Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 49
Текст из файла (страница 49)
а на — + —, 86, а = — -[- —, 87, 4 и, 66, По 50 см, 89. Тот, у которого осевое сечение — квадрат. 90. Чем меньше высота конуса, тем больше его боковая поверхность; функция достигает наибольшего значения Р прн радиусе основания, равном —, т. е, тогда, когда конус вырождается в пло. 10* х,=З; 3) у) О в интервале ( — оз, +оэ), функция корней не имеет; 4) у)О в интервалах (О, 1), (2, +со); у(0 в интервалах ( — со, 0) н (1, 2); У=О при х,=О, х,=1, х,=2; 5) у) О при х ныл; У=О при х=О. 54. !), 3), 8), !О), 11), 15) четные, 5), б), 9), 12), 14), !7) нечетные; 2), 4), 7), 13), !6) ни четные, ни нечетные, 55. !) У=(хз-1-2)+Зх; 2) у=(1 — х')+( — хз — 2х')! 3) у=-(мп2х+!йх)+сов --.
57. 1) у= + ' 2) у 2' ' 2 2 П ! хрш [ П «Рзз П [ «Гшз (! хрзо +, 59. Функции 1), 5), 6), 8), 60, Графики см. на рис. 80 н 81, 61. !) В интервале ( — сх>, 0) убывает, в интервале (О, +со) возрастает; 2) в ивтервале ( — оэ, О) У убывает, в интервале (О, +со) сохраняет постоянное значение — нуль. 62. !) Наибольшее 1, наименьшее 0; 2) наибольшее 1, наименьшее — 1; 3) наибольшее 2, наименьшее 0; 4) наибольшего значения не имеет, 7 ст / Л Ю ас Е наименьшее 1, 65./= —. 66. а) 3' Рис, ВО р=72,?Ь; б) 1,05 ° 10> Па; а) 36,4 см.67. Р = ш.
69, 1) у= В Р 45 =-3- х+4; 2) У=1,195х+1,910; 3) у = — 0,57х+8,63. 69. а) 1/=!00+0,350 б) 100 смз. 70. 8=166+1.34!. 71, )с=!2 — !),7Д 72. Ьу=б. 73. й~= — б. 74. ах=4. 75. Конечное значе. ние аргумента х,=2а. 76. х=З; при графическом реисенни ншется точка псресечеиня графика функции УУ 9(х) и прямой у=2х — 4, 78ь. Следует обратить внимание на то, что из всегда справедливого соотношения ! / (х)+4> (х)[ ~ [ / (х) [ + [ср (х) [ в условии задачи исключен знак равенства. Строгое неравенство будет иметь место при х ( 3 и х ) 4.
Можно решить задачу путем построения графиков функций Ф(х)=[/(х)+р(х) [ и ф(х] [/(х) [+[ср (х) '„79, х(2. См, указание к решению задачи 78, ОТВЕТЫ скнй диск, 91. 12,5 см. 92. Высота прял!оугольника должна быть равна половине высоты треугольника. 93. Радиус цилиндра должен быть равен половине радиуса конуса, 94. При Н» 2)( радиус цилиндра доллкен быть равен ЕН 2 (Н вЂ” 1() ' прп Н ~ 2Я полная поверхность вписанного цилиндра будет тем больше, чеч Р Р 4 больше радиус его ! снования.
95. —. 96. а= —. 97. —, 98. Сторона 2 6 — у'3 и+ 4' должна быть равна 10 см. 99. Сторона оснопания и боковые ребра должны иметь по 1О см. 100. Сторона треугольннна должна быть равнз — . За 9+4)' 3 !О!. 1!скоп«и !о !ка (Ь|6, Ь(6). 102. Искал!аа точка (!5711, 37/11). 104. хл~ л= — 1,1, хл = 2.1; 2) х, = — 1, хл =5)2! 3) .гл 0,5, хл лы 4,1; 4) хл = хз= З)2! 5) не имеет вещести нньж корней. 105. х,= — 3, ха=8 Прн графйческои релиенни ищется точка пересечения графика функции у=ф(х) и параболы у' ..
7«+25, !06. Есл!л Ьэ — 4«с 0 и а» О, то функция определена иа всей числовои оси, кроме интервала х,~хохл тле х, и х,— корни трехчлсна. ПРи Ь- — 4сс» 0 и а СО фУикциа опРеделена только пРи хл (х <ха. Если Ьт — 4ас(0 и а»0, то функция определена иа всей числовой оси, Если Ьл-4ас < 0 к а < О, то функция нигде нс определена. Наконец, при Ьа — 4ас=О функция будет определена на асей числовой осп, кроме одной ее точки х Ь = — --, если а» О, и и !гас ие определена, если а ОО. 107. ! (х-).1) =2х'+ 2п + 5х+3.
