Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 68
Текст из файла (страница 68)
На глубине х имеем зш (а+ Ла) т где т — показатель преломления на глубине х, а а †уг между вертикалью и касательной к световому лучу. Очевидно, !йа равняется у'. Из уравнения т яп а=(т+ит) (опасозба+соза ашба), раскрыв скобки и отбросив бес- конечно малые порядка выше первого, получим тба = — бт !я а, откуда Пи иу' — „.!1нтегрируя это уравнение, найдем у' как функцию т.
т у' !1+у'т)' П. дссавлня вместо ги его выражение через х и интегрируя вторично, получим ~луг яп а» (иы — щ) х+т,я решение у= ' ' !п)т+утз — т;-'япзаз)+С, где т= т — т, Ь 4208. у==хе !п')гх -)-С,х'-)-С,х+С,. ! е»х 4209. У= — — Яп 2х+Сзхз+С,х+Сз. 4210. У= — я+Рз (Рз-полипом 9-й г спенн относительно х с произвольными козффвциентами). хз 4211. У=С, — — +Сзх+Сз — С (х+Сг) !п) х+Сз). 2 4212 у =Стае+Саха+Саха+С,х+См 4213. У= -(С,— 2х)зт+Сзх+Сз. 4214.
х=Сьрз+Сзр+СЭ 3 4215. Решения можно записать в трех формах; у=С, яп(Сзх+Сз), нли у=С,зэ (Сзт-)-Сз), ялн У=С,с!з(Сзх+Сз). 4216. (х+Сз)з+(у+Се)»=С,-". 4217. у=С» (хес'~ — — зс'х)+Сз 1 хз 2хз Зх' ! 4хз 4219. 2) у=1+х+ — -+ — + — + — '+". 2! 3! 4! 5! (х — 1)з 2 (х — 1)4 Э (х — 1)з 2! 4! 5! и (х — 1)з (х — 1)з (х — ! !» 4 (х — 1)з 4221.
у= (х — !)+ + ' — — . +' 2 2! 3! 4! 5! хз 2х» Эхз хт 2хз 4222. у=!+х+ — + — + — „— +... Если )(х) 1+х+-3 —,+ 4, 3! 4! 5 то при х= — 0,5 получается знакочередующийся числовой ряд и значение первого из отброшенных членов меныпе 0,001. хз хз х' 4хь 14хе 4223. у 1 — — -+ — — — + — — —.+...; пятого. 2Г 3! 4! 5! 6! 4224. у=хе — — -х.'+ — хз — — х" +...; 0,3!8; 0,96951. 1 ., 1 7 и 10 ' 60 4400 г(г() л(! У.— )и3 4225». Дифференциальшю уравнение задачи Е =.!. †., + — — — ° 3 где !7 — количество электричества, протекшее через цепь за промежуток вре- мени от начала опыта до момента г. Выразив !7 через у (у — наличное козин честв ество воды в сосуде в момент Г) и определив из условий задачи козффи! циенты, придем к уравнению У"+о!'У'+5=0, где а= — =0005, ь= — з, = — = 0,00935, Интегрируя его прн начальных условиях У»=1000 см', Е ОТВЕТЫ у; = -И»- — — 0,00187 смз/с, получим ряд !' = 1000 — 0,001871 — 10» х к [2,9!Р— 3,64Ы+ 3,640 — 3,041»+ 2,17/т — ..
(. Ряд знакочередующнйся, коэф- фициенты. начиная с шестого, убывают, стремясь к нулю, чта удобно для бц) вычислений. 4226». дифференциальное уравнение задачи имеет вид Š— „+ птз + — ° — =Е. Взяв в качестве искомой функции количество у хлори- лЕ й, М» — й() стога водорода, не разлоагившегося к моменту 1, приведем уравнение к виду уу +ау'+6У=О, где п=йт/С=50, 6=йЕ/Е=О,О!9!. Интегрируя зто уравне- ние при начальных условиях у»=М»=10, у/= — И,= — 0,00381, получим ряд у = 10 — 0,0038 П+ 1О-т»Р ° (1,2! — 1,621+...), 4227.
х'у' — бху'+12У=О. 4228. ху' — (2х+1) у'+(х+1) У=О, 4229. (х' — Зх'+ Зх) у» — (х' — Зх+ 3) у" — Зх (1 — х) у'+ 3 (1 — х) у О, 4230. У=Зхз — 2хз. 4231. а) а!пах/совах 7=' сапа!; б) у" з[п 2х — 2У' соз 2х ~ О. 4232". 3) По формуле Остроградского ~ т а[=Се ! ( 1 х, или, рас- 1У( Уз! — ) р(а[ах крывая определитель (вронскнан), у,у( — у(уз=Се . Лепим обе части уравнения на у'„тогда — ! — ) = —.
