Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 59
Текст из файла (страница 59)
ахз(пя япа а' 1 „з 3 „1 „! 2203., кз!и (1+ха) — -хз+ — (п (кз — х+ 1) —, -(и (»+ 1) + 2 ' 4 4 2 -(- — — агс18 +С. г'3 2х — 1 2 ')3 отппты ! + е» )/! + е»+ еэг 2221. агс!9(е» вЂ” е»)+С. 2222. 1п ' ' +С. 1 — е»+)/ 1 + ег+ еэ» 2223. х — — . агс!6 2 1+2 !бх +С. к~3 )г 3 35 1 . 7 . 1, 1 2224. — -к — --ап2к+ — — яп4х+ — в(пэ2х+ — япбх+С.
128 4 128 24 1024 2225. — хв+ — !п (1+ха)+ э +С. 1 3 э 1 ' 49(х — 5) 49(к+2) 343 (х+2~ 2227, С вЂ” — — агс16 (У2 с16 2х) . 2228. х 18 — + С. 2 ' ' 2 2229 . —. агссов" )-С. (Разделить числитель и знаненвтель на хэ ы ) 2 хэ+1 прггэгенггть подстановку х+ — = к.) 2230. е" (к — вес к)+С. !и» к К главе т/П 2231.
2 ()г 8 — 1)/3. 2232. 7/72. 2233, — 5 (уЧ6 — 1). 2234. 7 — . 2235. — сов 9в. 2236. 12. 2237. 0,2 (е — 1)э. 2238. 3 1и —. 2239. 1/4. Т и е а-а' 2240. и/2. 2241. 1+ — 1бе. 2242. е — )ге. 2243. —. 2244. 2. 2246. 4/3. 2 ' ' 'бп' 2248. 1п †. 2247. 0,2 1п — -. 2248. агс!б †. 2249. — (п — . 2250, и/б. 3 4 1 1 8 2' ' ' 3' 7' 2 5' 2251.
2. 2252. 2/7. 2253. 4/3. 2254. — . 2255. — 0,063 ... 2256. -- + -- — а+ н ээь 'в~э 2 и '2вз ' ' "' 3 4 + — — с(б а. 2257, 1. 2258. — )' 2/3. 2259. 1 — 2/е. 2260. и/2 — 1. 3 22И. + — !п — . 2262. пэ - бп. 2263. 2 — †. 2264. 1. и (9 — 4)ГЗ) 1 3 3 Зб 2 2 ' 4!п2' 2265...
2268. —. 2267. —. 2268. б — 2е. 14! оэ )/а пов еп — 2 20 ' ' 4' ' 5 8 7 5 3 1 и 10 8 б 4 2 256 )15! 8 ° 642 2 ' ' )11975 3 693' и — 1 гп — 1 2270. / ,„ = — / , „ в= — / э „. Если и нечетное, то вьв= и+и ээ, — = п4 и вэ-, ~вг, в— ( — !)( — 3) ° ... 4 2 (аз+и) (вэ+л — 2) ... (ге+3) (гл+1) ' еслн гл нечетное, то (гп — 1) (аг — 3) - . ° 4 . 2 (пг+ и) (из+ и — 2) ...
(и -1-3) (и -1-1) ! если пг четное, и четное, то (а — !)(п — 3) ... ° 3 ° 1 (пг — 1)(вэ — 3) ... 3.1 и (гл+и) (нз+п — 2) (гл+л — 4) ° ... ° 4 ° 2 2 ' 227!. ( — !) ф — —,' Я+,и '„, +...+!'1+1Д. ОТВЕТЫ 2272. 11/48+5л/64. 2274«. р!4!/(р+4+1)!. Положить х=з!пег и нсполь вовать рсоультат задача 2270.
2275. 7+21п2. 2276. 2 — л/2. 2277. 32/3. 9278. 5/3-2 1и 2. 2279. 1п, 2280, 8+ — л. 2281". — л. Пола. е -1- )/ ! -1- ез 3)'3 5 1+)/2 2 ' ' 16 а/г гая х=2г, преобразуем данный интеграл в 2 ~ визг«(г. 2282'. 8/35. Поло« жить х=г/2. 2283. л/32. 2284. )/ 2 - †. + )п = . 2286. 8/15. 2286. )« 3 — л/3. 2 2+)«3 г' 3 1+)' 2 2287. — ~л + — 8). 2288. Зл/16. 2289.
