Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Коэффициент пропорциональности равен й. Уравнения в полных дифференциалах В задачах 4050 — 4057 найти общие решения уравнений: 4050. (2кк — ху') й: + (2у' — хху) ду =- О. 4051. — „" у, = ! ку — 11к(х. 4052. ехбх+(хек — 2у)к(У=О. ' х"-+у' ~хк+ук 4053. Уху-'сЬ+хх!пхду=О. 4054.
= =: ° как+уху уа'к — куу Ух +у 4056. (! + к )Гх' + у') Лх+ ( — 1 + )Гх~ + у') У к(у = О. 4057. ~-- э!и — — — соз — + 1) дх+ ~--соз — — — з!и — + --~ду=О. х у у '1 ~1 у х . х (у у хк х 1 1х к ук у ук) Интегрирующий множитель В задачах 4058 — 4062 найти интегрирующий множитель н общие решения уравнений: 4058. (х'-(-у)к(х — ХНУ=О. 4059*.
У(1+хд)<Ь-хлд О в 1. «елвнения псгаого погадка 4060. (««+уз+2х)х(х+2у1(у=О. 4061. — «1(х+(д' — 1пх)И«=О. 4062. (хсову — ув(пу)Ыд+(хв)ну+усову)Их=О. 4063. Убедиться, что интегрирующим множителем линейного уравнения „у+Р (х) «=Я(х) служит Функция е( 4064. Найти интегрирующий множитель уравнения Бернулли у'+Р(х) у=д«Я(х). 4065. Найти условия, при которых уравнение Х (х, у) с1х + )х (х, у) пу = 0 допускает интегрирующий множитель вида М=Р(х+у).
4066. Найти условия, при которых уравнение Х (х, у) 1(х + ) (х, у)((д = О допускает интегрирующий множитель вида М=Г(ху). Разные задачи В задачах 4067 — 4088 найти общие решения уравнени10 4067. д'=пх+Ьд+а. 4068. ау'+Ьу+су'"=О. 4069. д' =х —" 4070. у'=" у — х — 4' у 1 40?!. у' = —,. 40?2. у'(ух — х) =у, (х+ у)-' 4073, «.х+":"дд=О. у" и 4074 (2д+ хдз) Ых+ (х+ ххд') Иу = О. 4075. (2ху+х'у+" — ) 1(х+(ха+у') ф=О. 4076.
у' = ( +У) к (у+!) — х«' 4077. х ду + у «(х + ух (х ((у — у ()х) = О. 4078. ~ — — —,~х(х+[ — ", — (1ф=О. 4079. у' = х)Гу+ — "" . 4080. уз)п х+ д' сов х = 1. 4081. у' — у+у'совх=О. 4082. у'=~~~хм«+ " ' . х(п х см у 4083. ху' сов — = у сов — — х.
к н 4084. (хсов — „+ ув(п — ") у((х+(хсов -"- — узбп «) хду=О. 4085. у' = —" — 1Ку. 4086. у-у'совх=у'совх(1 — в(пх). 0 г. н. в«ах«х 258 ГЛ. Х!Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ к' + У* 4087. 2У1!'=е " + — '-2х. к 4088. (1+ Ек!Р) Г(Х+ Ек'У (1 — -"-1 Г(д = О. Р / 4089. Найти линию, у которой поднормаль в любой точке так относится к сумме абсциссы и ординаты, как ордината этой точки к ее абсциссе. 4090. Найти линию, обладающую тем свойством, что отрезок касательной в любой ее точке, заключенный между осью Ок и прямой у=-ах+Ь, делится точкой касания пополам. 4091. Найти линию, для которой отношение расстояния от нормали в любой ее точке до начала координат к расстоянию от той же нормали до точки (а, Ь) равно постоянной й. 4092.
Найти линию, для которой расстояние от начала координат до касательной в произвольной ее точке равно расстоянию от начала координат до нормали в той же точке. 4093*. Найти линию, обладающую следующим свойством: ордината любой ее точки есть средняя пропорциональная между абсциссой и суммой абсциссы и подиормали, проведенной к линни в той же точке. 4094.
