Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 53
Текст из файла (страница 53)
4 Ьг!дф 3»ЯГ»у~/~ 1105. 1) сиу = — г/Ях — Д»Я 2) г(эд — 4 яесз 2/ г/ГЯ 4» 4 (1+Зх») х' — | (х' — 1)Я 1106. 1) г[~у=сояхг[ээ — юп хг/хь, 2) аеу = а» соя (а") !п а г[ях- а" |па а (а" я!и ໠— осе а") бхя! 3] бяу =-а" |п а [соя аг' (6/+9/я |и а) — а" я|п аг' ° 9/'1п а1 гйя, К главе [У 1110. !) Точка максимума; 2) убывает; 3) возрастает; 4) точка минимума! 5) точка максимума; 6) точка минимума; 7) точка лгинимума; 8) точка макси. мума; 9) точка минимума. !112.
В точке хя=О возрастает, в точке хя — — 1 убы. вает, в точке хя — и/2 возрастает н в тачке х»=2 убывает. 1113. Убыааея в точке х,=1/2, возрастает в точках ха=2 н хя=е; хя — -1 — точка минимума. 1!!4. Возрастает в точке х,=|, убывает в точке х,= — 1; ха=Π— тачка мини. л~уяга. 1115. Убывает в точке х,= 1/2, возрастает в точке х = — !/2; хя — — 0— точка максимума.
1125. Три корня, принадлежащих соответственно интервалам (1, 2), (2, 3) н (3, 4). 1127. я|п Зх, — я|п Зхг = 3 (хя — х,) соя 3$, где хг .- $ ( хя. 1 ! 28. а (! — 1п а) — Ь (1 — 1и Ь) = (Ь вЂ” а) 1п $, где а ( Ц ( Ь. ! 129. а геюп [2 (хя -|- + /гх)] — агся!п 2хя= 2дхд' 1 — 4ь~я, где хя ( 5 ( хя+ Лх. 1135. При х-ь О 4 стремится к нулю, принимая не все промежуточные значения, но лишь такую ! их последовательность, при которой соэ — стремится к нулю. 1136. 0„833, 1!37. 0,57. 1138.
1,0414. 1139. 0,1990. 1140 0,8449. 1141. 1,7853. 1!49Я. Тре буемое неравенство вытекает иа возрастания функции у= — в интервале !8»' х (О, и/2), 1150. ( — со, — 1) возрастает, ( — 1, 3) убывает, (3, +со) возрастает, 1!5!. ( — оэ, — 1) убывает, ( — 1, О) возрастает, (О, !) убывает, (1, +со) возрастает, 1!52. ( — оэ, — 1/2) возрастает, ( — 1/2, 11/!8) убывает, (11/18, -1-оо) возрастает. 1153. ( — со, 2а/3) возрастает, (2а/3, а) убывает, (а, +оэ) возрастает, 1154. ( — сю, — !) возрастает, (-1, !) убывает, (1, + сю) возрастает. 1155, ( — со, О) убывает, (0,1/2) убывает, (1/2, !) возрастает, (1, +со) убывает.
ОТВЕТЫ 1156. ( — сс, 0) возрастает, (О, +со) убывает. 1157. ( — сю, О) убывает, (О, 2) воэрасгает, (2, +со) убывает. 1158. (О,!) убывает, (1, е) убывает, (е, +со) возрастает. 115р. (О, 1/2) убывает, (1/2, +со) возрастает. !160. (О, л/3) убы. вает, (л/3, 5л/3) возрастает, (5л/3, 2л) убывает. 116!.
(О, л/6) возрастает, (л/6, и/2) убывает. (л/2, 5л/6) возрастает, (5л/6, Зл/2) убывает, (Зл/2, 2л) возрастает. 1162. Монотонна возрастает. 1163. Монотонно возрастает. 1164. (О, За/4) возрастает, (Зл/4, а) убывает. $165. Ум,„,=о прн х О. У„ии= — ! прн х=1. 1!66. У„,„,=17 прн хмм — 1, умии= — 47 прн к=З. 1167. У„,„с=4 прн х=о, м„и =8/3 прн х= — 2. 1168.