л/16. 1 / 7)/3 ' 32~" 2 2290. — +!и(2 — )/3) 2291. л/4. 2292. )/3/24. 2293. л/3. уз 2 2294. згс19 —. 2295, )«6/27+и)«2/48. 2296. 20/9. 1 2' 2297. 2 1и — -0,365. 2298. 2/л; 1/2, 2299. 2+!п —,. 2300. Прн а=е, 6 2 5 ' ' ' ' ' ' ег+1' 2301 2 1п 5 2302 2/45 2303 8 )п 3 15 1и 2+ 8 2304 1йх ч(5+ 7 ф 125) 1 8 13 5 2303. л/6. 2306.
аз()«"2 — 1п (гг2+!)). 2307. ггЗ вЂ” — !и (2+)ГЗ), 2308. 848/105. 2ЗОН. 4 — и, 2В!О. 1п 7+2)г7 л 1 д ' ' 4 2 , 23!1. 2312. — агс18 — =. 23!3. — 1г/ —. 2314. — — — Зля+24. 2 1 л /б лч '1/б 1/б' 2 Р 7' '16 2315. — — 2)' 3. 2316. — — =. 2317. — 1п ~ — ~.
2319. х=2. 1бл — 19 5 1 ! а 3 ' ' 27 6)/б' ' аз — Ьз (Ь 9320. х=!п 4. 2322". Использовать соотношения 4 — хз ) 4 — хз — хз-- 4 — 2х', справедливые ирн 0:а х ( 1. 2323'. Воспользоваться неравенствами )' 1 — х«- ()~Т вЂ” хек~1, где — 1~к~! и и~1. 2324. 1,098 (1~1,!10, 2325«. Воспользоваться для оцснкн сннэу неравенством 1+х«~(1+хз)з, а для оценки сверку — неравенством Каши — Буняковского.
2326. 1(1) ~1,66 — наибольшее значение, 1( — 1/2) — — О,!1 — наименьшее эначенне. 2327. Мнянмум прн х=1 (у= — 17/12), тачки перегиба (2, — 4/3) я (4/3, — 112/81). 2332". а) Заменить переменную интегрирования по формуле 1= — х, разбить отрезок ( — а, — х) на два отрезка: ( — а, а) и (а, — х), и учесть, что интеграл от нечетной функцян на отрезке ( — а, а) ранен нулю. б) Нет, если а~О; да, есле а=О. 2333«. Положить 1=1/г. 2338.
Каждый нэ ннтегралов равен л/4. 2339'. Положнть х=п — г. Интеграл равен л'/4. 2340'. Разбить отрезок (а, а+Т) на отрезки (а, 0), (О, Т) и (Т, а+Т), затем, пользуясь свойством /(х)=/(х+Т), е а+ Т показать, что ~/(х) «/х= ~ /(х) «/х, 2341'. Требуеьюе для доказательства к+ Т равенство эквивалентно равенству ) /(г)«та=О, Убедиться, что интеграл Т в левой части этого равенства не зависят от х, и затем положнть х=— 2' 2342. " ' . 2343. Подстановка г !б (х/2) кеззконна, потому что 2 4 6 °... 2л 1 ° 3 ° б °...
° (2н+ 1) ' ОТВЕТЫ функция 16 (х/2) прн а=л разрывна. 2344'. Для оценки /„использовать, что /„ убывает при увеличении л. 2346«. Заменить переменную интегрированна х+с по формуле з= — н учесть свойство интеграла от четной функции, 2 2346*. Заменить переменную ннтегрирования по формуле з=йосзхз н прнменить затем правила Лопнталя. 2347. По правилу прямоугольников л«ч«2,904 (с недостатком) н л ~3,305 (с избытком). По формуле трапеций и ч«3,104. По формуле Симпсона л ~3,127. 2348. По правилу прямоугольников п-«3,04 (с недостатком) н зс ~3,24 (с избытком), По формуле трапеций и «с« 3,140. По формуле Симпсона н — 3,1416 (верны все знаки).