В электрическую цепь с сопротивлением Л = 312 Ом в течение двух минут равномерно вводится напряжение (от нуля до !20 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число, выражающее индуктивность цепи в генри, равно числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от времени в течение первых двух минут опыта. 9 2. Уравнения первого порядка (продолжение) Поле направлений. Изоклины 4095.
Дано дифференциальное уравнение и' = — —. а) ПоУ' строить поле направлений, устанавливаемое данным уравнением. б) Выяснить расположение вектора поля относительно полярного радиуса любой точки поля. в) Выяснить вид интегральных кривых уравнения, исходя из поля направлений. г) Найти интегральные кривые, решая данное уравнение обычным методом (разделяя переменные), д) Указать семейство изоклин данного уравнения.
4096. Написать дифференциальное уравнение, изоклинами которого служат: 1) равнобочные гиперболы ху=а; 2) параболы 1!!=2рхй) 3) окружности х +р'=Ю 4097. Найти изоклины дифференциального уравнения семейства парабол у= ах'. Сделать чертеж. Истолковать результат геометрически. 4098. убедиться, что изоклииами однородного уравнения (и только однородного уравнения) служат прямые, проходящие через начало координат. 259 $ а уРАВнения пеРВОГО пОРядкА (пРОдолжение) 4099. Указать линейные уравнения, изоклинами которых являются прямые.
4100. Пусть уо у., у,— ордниаты трех любых изоклин неко. торого линейного уравнения, соответствующие одной абсциссе. Убедиться, что отношение "' "' сохраняет одно и то же значеуз — гп нпе, какова бы нп была зта абсцисса. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 410!. Дано уравнение у'= —,. Построить приближенно хх+ дх !о интегральную кривую, соответствующую отрезку ! (х(5, про- ходящую через точку М (1, 1), ! 4!02. Дано уравнение р' = —,, Построить приближенно интегральную кривую, соответствующую отрезку 0,5~х -3,5 и проходящую через точку (0,5; 0,5).
4103. Дано уравнение у' =ху'+х'. Применяя способ Эйлера, вычислить у при х=1, если у — частное решение, удовлетворяю- щее начальному условию у!х,=-О. Вычислить у с двумя деся- тичными знаками. 4!04. Дано уравнение у'=3~ х у'+ 1. Применяя способ Эйлера, вычислить у при х=2, если у — частное решение„удовлетворяю- щее начальному условию у!,,=О. Вычислить у с двумя деся- тичными знаками. 4!05.
Дано: уравнение у'= 2 и начальное условие у!х,=1. Решить зто уравнение точно и найти значение у при х=0,9. Далее, найти зто значение при помощи приближенного метода, разбивая отрезок [О; 0,91 на 9 частей. Указать относительную погрешность последнего результата. Зх' 4106. Дано: уравнение у' = ., ! и начальное условие хх+ у+1 у),=0. Решить уравнение точно и, пользуясь хаким-либо из приближенных методов интегрирования уравнений, вычислить значение х при у= — 1 (сравнить со значением х, получаемым прп точном решении).
4107, у' = у'+ ху+ х'. Найти по методу последовательных приближений второе приближение для решения, удовлетворяю- щего начальному условию у!х, = 1. 4!08. у'=ку" — 1. Найти при х=! значение того решения данного уравнения, которое удовлетворяет начальному условию у(х,=О. Ограничиться третьим приближением по методу после- довательных приближений.
Вычисления вести с двумя десятич- ными знаками. 9х ГЛ. Х1У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В задачах 4109 — 4116 найти несколько первых членов разложения в степенной ряд решений уравнений при указанных начальных условиях: 4109. у'=уо — х; у! -о=! 4110. у'=ходо — 1' у(„-о=1. 4111. у'=хо-уо; у)„о=О. 4112 у = — +1' у~.о-о=! ° Е 4113. у' = —,""+, У). о=О. 4114. у'=ео+ху; У! -о=О. 4115. у'=з!Иу — е1пх; у( о=О.
4116. д'=1+х+х -гд'; У1„,=1. Особые решения. Уравнения Клеро и Лагранжа В задачах 4117 — 4130 найти общие и особые решения уравнений Клеро и уравнений Лагранжа: 4117, у=ху+уо. 4118. У =ху' — Зу'о. 4119. У=ху'+ —,. 4120. У=ху'+)/1+У . 4121. У=ху'+ипу ° 4122. ху' — У =1п у'. 4123. у=уз(х+1). 4124, 2уу' = х (у'о + 4). 4125. У=ду'о+2ху'.