ха+ 2х+ с 108*. Плеть —.; ', =т, где т — произвольное действительное чисха-,'- 4. +3 ло; тогда (т — !) хл+2 (2«! — 1) х+с(Злп — !) =О. Аргумент .с должен быть действ!юельиыч числом, следовательно, (2т — !)л — (гп — !) (Зтс — с)» О, или (4 — Зс) «Р+4 (с — 1) т — (с — !)»0; по так как т — действительное число, то вто неравенство в свою очередь справедливо лишь при условии, что 4 — Зс» О, 4(с-!)а+(4 — Зс)(с — !) -0; отсюла О~с(1, но по условию счьО, следовательно, 0(«~ 1. 109. тл=2,3 1О".
110. Перемеинаи х обратно пропорциональна с. !11. Переменная х прямо пропорциональна а, 112. Количество выделяющегося вещества обратно пропорционально объему растворителя. 1!4. 1) При х=! у=4 — наибольшее значение; при х=5 у=4(5 — наименьшее вначенне; 2) при х= — 1 у=1/7 — наибольшее значение; при х=2 у= — 2— ваименьшее значение; 3) при х=О у=! — наибольшее значение; при х 4 х 1 — х у= — З(5 — наименьшее значение, 1ПЕ 1) у=х; 2) у= --; 3) у= —; 4) у 2' 3 .! ргх — 1; 5) у = ; 6) у = †; 7) д= ! -л- ргх -(- 1; 8) у= ж )!гх'" — 1; 9) у х' х !й .; 10) у= — 2+10" ', 1!) у=-2 !; !2) у=1ойл —; 13) у= !6 —; 14) у к эх х, ! х 1О' ' ' " 1 — х' 2 2 — х' х — ! 1 .
х 2 х -- агсз|п ..; !5) у= !+агсжп— 2' . х — !' 4 16) у=.л-соэ — (О =х~2л). 119. г( ! — агсюп— 2 — ° .. * л = ';2' . ! ° гл-л — '!. !л. ~ — 0,5, ха=1, хз — -54,5. 126*. 1) х,=1,4, остальные корни мнимые; х,— абсцисса точки пересечения графиков кубической и линейной функций; у=ха и у=-х+4; 2) х,=!.
х,= — 1, х,=3; целесообразно применить замену переменной х=х'+а и выбрать а так, чтобы коэффициент при х' абратался в нуль; далее, как в !); 3) х,=4, ха=ха=1; см. указание к 2]; 4) х,= — 1, остальные корни мнимые; см, указание к 2), 127. 1) 1,465 ...; 2) =14,26 см, 3) почти 6,8 см. 128. Если д,=х". уз= у/х, то при и» 1 для 0<к(1 отпдты у,сд,, а для 1сх<+со д,>у.,; при 0<и<1 для 0<хс ! ул>уо, а для ! Сх. —,'-глт у, Суб пРн — 1<л<0 для ОСх<1 у, <уо, а для 1 <х<-1-гю д,>уо, при л< — 1 для 0<в<1 д,>у,, а для 1<х<-(-оз у, уо 133. лг=-), хо=2.
134. Точки пересечения (1, 2); (3, 8); (3, 4,'3); ( — 1,5; О,З), !36. л=!5, 136. Исходя из определения гиперболических функ. ций, можно доказать, что зй( — х)= — зЬх, !Ь( — х) — Гп х, сЬ ( — х) =ей х. ПеРподическими зтн фУнкцин не ЯвлиютсЯ. 140. доло„0,8 пРи х 0,4. 141. График функции симметричен относительно начала координат, так как а" — и "' 2 функция иечегная. д= . 143. 1) А=[, Т=.-л; 2) А=5, Т=л; 2 ' ' ' 3 3) А=4, Т=2; 4) А=, Т=4п; 5) А=1, Т=З)3; 6) А=З, Т= — — и.