2349. 1п 10ь«2,31, М 1 = — ~ 0,433. 2350. «м 0,84, 235!. 1,09. 2352. «ы 2,59. 2353, «ы 0,950. !п 1О 2354. «««1,53. 2355. ~0,985. 2356. «= 0,957. 2357. ~239 мз (по формуле Снм псона). 2358. ~5,7 мз (по формуле Симпсона). 2359. ы!950 ммз. 2360. ~!0,9. 236!. «~36,2. 2362. «м98,2.
2363. «««9,2, 2364. ~569 ммз. 2365. м«138 мьсз. 2366. 1/3, 2367. Расходятся. 2368. 1/о. 2369. Расходится. 2370. л. 2371. Раа ходитсЯ. 2372. 1 — !п2. 2373. 1/2. 2374. я/4, 2375. 1п, . 2376. 1/2, У'о'+ !+1 2377. 1/2. 2378. Расходится, 2379. 2. 2380. 1/2. 2381. †,, если о )О! о +аз' расходится, если а ~ О. 2382. — + — !п 2, 2383. = , 2384. н/2, 2385, 1/2 + л 1 2л 4 2 ' Зу«3 +л/4. 2386. Сходится. 2387.
Расходнтся. 2388. Сходятся. 2389. Расходятся, 2390. Сходнтся, 2391. Расходится, 2392. Расходится. 2393. Сходятся. 2394. и/2. 2395. Расходится. 2396. 8/3, 2397. †!/4. 2398. !, 2399. Расходится. 2400. 2, 2401. и, 2402. н (а +Ь)/2„ 2403. ЗЗл/2, 2404. †' . 2405, н/т«З. 2406. 14 — . 3)«3 7 2407.
!О/7, 2408. Расходится. 2409. 6 — — !и 3. 2410. — 2/е. 241!. Расходнтсн, 9 2 2412. Сходится. 2413. Расходится. 2414. Сходятся. 2415. Сходится. 2416. Рас. ходятся, 2417. Сходится. 24!8. нет, 24!9. при л ( — 1 сходится, прн й~ — 1 расходятся. 2420. 1) Прн А ) ! сходится, прн й ( ! расходится. 1 2) /=, если А ~ 1; расходится, если 3~1. 2421. Прн й(! сходится, при А)1 расходится. 2422. Раскоднтся прн любом й.
2423. Сходится прн совместном выполненнн неравенств А) — 1 н !)1+1. 2424. Прн гл сЗ сходится, при ос ~3 расходится. 2425. При 3<1 сходится, прн йгв1 расходится, 2426. л, 2427«. 5п/3. Положить х=сосф н проинтегрировать по частям. 4 3+21 3 4 2 2429. "' —. 2430. л1, 2431. л1/2, 2432. ( — Цел!. 1 ° 3 5 ° ... ° (2л — 3) л 2 ° 4 ° 5 °...
(2л — 2) 2лз" с ' (га†!)(лт — 3) ... ° 3 1 я (ел в 1)(лс — 3) ° ... ° 4 ° 2 гл(гл — 2) ....4 2 2 ' гл(гл — 2) ° ... 3 ° ! 2л(2л — 2) ° ... ° 4 2 жить х=зспю. 2434«. 2 "' . Положить х=мпзф, я — а 2435 — (/ 1 прн м — л) з(п сс ОТВЕТЫ 2436'. Лля доказательства равенства интегралов положить в одном нз них х=1/г, Затем вычислить их сумму, воспользовавшись тождеством !+ха 1 /' 1 1 -+ !+а~ 2 'т!+хт+х)'2 !+ха — хг 2) + ет 2437ь. Представить интеграл в виде суммы двух интегралов: Ь ! +со 1 Гл ; во втором интеграле положить х= —.
2438. О, 2439. — 1а/ о ! 9'29 а' 2440. г~л ° 2441'. 1~л/4. Интегрировать по частям. 2442, "„' —,. 2443. л/2. 2444. л/2, если а>0; О, есчи 1 3 5 ... (2л — !))Гл а=О; — и/2, если а -О. 2445. л/2, если а ) Ь; л/4, если а=Ь; О, если а (Ь. 2446" л/2. 1.!нтегрироаать по частям. 2447'. л/4.
