Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Два цилиндра, основания которых лежат в одной плоскости, соединенные внизу капилляриой трубкой, наполнены жидкостью до разной высоты (ттт н Н,). Через трубку в единицу времени протекает объем жидкости, пропорциональный разности высот, т. е, равный а(й,— й,), где а — коэффициент пропорциональности. Найти закон изменения высоты жидкости в сосудах иад капиллярной трубкой. Попсрсчное сечение сосудов Я, и Б,. $6. Вычислительные задачи 4343. 1 кг воды, теплоемкость которой считается постоянной, а начальная температура равна з„нагревается погружеиньз1 в воду электрическим прибором, сопротивление которого !т зависит от температуры 8 линейно: !т=!т',(1+0,0048), где Я~ — сопротивление при 0'С (закон, справедливый для большиистеа чистых металлов). Термоизоляция сосуда настолько хороша, что теплоотдачей пренебрегаем.
Найти зависимость между температурой 8 и временем ( прн 0-=! =.Т, если: 1) Напряжение Е вводится равномерно от Е=О до Е=Е, в течение Т с. Вычислить с точностью до 1'С, на сколько градусов повысится температура воды к концу 10-й минуты, если за — — 0'С, Е~= 110 В, Ма=10 Ом и Т= 10 мин. 274 ГЛ. ХНА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2) Напряжение измеяяется па закону Е=Еоз!и 100пй Вычис- лить с точностью до 1'С, на сколько градусов повысится темпе- ратура воды к концу 10-й минуты, если Во=О'С, Е,=1!0 В и >?о= !О Ом. 4349.
Литр воды нагревается спиралью, сопротивление кото- рой 24 Ом. При этом вода отдает тепло окружакяцей среде, имеющей температуру 20 С (скорость охлаждения пропорцио- нальна разности между температурами тела н среды). Известно также, что если ток выключить, то температура воды понизится с 40 'С до 30 'С за !О мин. Начальная температура воды 20'С.
До какой температуры нагреется вода за 10 мин, если: 1) Напряжение вводится равномерна от Ео=О до Е,=120 В в течение 10 мин? Погрешность 0,1'С. 2) Так переменный, и напряжение изменяется по формуле Е= 110 Е!и 100я1? Погрешность 0,1'С. 4350. Дано уравнение у' = ~- — х'. Составить таблицу значений е решения, удовлетворяющего начальному условию у ~„, = 1, давая х значения от 1 да 1,5 через 0,05.
Вычисления вести до третьего десятичного знака. 4351. Вычислить при х= 1 значение частного решения диф- ференциального уравнения у' = у +х, удовлетворяющег> началь- ному условию у,'„ о = !. Вычислить затем первые пять прибли- жений уь у„ уо, у„ у, (до чегвертога десятичного знака) по методу последовательных приближений.
Сравнить результаты. 4352. Известно, что интеграл („е †"'о)х не берется в конечном аиде в элементарных функциях. Пользуясь тем, что функция к у = е" ~ е — РоУ является решением уравнения у'=2ху+ 1, вычислить о ол ~ е — '*о(х.
Воспользоваться методом последовательных приближе- о ний, ограничиваясь пятым приближением. Сравнить результат с прибли>кепным значением, вычисленным по правилу Симпсона. 4353. Функция у =) (х) является решением дифференциального уравнения у'=у' — х при начальном условии у(, о=1. Найти по методу последовательных приближений четвертое приближение (уо), ограничиваясь таким количеством слагаемых, которое необходимо, чтобы вычислить уо(0,3) с тремя десятичными знаками. Найти затем несколько первых членов разложения Г" (х) в степенной ряд; вычислить ) (0,3) также с тремя знаками после запятой и, считая ) (0,3) более точным результатом, оценить погрешность значения у,(0,3).
4354. Функция у=)'(х) является решением дифференциальноу' ! го уравнения у =-„- — -- прн начальных условиях у>„о=1, у' ~„о=0. Найти г(1,6) с точностью до 0,001, $ к Вычислительпыс задачи 275 4355*. Функция у=Г(х) является решением дифференциального уравнения у"=у' — у+х при начальных условиях р~ б — — 1, у'1,,=-О. Найти Г'(1,21) с точностью до 0,000001.
4355*. Функция р=Г(х) является решением дифференциального уравнения р"=ху' — у+в" при начальных условиях у( б=1, 1 1б р') -б=-О. Найти ~у~ с точностью до 0,0001. 4357. Линия задана уравнением у=1(х). Найти разложение функции Г(х) в ряд, зная, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению у" = хр н качальным условиям р („б=-0, у' ~„б=-1. Вычислить с точностью до 0,0001 кривизну линии в точке с абсцнссой 1. ГЛАВА ХЧ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 6 1. Тригонометрические миогочлеиы е~х ) е-Ы 4358. Пользуясь формулами Эйлера сов х= и вйпх= 2 е'" — е-ы , доказать, что функции вш'х и сов" х могут быть представлены в виде тригонометрических многочленов и-го порядка. 4369.
Доказать соотношения ая 2и 2я ~ в )по х соз тх о(х = ~ в )п" х з)п тх ох = ~ сове х соз тх е(х = о о а ео ~ сов" х Нп тхох = О, если т ) и (т и и — целые числа). о 4366. Показать, что всякий тригонометрический многочлен и-го порядка, составленный нз одних косинусов, можно представить в виде Р(сов ф), где Р (х) — миогочлеи и-й степени относительно х. 4361. С помощью формул Эйлера (см.
