Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 64
Текст из файла (страница 64)
3362. Иэ равенства --=а(1)г следует Ег ~ аф б/а! г«1 з/1 з з(а Ег / да = — — г -«-а — - = ~- -+аз г= «) (1) г н з. д. 3363. Дифференцируя равенство Е( 81 ~ Е/ /' ег та=сопя( (см. задачу ЗЗ61), получаем з — -=О. Касательная к сферической з«1 линии (т. е. к линни, располонзенпой на сфере) перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному н точку касания. Образная теорема также имеет место, дг Ег, з(аг ачг и уг 3368. — =---зр'; —,, = —.зр "+" Ф ' з/х //и ' Ехч бич азз наг азг,.
ачг, . Ег — = —. р а+З вЂ” ч р'р" + — р". з1х" за бич з«и з1г (т) 3370. Из равенства а =О, где 1, ~т (1з, следует, что на замкну. ег той (п силу равенства г(1,)=г(1„)) липин найдегся тачка, в которой касательная перпендикулнрна к любому наперед заданному направлению. 337!. Годограф сноростн и «асов!, а ми 1, 251) — винтовая линия; годограф ускорения тв ( — а а1п 1, а соа1, 2Ь) — окружность. 3372, Скалярное умножение з/г з/г на а и на г дает а — -=О, г — =О. Отсюда аг=сопз1 — уравнение плоаф ' е/ скости и ге=созга( — уравнение шара.
Искомая траектория — окружнастзч плоскость которой перпендикулярна вектору а. 3374. Эллипс. Скорость будет максимальной в момент, когда материальная тачка будет н монце малой полуоси, и минимальной. когда точка будет в ио~зззе большой полуоси. Ускорение будет максимальным (минимальным) в момент, когда скорость будет минимальной (максимальной). 3375. Компоненты скорости — ; р -- ; р аш ~р — . г«р йр . 89 е/1 м ' 81' бг дг з/г указание.
Найтв скалнрные произведения — — е; — е; — ее. 81 "' зй Е' 81 /з /а 12 4 У 3 2 га 14 га 3376. —,= — = —; (ах+ту+Х= — + — + —. ! 4 3 2 3377. х — а рг2/2 у — а )' 2/2 х — Ф/8 — а$'2 ау2 Ь/и Ь Ьа -х+у+ — э==. яа)/2 Зяа)/2 ответы х ба= —. = —; х+бу+Збг=270бо. у — 1ба г — 72 а 6 36 х — и/2+ ! у — ! г — 2 )е2 .— тт х — 1 у-3 г — 4 — = — = —; 12х — 4У+Зг — 12 =О, 12 — 4 3 — = — = —; 27х+28У+4г+2=0, х+2 у — ! г — 6 27 28 4 х — хо у — у, г — д, х+у г = —; — + — — =-2. го го уо+хо' «о+у, го х-хо у — у, г — го х — хо у — уо у)г) х)г) — «)у) ' х) у) ео(Р'3/2, !/2, еи/~).
3385. бх-8У вЂ” г+3=0; х — 1 у — 1 г — 1 31 26 — 22 ' х — хо У вЂ” Уо г — го х — хо Р~Ь (х — хо) — )~а (у — уо) = 0; )'Ь вЂ” У а О )/2аго 3389 3382 яви! — ! 3386 х — е ) х и г ) 1 ат ао ао Бе уравнение ~а, а, а, =~Ь, Ь, Ьг . Ь,Ь,Ь,его,ео 12» о. — оо г — го Рт2ого — (а+ У) 3387. — х-еу — )/2г+2=0; 1 - х — е у — 1/е г — )'2 е — 1/е е Р2 у — 1/е .— )/'2 1 — )/2 эб ! х — ! у г-1 х-1 у г-1 3389. —, = — = —; 2х — у+Рг — 5=0; 2 — 1 3 ' ' 3 3 х — 1 у г — 1 Зх-1-Зу — г — 2=0; — = — = —; 8х — !)у — 9г+! =О, 3 — 11 — 9 х — 1 у — 1 г — ! х — ! у — 1 г — ! 3390. — = — = —; х — У=О; О = — = 1 1 г~1! ! — 1 0 ' ' 0 0 ! х.
— 1 и†! г †! — = †;я+у †2. 1 ! 0 3391.. — .' — —, )'2х — )е2у+4г=4; х — р 2/2 у — У 2/2 г — ! . У'2х+3)/2У+г — 5=0, )~2 3)'2 1 Г2 — — 13х+Зу+4)д2г+р 2=0. 13 — 3 — 4)' 2 х+! у-13 г х+1 у — 13 г 3392. — = 2 3 6' — 2х+ Зу+ бг = 37; 6 2 — 3' х+1 у — 13 г бх+2у — Зг= 20, — = — = —,-; Зх — бу+2г= — 81. 3 — 6 2' 3393. Для любой точки линии уравиепие соприкасающейся плоскости Зх — 2у — 11=0, т, е, линия целиком лежит в этой плоское~и. 4394, Соприкасающаяся плоскость одна и га же для всех точек лииии. ОТВГТЫ 3395. сйо !!з(з О 3396. (т=. Уг2 созес 2!. 3396 А= ° " ! 3399 т 8 (1+у"+г")о ' ' !г'! ' ',г' х г"! ' 3400.