Представить числя. тель в виде разности синусов кратных дуг. 2448'. л/4. Воспользоваться ме- тодамв решения задач 2446 и 2447, и!т — х 2449". Полагая д=', — г, приводим гр(х) к виду 4(х)= $ 1пай!гс/г. 2 л/3 г г В соответствии с формулой з1п г=2 ып. соз — разбиваем ингсграл на три, 2 2 нз которых один находам непосредственно Даа других интеграла прп помощи замены переменной сводится к интегралам типа первоначального; !2/ л Л лт л 1п2.
2450. —, !п2. 2451. — - 1п2. 2452'. --1п2. Интегрировать по 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' 2 частям. 2453'., 1п2. Заиенон переменной сводится к предыдущей задаче, 24о4. — '. !из. 2 К главе 4/Ш 2455. !б,'3. 2458. 9,'4. 2457. !брз/3. 2458. !/3. 2459. ;"- ) б.
2460, 2 — , 32 г- 1 2461. 2л + , и бл — , . 2462. -(4л+ 4 3) и — (ба в фгз). Ь'с с+ Ь 2461, — — — аЬ ! п — = Ь (гЬ вЂ” а 1п (е+)' ьг — 1 )1, где е — зксцентриситет. а и к 2455. ае ' — — !п()'3+)'2)1: а'[ — — — 1п (Г 3+) 2)1 и ~=,-'+ ~,-'!л (Ь'з+)'2)~. ) 2 ° Г2 2166. 5, = 5а = л —,," ! и 3 — 2 агс з!п ~ — — ~ 0,46; 5, = 2 (л — 5с).
р/ з 2467. л/2 — !/3. 2468. 1/12. 2469. 1/!2. ши — л! !ш — л! 1яс-л 2470. ~ —. ~; 4 ~ - —,~, если т и л оба четны; 21 — ~, если ис и ) ос+и л оба начес!на; ) — ~, если и! и л разной четности. ,щ л 1 247!. а) 3/14; б) 73--. 2472. 1 (фигура состоит из двук частей, площади которых равны между собой), 2473. 8/!5. 2474. Зл/4, 2475. 4/3. 2476. лат/8 ответы 2477. В ~2 1+.— у'3 — агс(51 !+ р'3). 2478.
е+1/е-2. 2479. 4. 2480. 3(ее — 4)/е. 248!. ! Ч/ее — 2. 2482. а) Ь (!и Ь вЂ” 1) — а(!и а — 1); б) Ь вЂ” а. 2463. 3-е. 5' 3 2484, . 2485. 2 — рг2, 2488. --+1и -- . 2487. — У2. 2488. Ггб — !. 2489, л/4. 2490. Зла'. 249!. Злат/8. 2492. Вла', 2493. 1) —,(л+ !) (и+2); 2) —,(л — !) (л — 2). ллйт, лйе 2494. 1) ' АЗ' 2) 8/15 2495. 1) 4лтат/3; 2) 76аеле/3 5 2496. лае/4, 2497. лат/4. 2498. 1Вла'. 24Я9. аа (4 — л)/3. 2500, 37л/6 — 5 и'3. Б.ч+ РЗ )/3 2501.
51)~Л/16. 2502. ат. 2505*. ае ' „" .для построения линни следует 32 рассматрннать изменение р от 0 до Зл, 2506. л/4. 2507. аэ, 2508. ае(1+л/6 — ) 3/2). 2509. — (а'+Ь'). 25!О. а"-. 25!1. лУ2, 25!2. л, 2 2513, 2. 25!4, Злат. 25ПО 4л. 25!Бе. !) г ч,'2: 2) )гт. Воспольэоааться тем, что ] е * ах= )Гл/2 (пнтеграл Пуассона). 2517. лат/2, 2518. 2 — л/2 и 2+те/2, о Ь 2519. пыл —, а* +17 т-1- и 2520. У ) у 1 р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