задачу 4358) доказать соотношение , оф (и+1)ф о)о — ооо соз ф+ сов 2ф+... + соз иф = 2 2 ого ф 2 4362. Доказать соотношения: 1) сов ф+ сов Зф+...+сов (2и — 1) ф = еп. ~'е; ир . (а+1)ф 2 2 2) з)пф+з)п2ф+...+з)пиф= о)ив ф 2 4363. Найти корни тригонометрических многочленов в)п ф+з)п 2ф+...+ яп иф и соз ф+ соз 2 р+... + соз и р на отрезке 10, 2л1, 277 з е гиды Фхгье 4364. Показать, что тригонометрический многочлен ип зч ип л~р з ! и !р + — '+... +— 2 ''' и на отрезке [О, п1 имеет максимумы в точках —,, 3 — „,, ... и 2п ал 2л и+ ! ..., (24 — !) — и минимумы в точках --, 2 —, ..., (д — !) а ' л ' '''' Л и ч+! где д=--, если и четное, и д= —, если л нечетное.
2' 2 4365", Доказать, что тригонометрический многочлен без свободного члена Ф,(!р) =ахсозгр+Ь,з!п!р+...+а„соха!р+Ь„з(п!пр, ие равный тождественно нулю„не может сохранять для всех !р постоянного знака. 3 2, Ряды Фурье 4366. Убедиться, что функция у=х'з(п — при х=~О и у=-О а.
при х=О на отрезке [ — и, и) непрерывна вместе со своей первой производной, ио не удовлетворяет условиям теоремы Дприхле. Можно ли ее разложить в ряд Фурье на отрезке [ — и, п)Р Решить задачи 4367 — 437! в предположении, что )'(х! — не- прерывная функция. 4367.
Функция Г (х) удовлетворяет условию ~ (х+ и) = — ~ (х). Доказать, что все ее четные козффициенты Фурье расны пулю (а„== а = Ьз =- а! =- Ь, =... = О) . 4363. Функция !'(х) удовлетворяет условию 1 (х + и) = ~ (х), Доказать, что все ее нечетные коэффициенты Фурье рагим пулю. 4369. Функция г(х) удовлетворяет условиям ~( — х) =-!" (х) и р'(х+и) = — ~(х). Доказать, что Ь1=Ь|=Ь~ —— ...=О и пог па=а,=...=0, 4370. Функция ((х) удовлетворяет условиям 7 ( — х) = — ~ (х) и ! (х+ и) = — 7 (х), Доказать, что по=а!=аз=...=О и Ь.,=Ь,=Ьа — —...— — О. 437!. Функция 7(х) удовлетворяет условиям: а) Г" ( — х) =7(х) и !'(х+и) =~(х); б) )( — х) = — 7(х) и ! (х+и) =~(х). Какие из ее козффициеитов Фурье обрашаются в нульр 278 ГЛ.
ХР. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 4372. Разложить в ряд Фурье функцию, равную — ! в интервале ( — и, 0) и 1 в интервале (О, и). 4373. Разложить в ряд по синусам функцию у = - — — . в интер- 4 2 вале (О, и). 4374. Используя результаты задач 4372 и 4373, получить разложения для функций у= х и у= †' . Указать интервалы, в которых полученные формулы будут справедливы. 4375. Разложить функцию у= 4- — — в интервале (О, и) в ряд по косинусам. Рис.
72 4376. Разложить функцию у=х' в ряд Фурье: !) в интервале ( — и, и), 2) в интервале (О, 2и) (рис, 72 и 73). При помощи полученных разложений вычислить суммы рядов ! 1 ! + 21 + 21 + ' ' ' + л1 + ' ' ' ' ! 1 л — ! 21+31 '''+( ) ла В задачах 4377 — 4390 разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах: 4377. Функпию у=х' в интервале (О, и) в ряд синусов. 4378. Функцию у=х' в интервале ( — и, и). 4379.
Функцию )'(х), равную 1 при — п(х(0 и равную 3 прп О<х(п. 4380. Функцию )(х), равную 1 в интервале (О, 8) и равную 0 в интервале (л, и), в ряд косинусов (Ос !1(п). 438!. Непрерывную функцию 7(х), равную 1 при х=О, равную 0 в интервале (26, и) и линейную в интервале (О, 2!!), в ряд косинусов (0(!Т~п!2).
4382. Функцию у=)х( в интервале ( — 1, 1). 4383. Функцию у=е — 1 в интервале (О, 2н). 4384. Функцию у=е." в интервале ( — 1, !). ~ ~ ряды фу ьс те вале ( — и, п,,а — не целое 4385. Функцию у=соках в интервал число). 4386. Ф нкцию дч а)пах в интервале — ( — и и) (а — не целое ун ( — целое число) в интервале (О ч) 4387. Функцию д= з1п ах !а — ц л в ряд косинусов. (а — елое число) в интервале (О, и) 4388.
Функцию у=совах,а — цел в ряд синусов. те вале ( — и, и). 4389. Функцию у=з)!ах в интерв 4390. Функцию у = сЬ х в у интервале (О, и) в ряд косинусов и ряд синусов. 4391. Разложить в ряд Фурье функцию, графвк которой изображен на рис. 74. 4392*. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изображен на рис. 75, 4393". Разложить в ряды Фурье функции, графики которых приведены на рис. 76 и 77. я Эж х~' 4394. Разложить функцию Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