Ум„„,=2 прн к О, ум,„=у'4 прн х=2. 1169. ум>им=1/1пЗ прн хмм — 3. !!70. Ум,и,=о прн х=о. 1171. Ум,и,=о прн х=о, Умии= 2>3 прн к=1. 1!72 Умии=2 прн х=2/3. 1173. Уисис=) 205/!О прн х=)2/5 !!74' Умамс=!' а пр» к=О, Умна=о прн = +'о 117а Умии=о 8! с прп х=о. 1176. Моно>онио возрастает. 1177. Ум,„,= — у 18 прн х=1/2, мш'= 8 у„„м =-0 прп к — 1 и прн к=-5.
$178. у„,„, =2,5 при х= 1, у„м„=е (4 — е)/2 мм ~1,76 прн х=е. !179. У„,„,=1/2 прп к=о, умм„л/8 прн х=1. 1180 у асс=о прп «=О, умии= ' прн х=1/2. 118$. у„„„= ' =1,13 3)> 3 — 2л бл)' 3 — ли+18 48 мсис= ! 1 1 прн к=->- >/3, Ужи,— — 1 прн х=о. 1182. Умсис™ з>п 2 +. — прн к=-, >м>и 16 2' прн х=л/6. 1183. У„,ж-— 1/л прн к=!. ЗбргЗ вЂ” 12л)' 3+72 — яз+бл 144 ум«и= — 1/л при к=З.
!184. Если аЬ~О, экстремумов нет. Гслн аЬ)0 н ! Ь а > О, то ум„и =2)'аЬ прн х= — )п --; еслн аЬ)0 н а <О, то ума„,= — 2 1/аЬ 2р а' прн х= — 1п —. 1165. 13 я 4. 1!86. 8 н О. 1!87. 2 н — 10. 1188. 2 н — !2. 1 Ь 2р а' 1!89. 1О н 6„1190. 1 н 3/5. $!91. 3/5 н — 1. 1192. Наименьшее значение раино (а+Ь)>, нанбольшего нет. 1193. л/2 н — л/2.
1194. Нанбольшее значение равно 1, наименьшего нет. 1195. Наименьшее значение равно (1/е)>/с, наибольшего нет. 1196. т>9 н О. 1197. л/4 н О. 1208. 4 н 4. !209. 1, 1210. 6 н 6. 1211. 3, 6 н 4 см. 1212. 3 см. 12!3. 1 см. 1214. т'4з. 12$5. Радиус основаннн в высота равны у~~ з/л. !216. Н=2й. 1217. 20)/3/3 см. 1218. 2л )>2/3~293'56'. 1219. Боковая сторона равна Зр/4, основание равно р/2. !220.
Боковая сторона равна Зр/5, основание равно 4р/5. $221. 2й)/3/3. 1222. 4й/3. 1223. — и, 2 гл>спз 27 27 /гз ' — 1224. )>г2ар/Ь. 1225. 20 км/ч, 720 руб. 1226. Через 1 — часа мм 43 ~! час 38 мнн. !227. Расстояние хорды от точки А должно равняться 3/4 диаметра окружности. $228. 4й Ь'5/5 н й 1/5/5. 1229. Высота прямоуголы>нка )/8йз+ Ь' — 35 равна , где П вЂ расстоян от центра хорды, ствгнвэющеп дугу 4 сегмента, а й — радиус круга. 1230. Радиус основзння конуса должен быть в полтора раза больше радяуса цнлнндра.
1231. 4й. 1232. - 49'. 1233. 60'. 1234. й) 3. 1235. 4й/3. 1237. х/3+у/6=1. 1238. а)/2 н Ь)/2. 1239. Площадь 2 прдь>о)тольппкд = — х площадь эллипса. 1240. через точку (2, 3). 124!. С( — )>6, — г'6). 1242. к=а — р, если а)р; к=о, если а(р. 1243. Сечепве желоба имеет форму полукруга. 1244. Длнна балки равна 1 13 .-м, сторона поперечного сечення равна 2 )' 2/3 м. 1245, Искомое эначенве отвсты х, + хз +... + х„ равно среднему арифметическому результатов намерений: х = л 1246.
В 3 км ат лагеря. 1247. На высоте /7 ф'2/2. 1248. Расстояние от нсточ. 14//, ника силы /> равно, „' .; иными словама, расстоннне! делится пско. мой точкой в отношении ау')> . 'д /з. 1249. 2,4 м. !250. Ра>ч„=ЙР/У)+Ьз прн 6 =а>с!8Ь. 1251. =45. 1252. 2Ь+й«ЗЬ/л и 2а+)> Ба/д. 1253*. /г(/4 /.
