Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 63
Текст из файла (страница 63)
3152. —, 3153. з х ' 1 — ху' (х+у)' к(д — 1)' 315$. —. 3155. — —. 3157. — ~ = —, — ~ = — —. 3158. — 1, ду! 4 дд 4 дх!к=з 3 дх х=б 3 »=2 »-з 3161.-- дг сз.з дг с'у ' дх аЪ ' ду Ьзг' 3152. — =— дг 2 — х дг 2у 'дх г+1' дд г+1' дг уг дг ' дх ху+гз' ду ху+гз ' 3164.— дг г дг г ' д«х(г — !)' дд д(г — 1) ' 3!67 дг з!п2«дх+з!п2дз(у 3!68 г хз — у пп2г ' 4 3169. г=, .
3170. г4 Загс!5 —. 3171. дг= — —— Зху — х' у х Ых у с!д 3172. дг= — + —. 3173. дг — уг(хдх — дду), хдх ддд а а" 3174. 2 (х з(«+у ду). 3175. 2 (х ух+ у йу), 3176. дг= е-и ((о соз о — и з)п о) Нх+ (и соз о+ о зйз о) Ну). Рг 2хз+ дз д'г зз+ 2дз дзг ку 3165. —— дхз )'«»+уз дуз Ухе+уз, дхду )'хе+уз 3186.- дзг х дзг хз+ (хз — уз) У хз+ уз дхз (х'+уз)з! дуз (хе+уз)з~~(х+Р.з'+у')з ' дзг и дхд (хе+уз)з!з дзг 2х дзг 2у дзг ' дхз (!+хе)з ' ду' (!+Уз)з' деду 31ВВ. — — „=2азсо»2 (ах+Ьу), —,=2Ьз со» 2 (ах+Ьу), — = 2аЬ со» 2 (ах+ Ьу) оиг деду 3!39 дг езе -)-г», х(1-(-хе»)е" +" — =(!+хе » дзг .е д'г дну дзг 4 д'"г 4х дзг 2 (х — У) дзг !и х!и у+1 !з х !ар дх ду «у о =езт).
ответы бзг хуз дзг хзу двг 1 3192.— дхз ф'(! — хзуз)з ду' )" (! — хуз)' дх ду 3/ (1-хзуз)з 3193., ( ) " . 3194. 2уз (2+хУз) е'"*. ' У'(хе+уз+г — 2 )з' 3195... 3!90. — х(2 всо ху+ху сов ху) 4х (Зу' — хз) (хе+уз)з 3197. (хздзгз+Зхуг+ !) екез, 3193. лзл (л — !) (л-2) р (р — 1) хзз-зук-'гк-з, 3204. а=-3, О 6! 6) дк ду д) де) 67' ду дк ду дув (д х — з(у)з/(х — у)в, 3219.
— 2удхз+4 (у — х) Ихду+2кдуз, 3220.— 3221. (Зх' — у') Нхз+зху дх Ну+(Здз-хз) дуз (хз+уз)з 3222. 2 в!и 2у Нх ду+ 2х сов 2у Нуз. 3223. е"Х [(у дх+х е(у)в+2 Нхду), 3224. 2 (г йх ду+у дк с(к+ х,(у йг). 3223. — соз (2к+ у) (2 йх+ау)з; (2 Их+ау)з; О. 3229. — в!и (к-).У-(-г) (дх-).ду.'(-Уг)з, 3223. зг (хуз йхв+ (хзуз+ 2хугз — гз) Их Иу+ хзу дуз) (гз — ху)з 3229, — 31,5 с(хе+205 Нх ду — 305 пуз, ЗУЗО.
~ У+у. ЗУЗ1. у' — 5У'+у, д! 3232. — + ау. 3233. у-х'. 3234. — †,, 3235. — — . 3235. — =р, азу х"' о" +2о ир атз ' ' ' к1 ' К ' '66=' 3237 'Р '-РР +Р' 3233 (р з ! Уз)згз ' до дзи ! д'и 1 ди 3239. — + — — + —— дрз редев р др ' ! дзиз 3240. оз" (р) + -- оз' (р) +)ио (р), 3241. — 4 —,, -)-2. р диз К главе Х! 3242.
хе+ 2ув — ху+ й (Зхз — у) + у (буз — х) + Зхйз — /й+ буйз -)-аз+ 294, 3243. Ьг=!53з — бйу+кз+Нз. 3244, Ьг= — 23+79 — 43з-(-433+2йв — 2йз — /И.(- «Кз ). Ув азу ) Ззаз+ даз. )(1 02. 2 ОЗ) з 1 зз 2 4 2 4 3245, Акз+ Вуз+ И'+ Рку+ Еу+ Егк+ +!кАк+Ру+Ез) 3+(2ВУ+Рх+ Ег) й+(2Сг ) Еу ( Ех) ! ( + Авз+Вгзз+С!з+РМ+ЕЫ+Яд 352 ответы 3246. г = . + , . ! + (у ) 1 !Г пг 1 г п1 2 2! 4~ 4 (г* 4/ (" 4)(У вЂ” 4)+(У 4-) ~— — 1~ з$соз ц'.г — -«) +Зз!п2созц~» ' „" + 4) ,г з +ЗСОзкг!ПГГГХ вЂ” — ~У вЂ” — +ми йсоаз) у 324 =!+(-!)+(-1)(у-!)+1-(. 1)-(у 1)+..г г, 11021 3248.