е б /уз!' С 1'г!х>ах , откуда и следует искомое соотношение, 1+х 4233. У=Сгх!п ~ ~ — 2Ст+С,х. ! — х япх сан х 4234 У=Сг +Сз —. 4238. У=ха — ек-т х х 4236». Функции Р и 1) должны быть связаны соотношением 0'+2Р()=0. Подставить У,=1/уа в формулу (вытекающую нз формулы Остроградского) задачи 4232, полученное соотношение продифференцировать дважды и у„', у, подставить в данйае уравнение. 4237*.
У=С,(4хз — Зх)+Се 3'1 — хз(4ха — !). Полагаем согласно условию с,=дат+Вяз+Сх+[). Подставляя у, в данное уравнение, получим В=О, Ь=О, А/С=4/ — 3, или А =4й, С= — Зй. Следовательно, частное решение будет уг = й (4хз — Зх). В соответствии со свокством линейнага уравнения мо нио привить й=1, тогда У,=4хз — Зх. Зная одно частное решение, абыч- нын путем находим второе и составляем абп!се решевне, 4238. У=Ст мп х+Са (1 — мих!п ! 18 (и/4+Х/2), (. 1' ах ба 4239. У=С,х+ С,х ~ —,„. 4240. У=Сзх+Са(хз — 1).
х 4241. У=Сгх+Саха+Саха. 4242. У=хз+х(Ст+С* рл х!). 4243. У=С,е"+Стх — хт — 1. 4244. У=Стх'-[-С,(х+!) — а. 4245. У=2-[-Зх+х(,-+ 2 агс!8 х)+х'. хз хч 7хз, 4246. у= — 2+2х — хт+ — — — — + —. 3 4 60 2хт 2хь 2ха 2хт 62ха 4247. у=! + — — — 1.— 4! 61 6! 7! 8! хз хз 'х» У 2 + 2»,3.2+ 2з.6.31+2ю7.4! "' 2»(2л — 1)л!' 4249. У=С, ~!+ — 4- — + -+ — +...) (-Сз~д+--+ —; + — +,), 4250. У=Ст !+ — +...~+Се~» — 6 + 40+ ) ° 12 425! У=С!с +С.л ш, 4252. У=Ствах+Сзе 87. 374 отвпгы 4253 у — Сез"+Св 4254 у=Сле(а д! а) К+Сзе(!-тт) Х 4255.
у=С,е'"+Сзе ~~Г~. 4256. у=С, соек+Се зш х. 4257. у=е-аа(Сл сов 2х+Сз яп 2к). 4258. У=с" (Слсоз-; +С Яп — ~. 4259. У=е" (Сл+Слх). 4260. «=(С,+С,Г)ез ~~. 4261. у=(С,+Сзх) е 4262. д=4е'+гел". 4263. у=Зе '" яп5к. 4264. у=е 'Гз(2+х). ! 4265. у=(!+(! — т) л) еях. 4266. у=совЗх — — з!п Зх. 3 4267. Если А О, то у=--: яп ()'5 (х — хе))+ да сов [)Г5 (х — хц)1; если д'ь ! 1~0, то у= — ((~,)гул+а)е' л"!х 'О+(доУдл — а)е тга !х 'л!1, гда 2 )г'Зл Ал = — Ф. 4268.
У=Сле а+Стех(т+ет. 4269. У=Сл сов ах+ Свпо ах-(- ав+!' 4270. д=с, +С,е + ?4 1 4271. у= с-х(Слсов2к+С, яп2х)- — сов2х — 2 в!п2х. 2 зт г з 4272. у = (С + Сзх) езх+ - - ха + -. х+ 4273. у=с (С, сов х+Сл яп х)+х+1. 4274. у=Се" +Сзе 2х — 02.