16 144. !) 2, -' †, — -, 5; 2) 1, 4л, — †, — ; 3) - - 1 1 — — ' 4) 1 бто 3 ' 2л' ' ' ' 4л ' 2 ' 3' ' ' 3' — . !46. Область определения (О, л). Плошадь будет наибольшей при бло ' 2л го! л а) Г! — 1, х=л!2. !47. х=)7з!п [ - — +. +атосов ~. !46. д=о!п~ (агсяпу,— [,)7 2 !гг — Го ' 1- 2л (гл — Го) Гл агготео — Гоагсз!пдл — агш!пп,)+огсыпдо, Т=, . — ' гр.пч= агсмп у, — агсзш до' гл — го 149. х=)7(1 — соод)+а — )'оо — )[зз!пзгр, где гр=2ллт. 15!. 1) хо=О, хз т и о= л-1,9; 2) х= — О; з:4,5; Ш7,72; далее со значктельиой точностью можно (Зл+ !] л считать х=-о-, (л>З); 3) х — 0,74; 4) хо=0,0. хо=2,85, хз-— 5,8г 2 — о — 3 — ° г 5) корней — бесчисленное многксство; хо=О, хз немного ыеиысе л)2, хз немного больше Зл,'2 п т.
д. 132. !) 2л; 2) 2л; 3) 24; 4) 2. 153. !) д=) 2 з!п (х-~- — ) 1 г ! 2) !г=1' 5+2) Зз!п [к+фа). где фо=агсз1п . !55'. !) Период л/2, 1 5+2)'3 На отрезке [О, 2л[ функция может быть представлена так: д= яп х+соз х иа отрезке [О, л 21, у = япх — созх на отрезке [т72, и[, у — — — япх — созх нз отрезке [и, Злг2[, у= — з!п л,'-сом х па отрезке (Зл/2, 2л).
2) Период 2л, На .отрезке!оои 2л[ функция ого;кет бьнь п[,едстзвлена твк: У д=!6х иа полузнтернале [О, л!2), у=О на полуинтериале (л,'2, и[, и== — !6х оа по.т)нп- ! тгоизле [и, Зл,2), д=О на по- ле до 2' ш лупнтервале (Злг2, 2л). !56. !) Область определения состоит из 1 гу л. д бесчисленного мно,ксстпа иншр- у=а хялухдтх)) палов инда (2лл, (2п+ !) л), где п=О, 31, л 2...; пи челн я и нн нечетная; пернодн- Рис. 82 ческая, нсриоз ол.
В нигерпзле !О, л[2) синус возрастает о~ 0 до 1, следон.пело.ио, !й яп х, оставаясь отрнггательиытО возрастает до О, В интервале (лг2, и) синус убывает от ! до О, следовательно. убывает и !о яп х. В нштерволг (и, 2л) синус имеет отрицательные значения, следовательно, функция !6 яп х не определена. 2) Область определения сослоггт из отдельных точек вша х= '-+2лл, где п=О, --1, -о-2, ...
В зтнх точкви 2 о=О, График состоит нз отдельных точек оси абсцисс. 3) Функция определена нз всей числовой осн, кроме точек х=лп, где п=О, шл- 1, -о 2, ... Я а(!сгнгр+Ьз!п ) 158. ы = 2 агсь!п —. 159. Т=агс16 2л ' Ьз+ В+ а (Ь сов !р- ! яп ф)' 169. я =о 294 ОТВЕТЫ агссоь ~ | — 1. 161. 1) — 1» х (1; 2) 0 ( х ( 1; 3) 0 =-.- х ( 1; 2)7 (а-|-)7 — х)1' 4) — 1 (х -0; 5) 0(х(+со; 6) — со < х < 0; 7) 0» х <-роо; 8) — со < <х--0; 9) — ею < а < 1; 10) ! < а <+аз.
162. 1) — 1(х(1; 2) 0--х -1; 3) — ссз(х (+со; 4) определена всюду, кроме х=о. !63л. Период 2п. Графвк см. иа рис. 82. Указание. На интервале — и/2==хсца/2 имеем у -аггь!и (Мп х)=х па определению функции агсь!их. Дли получения графика функции на интервале и/2<х<Зп/2 полагаем г=х — и, тогда х=п-|-г, — и/2<-г<п/2, у=агсь|п(йпх) = агсыпап(г+и) = — агсь!п (япг)= — г; у=а — х и т. д. 167. узала — — 15, у„маа ьм 5,5; функция переходит ат возрастания к убывани|о при х= — 2. К™орень функции: х= — 3,6. 169. у= — (267 — 1Ох — хь), илн у=О,ОЗ!2хь — 0,3125х+8,344; корни функции; х,мл 1 32 ° ь|-22,09, ха= |2,09. Чтобы получить корни с точностью до 0,01, надо козф. фнциенты взять с точностью до 0,0001.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