т,=чтхр,; чь=Втхты Ро=т,хчо (г'хг ) хг' ! г',.! г' х г"~ 3401. Искомый вектор ы (если он существует) можно представить в виде е=(ыт,) т,+(ыч,) чт+(ы()т) (!и (1) Из условия задачи следует (принимая но внимание формулы Френе), что ы х т, = учи ы х т, = — Ьт, + Т()м ы х р, — Тч,. (2) Умножал зтн равенства скалярно на чм ()о тт соответственно, найдем, что <от,=Т, ыч,=О, ы(),=д и, следовательно, ы=Тт,+Ь()о Подстановка в фор- мулы (2) йоказызает, что зют вектор удовлетворяет условно задачи. 3402.
99+1п10= !01,43. 3403. а 1п (!+)Г2)=а!п 19 — '. 3404. )гЗО' — 1). Зп 8 3405. 5. 3406. 4а. 3407. г Уг2. 3408. а !и . 3409. — (1+, !пЗ). х — 2 ц — 1 г — 4 х — 1 И10. Зх — Зу — г=4; — = — = —. 3411. х+у — г — 1=0; — = 8 — 3 — ! 3412. г+а=О, х=а, у=а. 3413. 17х+1!у+5г=60; 1 — 1 х — 3 у — 4 г+7 , и х †! ц — 1 г--л2 — — = —. 3414. х — у+2г — =0; 17 1! о ' ' 2 ' 1 — 1 х у г — ( аЬгЗ) / ЬггЗ) ( с )!3) 3415. --+- -+ — =УЗ; а(х — — )=ь!у — — 7!=с!г — —.' о Ь с ' (, 3 l ~ 3 7! 11 3 х †! и — 2 г+1 И16. х+11у+Зг — 18=.0; 1 11 5 х — 1 у — ! г — 1 3417.
Зх — 2у — 2г+ 1 О; 3 = — 2 †х-! у †! г — 2 3418. 2х+ у+ 1 ! г — 25 = О; 2 ! 11 х — 2 у — 3 г — 6 ИИ. 5х+4у+г — 28=0; 5 4 1 ГГ! ° / 1! 342!. х — у+2г= ~/ — и х — у+2г= — 1ут 2' 3422. х+ у+ г = )' а'+ до+ со. 3494. Осе плоскости проходят через начало координат, х у г 3425.
хот+УоУ+гог=аз' х, уо г, ' ххо ууо а (х — хо) Ь (у — уо) г — го 3426. — '„— —," =2(а+го); Ь вЂ” а~~ — 2аз ° аз Ьо Ьхо И28. - — ао. 3430. 2х+у — г= 2. 3434. 4х — 2у — Зг= 3. 9 2 3435. Параллельна плоскости хду в точках (О, 3, 3) н (О, 3, — 7); парал- ледьна плоскосгн у()г в точках (5, 3, — 2) и ( — 5, 3, — 2); параллельна пло. скос","н'.т"лг"в"'т".",как'(О, 2, -2) ' (О, 8, 3436.
а) биопох-3(ио+оо)у+2г+(из+по)(ио — 4иооо+о!)=О! б) З(х! — Уо)х — Зхо(у+уз)+2г+4го=0. 3437. 2г(хо-1-уз-1-г')+р(ха+у') О. 3438. (хо+уз+го)о=27аохуг, 3439. !) ( — 2, !); 2) (!Оху — Зуа, Зхз -9хуз+4уо). ОТВЕТЫ 3440. !) 6!+4д; 2) ' (2!+/); 3) ="'„' хо+ У) 3441. 1) !8<р 0,342, ф !8'52', 2) 18<р 4,87, ф 78'24' 3442. Отрицательная полуось у. 3443. 1) сока — 0,99, с«=8'! 2) соки — О,!99, с« !01'30'. 3444.
!) ( — !/3, 3/4), (7/3, — 3/4); 2) точки, лежащне на скружностя хк+ ут = 2/3. к!+у/+ гд г 3447. 1) (3«д«у/го, 2«„'учго, х«чу«к); 2) = — '= —, где г — радиус)' «к+уа+ гк < г < велтор. 3450. 1) 2г; 2) 2 —,; 3) 2Г (га) г; 4) а (Ьг)+Ь (аг); 5) ахЬ. 3451. !) 0; 2) ) 2/2; 3) — )Т5; 4) (сота+яви)/2. 3452. У~2/3. 3453. 1/2. 3455. !) 5; 2! 98/13. 3456. — 22. 3459. 1,'г-'.