4275. У=Слет+С езх+д, где д Равно; 5 3 1 1) -е-'; 2) Зхезт; 3) — -сове+ — вшх; 3 ' ' 5 5 9 з 2! 15 8 Г х к1 4) хв+ — хз+ — к — —; 5) — — е" (!сов — + 2 *!п -. 1; 2 2 4' 5 ( 2 2)' 1 5 1 6) -- х+ — — — е-тх; 7) ех (2хз+ х); 2 4 12 3 ! 1 8) — х+ — (9+Зсов2х — яп2х); 9) — 2хе» вЂ” — е-зх; 2 4 12 ! 3 7 9, 1 „1 10) --сов х — - з!их+ — — совЗк+ — яп Зк; 1!) — — е-» — — кое. 20 20 260 260 ' !2 2 4276. у=С, +Се' зг(г-(-у, где д равно: ! 3 7 1 1) --ха — — -хз-(- — х; 2) — ех; 3) 5яп к — 2с<кх; 3 5 25 ' 7 4) — х+ — — яп 2х — -- сов 2х; 5) сов 2,5х+ яп 2,5х-0,02хе 1 5 . ! -г.за.
!О 764 4! !61 Г 1851 б) ( — 5х — — ) соек — ! гх — -") яп х( 29) ~ 29) 71 — е-х ((650х+ 2650) Яп х — (3250к — 400) соз х]; 8) — ! — а!Зе — ав е). 1 зг! 169 . !О'(5 4277 о=е~(Сл+Сзх)(-у, где у равно: ! ! 3 ! 1 1 1) —, 2) е "; 3) — хзез»; 4) — сов 2х+ — х+ —,' 4' 9 ' 2 ' 4 2 2' ! г 5 6) — ~ — яп Зх ! 6 сов Зл ! - о- (3 яп х+ 4 сгя х); !69~ 2 1 6) — -(3 з(п а+! осях)+ (5 зш Зх-12ггяЗх), !00 " 676 ОТВЕТЫ ,375 7) 2»з+4х+3+4»зез»+сов2х; 8! —.
(хзез» е-з») ° 1 г 1 4 (, 8 1 1 9) — (е" — — — е»!+ — (3 з!и х+4 сов х); 10) е» вЂ” - — е» з+ — ез-" 2 16 4276. у=Сасове+Се них+у, где у рвано: 1 1) 2хз-13х+2; 2) емЗх; 3) — х яп х; 2 1 / . 1 4) — - х соз х — е-'; 5) — ! х яп х — -- сгм Зх); 6) 9+ 4 соз 2х -0 2 сов 4х; 2 ' 4 ! 4 7) 0,5 с5 х; 8) 0,5+ 0,1 сЬ 2х. 4279. у=е ~С,соз х+Сз яп — х)+у, где у равно! з„/з/ 4, 4 5 5 25 з»/з 15, 4 40 4 1) 16 2) 219 ° 5™+2!9 5 ' ! 1 / Зб „ 107 1!!81 5 3) еы+-- 2»з+ .-хз+" — х — — ); 4) — — созхез"/з; 13 5 ~ ' 5 25 !25 / ' 9 5) — †«е / соз — - х; б) О,без»+ 1,3. 1 з»з 4 6 5 4280.
у = 2+ С, с~м х+ С, яп х+ аоз х (п ~ !д -- ~ . 2 4281. у = е» (С, + С х — ! и )/ х~ + 1+ х агс18 «). 4282. !) у=е»(х+Сх) — (е»+ !) !и (е"-1-1)+Сз; с 2! у =, е»1згсз!п е»+е»)/Т вЂ” вы+ Се!+ --)/(1 — ез»)з+С; 2 — э' 3) у — С,е» вЂ” соз е.т+С,. 4283 (! ! ) — зк/з ! 2» з»/з 4284. » =е» (О, !6 сов Зх+О 26 мп Зх)+хе+22»+064. 4ЗВЗ. у=е»+ хе. 4266. у=»» (е» вЂ” хз — »+1).
1 1 4287. у=-- з!п2х — --з!их — созх. =3 3 4286*. Дифференцировать указанные выра>кенни дли у дважды; подста. вить у, у' и у" в данное уравнение; во всех трех случаях получится тождество. 4269. у=ха(Сз+Сзхз). 4290. у=--+С,сов!п|х(+Сз за!п! х!. =2 429!. у=х(С,+С,!и,' х!+!пз (х!). 4292. у=х(и, 'х !+С|х+Сзхз+ха, 1 й 4293. Если — >аз, то у=Сзсозд/+Се з!пе!+ — совы/+-„-, где зпа дз — е1» дз ' йз= — ыз, Если — —.сы, то у=Сзе +Сзе — „„сгмы/ — —,—, где 1 ! а еьэз лзм ге а Лз+ ыз Аз ' ! Аз= ыз- — ". жа 4294. з= — (4е'+е зг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