от [а!ну -,'-!г дну+усову+ - (!газ!ну ) 23йсозд — Ьт з!ну) + 1 + 6 (~™ Учс3)гзйсозу — Зййз з!пд — Ьз сов у)1+ г, 3249. д+ку 1- кзу . Уз.( ! „1 2 6 3"лй' У+ бг (-кд Уг)+,, (Зх'у — Зхуз+2ул) 1, 1 3251, 1+(х+ ) —, ...,. тб ' — гу""+ к — у — — (г' — уз) .1-.- — (кз — уз) — ... +, (х'.лгм услтг) 27!-1- ! х — у Ззмсгпть, что агс!» ', ' = агс!6 к — агс!6 у.
1+ ху -"- (2,—:)~,~',"-„')-Х ф —:." 3254., ' . 3255. " ( — 1)л ~у (т--л и — кл,» цт (кз( уг)ел+к г! (2л+ 1)! л л=.о ъл клг вт гтзл ит ъ'~ хмузл — (-!)"-' — = 7,~ ( — !)" — ' т1 Х,'~ (2л!! ~~ з'л т! (2л)1 ' м=з л =Э а~=ел=е ! 9 3257. г= !+(х — 1)+ (у — 1) — — (к — 1) ((/ — 1) + — (у — 1)з+ " 4 8 64 3259.
(О, 0), ( — 5!3, 0), ( — 1, 2), ( — 1, — 2). 3260. (1)2, — 1). 3261. (О, 0), (О, а), (а, О), (л,'3, лГЗ). 3262. (О, 0) (О, 2Ь), (а, Ь), (2а, О), (2а, 2Ь). 3263. (н)0, и/6!. 3264, (Ь)а, с/а). 3265. ( — 2гЗ, — 2/3). 3266. (2, 1, 7). 3267, (6, 4, 1О). 3266. Л и С вЂ” мзгслмумы,  — минимум; в окрестности )) поверхность имеез вид седла, вдоль ЕГ функция сохраняет постоянное значение. 3269. ( — 2, 0), (!617, 01, каждая точка будет стационарной для одной из ветвей функции. 3270. (1, 1), ( — 1, — 1). 3271*. (О, 0). Чтобы убедиться, что найденная тогка есть точил максимулга, достаточно прелсгазить функцию в аиде г= 10— — (т — о)'-' — 2хз — у-', 3272.
(2, — 2). 3273. ( — 1, 1). 3277. В точке (6, 4) — мак- симум. 3276, В точке (О, 0) нет экстремуьш. В точке (1, !) — минимум. 3279. Наибольшие и наилиеньшпе значения лежат на границе области; нзи. большее значение г=4 в точках (2, О) и ( — 2. 0); напменьшсе значенИЕ г= — 4 в точках (О, 2) и (О, — 2), Стационарная точка (О, О) не дает зкстремума. 5280. Наибольшее значение г=17 в точке (1, 2); наименьшее значение г=- — 3 в точке (1, О); стационарная точка ( — 4, 6) лежат вне заданной области. 3281. Наибольшее аначение г=4 в стзционаРиой точке (2г 1) .(зта точка ОТВЕТЫ является, таким образом, точкой ыакснмума).
Наименьшее значение г= — 64 в точке (4, 2)- на границ . 3282. Найменьшее значение функини э = 0 в точке (О, О». Наибольшее значение г=З/е в точкак (О, +-1». 3283. г„,„г 3 РгЗ/2 в тачке (и/3, и/3) (максимУм», г„м,„=б в точке (О, О) (нэ гРаннце), 3284. Все спагаемые равны ьгежду собой. 3285. Все мно кители равны между н ~ хг собой, 3286. (В/5, !6/5). 3287. — - -,'- . + — =3. 3288. х= — ', У *= а ' Ь с ' ' л Х уг = 3289. (3„)' 39, О); (3, — )' 39, 0).
3290. Куб. 329!. В точке (1, 1) л минимум, г=2. 3292. (а, а) или ( — а, — а), г=аэ (максимум), (а, — а) или ( — а, а), г= — аь (мннимум). 3293. ( — а)' 2, — ау' 2), г — Зг2/а (минимум), (а)'2, а)/2), г=)/2/а (максимум). 3294. Стационарные точки х ! 6 1 а = — -- Агс16 —, д= — Агс!6 —. 3295, (3, 3, 3), и=9 (минимум).