К главе ХП 3460. 01='!')7(.«, у)</о. 346!. Е=-'!')Т(к, у)«<а. 'о 'о' 3462. Т= - <ог ~ ~ у'7(х, у) Ут. 2 о 3463. <7 = (1 — !~) ) ) с (х, У) У (х, У) </6. 'о 3464. «1=) ! ) 7(к, у, г) Уо. 3465. Е=) ')'! 5(к, у, г) ои. !! о 6466.
8л(5 — )'2) - / С8л (5+)'2). 3467. 3бл < /< !0 <я. 3468. 2 -. /<8. 3469. — 8< / с 2/3. 3470. Ос / <61. 347!. 4 С / < 36. 3472. 4 < / <8(5 — 2)"2). 3473. 4Л С / <22П, 3474. О С / С вЂ” — лЮ. 3475. 24 С ! С 72. 4 3476 28л)' 3 С ! <52 <) 3. 3477. ! 3478. (е — 1)е 3479 л<!2 3480. !и . 348!. !и —,. 3482. л — 2. 3483. 2. 3464. — л/!6.
4 ч+)72 !+)' 3 о <з. ь<</г г г — к 3465. ! 3х ~ /(х, У) «<у. 3486, ~ ак ) /(х У) ау. з <зк.<! <>/г о о т < — «« ! <-к 3487. ) ах ) /(х, У) оу. 3488. ) ох ) /(х, у) <(у. б б й х — 1 12а 4 к~ г з уч — ««/з 3489. ~ <<х ~ /(х, у) «У. 3490. ~ ах ) /(х, У) ау. т «к — за < —. -'/к 4 3+ Ф <к-х* <гк 3491.
~</х ~ /(х, д)<(д. 3492, $</х $ /(х, д)<(д, — о к< г д« д д-х 3493. ~ /х $ /(х, у) Ну+15х $ /(х, у) уу. х $ к Огоогса 3525. 1) ~ г(ф~ /(Рсовф, Рв!пгр)рг/Р: л/2 а со» гр 2) ) г(ф ) )(рсовф, р япгр) рг(р1 — л/2 о Л Ь 5/п гр 3) ~ г(ф ~ / (р сов ф, р в!и ф) р г)р. Ь Огс1Л2 Всог р 3526. ) 5(ф ~ ) (р сов гр, р в!п гр) р г(р. л/5 4 сог гр а 5"!В -ь- ь 3527. ~ г(ф ~ /(Рсовф, ряпф)рг(р+ л// а сов ф + ) '(ф ~ )(р ф рв( ф)рг(Р Ого!2— Ь л/5 всс ф 3526 ~ г/гр )г 7(рсовф, рв!Оф)рг/Р. Ь Ь л/2 2 3529, ~ г(ф ~ )(рсовф, рвгпф)рг(р. 152 гсс ОР— л/41 '1/5 а 1'сог я г/ф 51 1(рсовф, р в!п ф) р г(р. — л/5 О Л/2 а Лп вф 3531 ° 11 /ЬР 11 )(Рсовф, р яп р) р г(р, О 5 л/2 й 5532.
~ 5(ф~ ((рсовф, рв!Оф)рг(р. О Ь Л(2 вй 51П ф 3533. ~ г(ф 51 1(рсовф, ряпф)рг(р. л/о й 2 5/п ф й «гсг» й 3534 / (р ) р Ир. 3535 — ~ ) (!5 гр) /ЬР. о 3536. ' [(1+/Св) !п (!+Ив) — йс). 3537. л(л 2)/8 3536. л)758, 3539.. (л — ~ 3540. лс/б 3 !' 3) вл 1 3542. л =2рсовф, Р=ЗР в!пгр; 1=6 ~ г(/Р~)(2рсоьф ЗР Йоф)рг(Р 3543. Л=р сов ф, у=)ггЗР вгп гр; л 11 В 5055 Р 51п ф 1=)~3~5(ф ~ /(рсовф 'р'Ъв(пф)рг(р. отвгт!и л с 2 3544.
х = ар соя ср, 8 = Ьр я(с! ср; / =- ОЬ ) сйр ~ / ( р»4 — рс) р Ор. О ! 3345. ООЬ'-','8. ЗО46. 1/! б. лся и 3247. )с12 ) с(йс) /(осояср, р сспс!', 2)ос!р„ О л/! О Л/2 2 со с ср О) 3548. ! с(ср ~ рс/о ) /(рсояср, рмпср, г)с!г. — л/2 О и л/2 л'2 Я О549. ~ я!п 63! ) с/ср) /(Оса!с оп 5, с! ба ср япс Ь, рсояб) рсс/р. Ь Ь О л/! Я1 сОсз» 1'и»--сс- 3550. ~ иср ) рс/р ) /(рсояср, р Мпср, г) с(г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
