Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 56
Текст из файла (страница 56)
6 4! (! — 0ахе)ттз 1 1.3 ! ° 3.5 1512. 1 — -- (х — 1)+ —,(х — 1)л — — (х — 1)л+ 2 2а 2 2" 3! где 0<6 < 1. 2л 4! Ь [1+6(х — !)]' 1513*. В силу существованпя третьей производной имеем [(а+Ь)=-[(а)+ Ье )(р +)л! (а)+ ") (а)+ — lм(а+Влл) Сравнивая с выражением в тексте, получаем 2[ 3! -'- [)" (а+ВЬ) — [" (а)]= — У (а+Влй), т.
е) ( ' ) ) ( ) 6[ (а+ ') [ (а) — - ['" (а+Влй). Остается совершить предельный переход при Ь -ь О, ! 3 1514. Функция убывает. (О, 3) — точка перегиба графика. 1515. Функция имеет минимум, равный 1. 1516. Функция имеет л~ннимум, равный 2, 1517. Функция имеет максимулп равный — 1!. 1518. Функция возрастает. (О, 0) — точка перегиба графика. !519. Фуннцня возрастает. (О, 4) — точка пере- гиба графика.
!520. ) (Х) —.. ! — 6 ( — Ц+( — Ы +...; )(1,03) = Ог82, 1521. [(Х)=321+9987(х — 2)+ !648 (х — 2!'+...; [(2 02) =343 4; [(1,97) 289,9. 1522. [(х) = !+60 (х — 1)+2570 (х — !)л+...; /(1,003) — 1,364. 1523, )(х)= — 6+2! (х — 2)+ 50(х — 2)л+..,; ((2,!) =.— 3 4; 1(2 ! ) — 3 36399; 6=0 036; б'ь-0 О!! =1,! 10. !524. 1,65. 1525. 0 78, б< О 01. 1526. 0,342020. 1527. 0,985. 1528. 0,40, б < О,О!. 1529. [АЗ!4.
1530. а)Ьл! Ь(аа. 1531. 36 1532 О 128 1533 Ьг274. 1634. О, 1535. 1. 1538„—, 8]' 2 За !537. 6)х!7(!+Охл) Г ° 1538. алЬл)(Вахт+алуа)зт~. 1539. [сот х]. 1540. 1 3 т' а ! ху ! 1541. ', . 1542. —. 1543. 1/6. (Ьамхил т+алплулпУ-л)са х а сйл Ва ~ и!п — ~ 2 ~ 1547..
1548. т а а, 1549. Р + + ]7'] ]-[Оза а(]~-!рз)а!а 66!» '(6)з;йт) (з (ал Ьа)з(з ! 7)з 125 1550. 1554. (х+ 4)а+ у 2абф'2 [ 2~ 4 1555. (х-2)т+(у — 2)а=2. 1556. (х+2)л+(у-З)а=8. ЗРВ отпсты / и — !Отл / 9 Лл !25 7 г. "/ 8 Лл !25 1558. (к+ г и ' + у — гг)' = -У-а-'. !559. (а/4, а/4). З/ ( 3/ 9 1760. ( „-, —, )п2). 1561. г — 2-!п2,,:-). !562. Прлг !=Ап. !563.
— а. 1568. о=.З. Ь= — 3, с.= !. !567. г, = — х' — О."х'+4 бхт+О,!к'-. )!+и)хл к л)т 1+пектг -!г !568. = =х — ', 9= к" + и — ! ' ' ' п(п — !)х' -'' 1о69. л=(ал+ул) х'а', Ч= — (ал+ул) г/'гул! [аь)е" — (:,Ч)е/в=(ав+Вт)в/в, 1570. $=-к+ "хиигге л, Ч у+Зхк/кул/"; (=+л))е'л+(1 — т!)е/в=2ав/в. 4 ъ Г г/ 9уе+чаи 1571. ===' )/ (Зу+а) Ч= !572. В= †. /л, 9==3/к —,, Ок=:: '(Ч+ *1 . 3 !О / Зг~ '3 ' ' 2 ' 24лЗ~ 2/ ' ,575 (ЗЧ 8),+Вол (Згуп)к, Зал= =О.
!574. 5"'+Ч""=(2а)ьЗв !575 дл лгик,гго. !579, 2р~ ~' — г — 1 . 1580. .. //лбы улг ) 4 рот — ул) Зр 1582'. 1Ва, Пои!чин парнметрическис уравнения эполеты, преобрвзоггсаь ик и н геылг ксордгг)ггнгилг и ивраметру, гологлив к=- — лл, И= — ул, !=/г+:л. 158л*. Восиоиьзовогься зависимостью ыегггду данной эвоиготы и пргграплеггггем радиуса кривизны. 158$. 0,785. 1о85.