3298. Две иэ переменных равны каждая 2, трезья равна ! (иинилгум, равный 4); две из переменных равны каждая 4/3, третья равна 7/3 (максимулг, равный 112/27), х';+х'+...+х„' 3297н, Исследовать на минимУм фУнкцию " пРи х,+ха+... ХЬг /Х '!' ...
+х,= А, Вообще справедливо соотношение — ' ~! — 1, если 6 ьв ! и айс Ьс ас 3299. и„ж, = при х= ьс+са+аь р ьс+са-1-аь ' " ьс-1-ас-1-аь ' е= . 3300. и„ма=1, ин,„„= — 1/2. 330!. (21/!3, 2, 63/26), аЬ ос+ ос+ аЬ ' 3302. (3. — 1, 1). 3303. а) ( — 2. О, 0); б) (2, О, 0). 3304. Куб, 3305.
Куб. ИаЬс 3306. †.. 3307. Если »7 †ради основания палатки, Н-высота цилннд- 3)/3 рнчсской части, Ь вЂ” высота конической верхушки, то должнм нлгеть место следующие соотношения; Н=Ь рг5/2, //=Ь/2. ЗЗОВ. Если ! — бокован сторона трапецни, Ь вЂ” основание и а — угол наклона боковой стороны, то должны иметь место следующие соотношения: !=6=2 у А/т'Зэ, и ц/3, где А — дан- ная плошадь сечения. Прн этом омываемэн поверхность и=2 у'3.'ггАма — 2,632)АА. 3309. Куб.
3310. Стороны основания равны каждая 2а+т 2н, 1, высота вдвое меньше: се+. 'Гх2п, ЗЗ!1. аэ (куб). 3312. Наименьшая площадь равна 3 ргЗ аЬ. 33!3, (4/)г5. 3/г~5) и ( — 4/Ь"5, — 3/и 5). ЗЗ!4. ( — 5/9, — 1/9). 3310. (3, 5). 3316. гана==2. ЗЗ!7. Стороны треугольника 3 25, и'28 н 2)/8. 3318. Высо~а Н/З„стороны основания 2а Ь'2/3 и 2Ь)'2/3, обьем у=ВаЬН/27. 3319. Теграздр. 3320. Нормаль к эллипсу в искомой точке должна быть пер.
пенднкулярна к линии, соединвощей данные точки, 3321. Нормаль провести в точке с коордияатамн. (геаЗга/(а+Ь), бхатг'Ь/(а+Ь)). 3322. (9, !/8, 3/8); ( — 9, — !/8, — 3/8). 3323. 2)/2. 3324. х+и=2; у=х. 3325. х-у+а=О! х+у-За=О. 3326. э+29 — 1=0; 2х-у — 2 — --О, 3327, х-у-)-2=.0; з;-!.у — 2=0. 3328. (О, О).
3329, (О, О), 3330. 10, 0). 3331. (а, О), 3332. (О, а), (О, — о), (а, О), ( — а, 0). 3333. (2, О), ( — 2, О). 3734. (О, 3), ( — 3, О), (-6. 3). 3335, (О, О)-диойная точка. 3336. (О, 0)-изолированная точка. 8337. (О, 0)— 12 Г. Н. Берман ответы точка прекращения. 3338. Ьк, я=0, 1, 2, ...,— точки возврата. 3339. (а, 0)— точка возврата. 3340. (О, О). 334!. х=- — /'(а), у=/(а) — а/' (а); у=хагсз1п х+ + тг! — хз. 3342. 16уч+27х4=0.
3343. уз=4ах, 3344. у=х/2 н и= — х/2. 3345. у= — хз/4. 3346. у=О и 1бу=хч. 3347. у=х н у=х — 4/27. Первая— 2 геометрическое место особых точек, пторав — огибающая. 3348. ха+ —.уз=О зуз н х' — — уз=0„3349. х-/ .з-у / / 8 /'. 3350. Четыре прямые х-~-у=-~-/7. 2 зз зз зз ЗУЗ 3351. 2Ьу(ха+из)+ха=-О. 3352. Парабола ух+)зу =гга. 3353.
Ииклоида н /7 . /«,, уз х=--(1 — мпг), у= (1 — соаг). 3354. Эллипс хз+ — )=/«з. 3355. Гппер- 2 ' ' 2 ' ' 2 а и бала ху=- — . 3357. Эволзоза параболы уа= —,(х — р)Д 3359. Гиперболы 4 ' 27р з/г,,г«г1 /ег)з з(тг хи=1/2 и ху= — 1/2. 336!. а) 2г-- -=2;г' — '; 6) ~ — -) +г- —; в) гх авг / -бг наг т з(г ачг х —; г) «г — — —.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
