья я|ля х)я. 1! 01. ' ахя. »Я ]/(1пэ х — 4)Я За яесч ф а / г/хя 1102. — 4 юп 2х Нх'". 1!03, ь (!+5 !Вя р) г(фя, 1104.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