гле й-образуюшан кпнуса. Принять во внимание, что разность межлу рас- стоянием от центра шара до вершины конуса и рзднусом шара равна разности мшкду высотой конуса и высотой погруженного сегмента. 1254. К/4. 1255. /7/2. 1256. Р(р, ->- р гГ2). 1263*. 3/4. Так как функция есть константа (д'=0), то значение атон константы равно аначенню данной функции при любом значе- нии «, например при х=О. !264. и. 1265. О.
1267. да,„,=4аз/27 при х=и/3, д„на=О при х=а. !268. д„,„,=а /16 прп х=а/2, д„„„=О при х=О и прп х=а. 1299. д„,„,=- — 2а при х — а, д„а„=2а при х=а. 1270. д„,„,=5/4 при х=З/4. 1271. д„м„=1 при х=1, д„„„= — 1 при х= — !. !272. д„ча=! прн «=О. 1273. д„>ч,— — *4/ез при х=2, д„„„=й при х=О.
1274. д„ч„е прп х=е. 1275. д,„„,= >г е при х=а. 1276. Прн а 2 максимум. 1277. а= — 2/3, Ь= — !/6. !278. Выпукла в окрестности точки (1, 1!), вогнута в окрестности точки (3, 3), !279. Выпунла в окрестности точки (1, и/4), вогнута в окрестно- сти точки ( — 1, — л/4), 1280. Выпукла в окрестности точки (!/гт, — 2/е>), во- гнута а окрестносю> точки (1, О).
1287. Точка перегиба (5/3, — 250/27). Интер- вилы: выпуклосп> — ( — оо, 5/3), вогнутости — (5/3, -)-оо). 1288, Точек перегиба нет, график вот»утый. 1289. Точки перегиба (2, 62) и (4, 206). Интервалы> ногнутости — ( — са, 2), выпуклости — (2, 4), вогнутости — (4, +оэ).
1290. Точки перегиба ( — 3, 294) и (2, П4). Интервалы: выпуклости — ( — со, — 3), вогнуто- сти — ( — 3, 2), выпуклости — (2, +оо). 1291. Точка перегиба (1, — 1). Интервалы: выпуклости — ( — оз, 1), вогнутости — (1, +со). 1292. Тачек перегиба нет, график вогнутый. 1293. Точки перегиба ( — За, — 9а/4), (О, 0), (За, 9а/4). Интервалы: вогну гости — ( — сю, — За), выпуклости — ( — За, О), вогиутасти — (О. За), выпукло. стн — (Зл, +оо), 1294. Точка перегиба (Ь, а). Интервалы> выпуклости — ( — оэ, Ь), г'5 — 1 >!>а ! И вогиутосги — (Ь, +со).
1295. Точка перегиба (агсз(п, в'" а !)/~). И>пери )>5 — 1> / . )>5 — 1 и) валы: вош>утости — > — —, агсз)п — /, выпуклости- агсап— 2' 2 )' ' ( 2 '2/ !296. Точки перегиба (->-1, 1п2). Интервалы: выпуклости — ( — со, — !), вогнуто- сти — ( — 1, 1), выпуклости — (1, +со). 1297. Точка перегиба (ае~/~, - е ~/~). Ин- тервалы: выпуклости — (О, лез/з), вогнутости — (аа"/а, -(-оз), 1298. Точек перегиба нет, график вогнутый. !299. Точка перегиба (1/2, е'">я 1/а).
Интервалы: вогнуто- сти — ( — сю, !>2), выпуклости — (1/2, +оо). 1300. Точка перегиба (1, — 71, Интервалы: выпуклости — (О, !), иогнутостн — (1, +ею). 1305. а= — 3/2, Ь=9/2. 1806. а= — 20/3, О=4/3. Точками перегиба будут также точки ( — 2; — 2,5) н (О, 0). 1307. При а — — е/6 и при а)0. 13!6. Точки перегиба (1,4) и (1, — 4). 1317.
Точки перегиба при /=Зп/4 >- Ьп (Ь=О, 1, 2, ...). 1318. Ь 1п— а егозя, где п"а<й<Ь, !319. ее+аз=йей> где а<8<Ь. 1321. 3 а!/ Р325 О 1526. !. !327. п/О. 1328. 1/3. 1329. а/1'Ь. 1330. 1/2, !331. 2 810 ОТВЕТЫ )п а !332. — а™». 1ЗЗЗ. —. 1334. — 2. 1335.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