0,07). !ВМ. (3,00; '2,46), 1587. ( — 0,773; — 0 84!). 1588, (),ЗВ; 4,99). 1589. (0,57; — 3,62), !599. 0,78. 1591. (2,327; 0,545). К гапае т/ т ь л 1592. !) ) (ке+ П гтх; 2) ~ (ел+2) ьх; 3) ) ип кл/к; о 3 о ! к 4) ) (8 — 2лЧ)г/кг б) ! ()'х — к) ах; 6) ) ()их-!пех)г(к, о 1593. 20 — 4,'и и 20-,'-4,'и; а=4,ггг; а=--. 1594, а=149/600 — 0,248, Вллю 1 Ьп ' пи00)9. 1595. 31,3, 1596, !О . -. 1197., агг=-40 си-'.
1598. 10 - -. 1599. 8. 2 2, 2 3' ' 3 ' '' 3' 1600. 2! . 1601. 2 . !602. !40 си. 160З. — !22,6 и. 160) ° 20 .- см. ! ?,, 5 3' В' 160о. 625 Лии !606. 4 см, и — г тл !657. О) „.„= ~т С Д,.) (/г„ //П /,=7.„ /и =т;. 5) т= $ . (!) В/. г —. о рл и — г т, 1608 в) (л '= ~ 9 (Зг) (/гла !г) !и= Ти /и =7'л~ б) 5= )г л)'(!) г(( г =;г и — ! Т 1609. ()„= ~' /(ы)(/,„ /,.), /„=О, !„=т; 0=~ /(/)/((. и — ! 1610 а) Ак= ~р~ тр(е!)лу(4!)(!!+л-!!) !о=7в !и Тл! г =- о отвнты т, б) А= ) >р(/) 90)>(/. т, 16!!. !500 Кл.
16!2. — 67600 Да>. 1613. 2880 Дж. й — > ь Гб!. а) Р„= ~ а=г(х>ь> — х!), хе=О, х„=-Ь; О) Р= ! ах>/х. >=о о 1615. а) аЬ>/2=-187,5 Н; 6) примак дол кна быть проведена на расстоянии Ьа+> — аеч> />/) 2- 1?,7 см от поверхности. 1616. е-1. 1617.. 1618. 1) 50; а+1 2) 4а; 3) — —; 4] - йЬ"-; 5) а~ а' —. -1-1/! 6) — - ан 7) 3!,3; 8) —.; 9) „," 7аа 7 „Г а ! 4 (а — Ь)а а> ! 1О) ',; !!) 4; !2) 16; 13) О. !619*. —,; >~1,67 !0». За- писать выражение, предел которого ищется, в виде и-й витегральной сума>ы некоторой функмни. 1620.
!и 2. 1621, !и 2. 1622ч. !п а, 1п 3 1,1. См. ла- дами !620 и !621. 1623*. 1) аей — ей+1; 2) а(па — а+1; 3) (1 и Ь)) — (!и'а)а Выражение 4+ах+.,. +при находится при помощи дифференцирования суммы членов геометрической прогрессии, яб и 1624. ) ( х!их;>/х=2 ~ мпх>/х. 1625. !/2. 1626. 64/3. 1627. 8/5. 1630. 8< о о <1<98 !63!. 3<1<5 1632. и<1<26 1633.
20/ч9<1 -1 1634. т/9< еа — 1 еа — ! <1 <2и/3. 1635., < / < —. 1636. 1) Первый; 2) второй. е' — ! е> 1637. !) Первый; 2) второй; 3) первый; 4) второй. 1640. 0,85 -. 1 < 0,90. 1641. а) 1<l < Р'2 — 1,414; 0) ! <1< — !,207; в) 1<1< и'б>5 >и !+) 2 2 ~ !,095, 1642. 9>р — —, ' +Ь; —, !643.
у, = - (х,'+х,х,+х>). Если /> (х,+х>) х>+х> а х>х>х О, то в одной точке; если х,<0 и хх)0, то при соблюдении нера- венств — х,/2 . х ... — 2х, в двух тачках, в противном счучае — в одной. 1644. 24,5. 1645. па/4. 1646. О. 1647. — Л= 1 и. 1648.
11 А. 1649. 1558 Вт. 2 3 ха хй — а' х> — хь 2 1650. 1) —; 2) —; 3),, 165П а=-- Р. !652. А=100х-'-25ае Лж, ! !ах Еа — Е> а — путь в метрах. 1653. А= — - ~ — /а+а()/х+()е/), где а= /7 (3 г, — 1> !654. >?=се/+ -,— /а+ — /а. 1655. а5= !О, 35 = 10,10033". 3 1656. а5= !. 1657. Лх 55 >/3 с> 6 1 92,25 64 28.25 0,442 О,! 6,644 6,4 0,244 0,0382 0,01 0,6424 0,64 0,0024 0,003?6 й 1658. 1/3. !659. 0; Гг2/2; 1. 1660.
- — 3! /(х) >(х= — /(х). 1661. — ! -5/4. >". ах 3 мп 2х 1662. — '. 1663. 1) х; 2) — 4х!их. 1664*. 2 !пейх — )пах. Представить ннтех ях и ях грал ) !>тех>/х в вийе суммы интегралов ) 1пях>/х+) )пхх>/х, где а>О, х х й 3!8 Ответы К главе У! тки/у'+ ' — - )/ха+С. 1677. +С. 1678.
С вЂ” !/х. 3 ' ' и+т О 4343 1Ох+С 1680 +С. 1681 )/к+С. !+!пи )г/уг/и+С. !683. 4,!х~'"+С. 1684. и — иг+С, --хг)гх+к+С. 1686. С вЂ”, — ак+!п',х~. 3. Ух С вЂ” !Ох "у+ !5»'а — 3,62х' ". 1658. г — 2 !и , 'г ( — -~-+С, ! 2ха — !2х — б +с. Зв- — !8 а — 9 з - б ч,— т/"ха + ху х+ х)/хг.+ хг г х+С 2 7 Б ')3 Оч —, 4» ! — у'х! — — )/ха+С. 1692. — - агсяп х+С. ' чуЗ 2 1,5х ! Зк — — '+С. 1694. — (!Бк)-к)-(-С. 1695.
С вЂ” с!Бк — !Бк. 1п 1,5 ' ' 2 !Бк — х+С. 1697. С вЂ” с!Бх — х. 1698. к — яп к+С. агс!Бх — — +С. 1700, !и ! х,'+2 агс!Ба+С. 1701. !5 к+С. ! —. х+ С 1703. япа хг2+ С. 1704. !84 х/4+ С. 2 2)' 1+ ха+С. 1706. (х+ !)"/!б+С. 1707. С— 4 8 (2х — 3)т +С. 1709.
С вЂ” --(8 — Зк)' / ° Ь(1 — с) ' ' ' ЗЗ С вЂ” )/(8 — 2х)а/3. 171!. — тги+ Ьх+ С. Зтч Ь 3 " ' 3 — )/(ха+!)а+С. 1713. С вЂ” --)/(!-хг)а. !7!4. — тп (ка-(-2)а+(41 )'ха+1+С, 17!Б. --У'4+х(+С. 1717. — тх(х'+!)у+С. 2 5 ' ' 8 )' Зка — 5х+б+С. 17!9. — яп'х+С. 1720. аесх+(.. ! 4 3!г атх+С. !722. С вЂ” — сок!к. 1723. — )' (!их)а+С. 5 ' ' 3 1676 1679 1682 1685 1687 1689 1690 1691 1693 1699 1702 1705 1708 1710 1712 1715 1?!В 1721 1665. у'= — — ', !666. !) -.
=с!8/; 2) — = — !г. 1667. — 2. 1668. Минимум у ' ' Зк ' дх при х=О. /(0)=0. 1669. !. 1670. у„,„,=б,'б прп х=!, у„па=2/3 прп х=-2. Точка перегпба графика (3/2, 3/4). 1672. !) -; 2) — — -; 3) 52; 4) 4 —; 4 ' 32' ' б ' 5) 45 ' б) О'08! 7) 2 ) 2' 8) Ь 3 ' 9) 3 ( ! — „= 1; !О) '(",г; 2 — — ()/г," — $Ггч)+г,— га.
1673. !) 2; 2) О; 3) еа — 1; 4) 1; 5) и/4; б) п(6. 1674. О. 1675. ! -)' 3; — 1. ОТВЕТЫ 819 1724. (агс!8 х)а/3+ С. 1725. С вЂ”,, 1726 2 У1+ !8 х +С. 2 (а го вп х)'-" 1727. вп3«+С. 1728. !6(!+!пх)+С. 1729 — во 3«+С. 1 3 ! ! 1730. к соа сг — — е!п 2«+ С. 1731. С вЂ” — соа (2х — 3). 2 2 1 1732. С вЂ”.— вп(1 — 2х).
2 1 l и! 1 1733, — !6(2к — --]+С или — (!64« — аес4«)+С. 4] 2 1734, С-сои(е"). 1735. !п(!+х)+С. 1736. !п | агсвпх |+С. 1737. !п (ха — Зк+8)+С. 1738. —, !п |2х — ! 1+С. 1739. — !п |сх+т|+($. ! 1 !740. — !п(хе+!)+С. 1741. - - !п|ха+ ! |+С. 1742. !п(ех+!)+С. ! ! 2 3 1743. — !п (ее«+ па) + С. $744. С вЂ” |п ! сса х !. 1745. )п,' вп х |+ С. 1746. С вЂ” !п |сох 3«!. 1747. -- |п,' вп (2х ";1),+С. 1 1 1748. С вЂ” )п (! + сгва х).
1749. (п | ! п х |+ С. !ив+1 х 1750. — + С, если т са — 1, и !п ! !о х !+ С, если т = — 1. т+! 1751. е""х+С. 1752 еппг+С 1753 — +С 1754 С-— 3!па !па' Ег-11 1755. С вЂ” —. 1756. 0,5е" +С. 1757« С вЂ” — е " . !758. асса!п --+(). 3 ' ' ' ' 3 ' 3 ! . ! х $759. —. агсвпБх+С. 1760. — агс!63х+С. 1761. агсвп — +С. 5 3 ' ' ' 2 1 У2 ! Зх 1762. — агс!8 — х+С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