4126. У=х(1+У )+У 4127. у'=1п(ху' — у). 4128. У=у'(х+1)+У'. 4129. У=у'х+аУ 1 — Уо 4!30* х=у~ „—, „.) * 1У'У' и' В задачах 4131 — 4!33 найти особые решения уравнений, применяя тот же прием, какой используется в случае уравнений Лагранжа н Клеро: 413!. у о — уу'+е'= О. 4132. ху" — 2(ху — 2)у'+уо=О. 4133. у' (у' — 2х) = 2 (у — хо).
4134. Доказать теорему: если линейное дифференциальное уравнение является уравнением Клеро, то семейство его интегральных кривых представляет собой пучок прямых. 4135. Площадь треугольника, образованного касательной. к искомой линии и осями координат, есть величина постоянная. Найти линию. 4133. Найти линию, касательные к которой отсекают на осях координат отрезки, сумма которых равна 2а.
4137. Найти линию, для которой произведение расстояний любой касательной до двух данных точек постоянно. 4138. Найти линию, для которой площадь прямоугольника, 1!мс!ОЩЕ10 сторОнами касательную и нормаль в любой точке, равна площади прямоугольника со сторонами, равными по длине абсциссе и ординате этой точки.
4!39. Найти линию, для которой сумма нормали и поднормали пропорциональна абсциссе. 1 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 267 4140*. Найти линию, для которой отрезок нормали, заключенный между координатными осями, имеет постоянную длину а. 4141. Скорость материальной точки в произвольный момент времени отличается от средней скорости (от начала движения до этого момента) на величину, пропорциональную кинетической энергии точки и обратно пропорциональную времени, считая от начала движения.
Найти зависимость пути от времени. Ортогональные и изогональные траектории и эвольвенты В задачах 4 !42 — 4147 найти траектории, ортогональные данным: 4!42. Эллипсам, имеющим общую большую ось, равную 2а. 4143. Параболам у'=4(х — а). 4144. Окружностям х'+у'= 2ах. 4145. Циссо идам (2а — х) д' = х'". 4146. Равным параболам, касающимся данной прямой, причем для каждой параболы точкой касания служит ее вершина. 4147. Кругам одного радиуса, центры которых лежат на дан- ной прямой линни. 4148. Найти семейство траекторий, пересекающих под углом а=50' липни х'=2а(у — хУ 3).
4149. Найти изогональные траектории семейства парабол у'= 4ах; угол пересечения а=45'. 4!50~. Найти линии распространения звука по плоскости от неподвижного источника звука, лежащего в той же плоскости, если вдоль какого-либо направления дует ветер с постоянной скоростью а. В задачах 4!51 — 4!54 найти эвольвенты линий: 415!. Окружности х'+у'= Й'. к 4152. Цепной линии у=асЬ вЂ”, а' 4153. Эвольвенты окружности х = а(соз(+ (з!и!), у= = а(, (и( — (сов |).
4154. Полукубической параболы у=3(а, х= — 2Р. 6 3. Уравнения второго и высших порядков Частные случаи уравнений второго порядка В задачах 4!55 — 4!82 найти общие решения уравнении: 4155. д"=х+з!пх. 4!56. у"=агс!8х. 4157. у"=!Пх. 4158. хд"=у'. 4!59. у'=у'+х. 4160. у"= -+х. 4161. (1 + х') д" + (у')а + ! = О. 4162.
ху" =у' 1п ~—— . 4163. (д")а=у. 262 гл. хнл диефвгвнцнольныв квлвнвния 4164. 2хуу"=(у')о+1. 4165. д' — 2с!6х у'=з1пох. 4166. 1+ (У')' = 2У(г". 4167. (У')о+ 2УУ" = О. 4168. аоу" — У=О. 4169. у" ==. о )/у 4170. у" + — (у')о=О. 4171. Уу" +(у')'=1, 4172. Уу'= (у')о. 4173. 2уу" — 3 (у')о = 4У'. 4174. У(1 — 1пу) у'+(!+1п у) (д')о= — О. 4175. у"=2дд'. 4!77.
Уу" — (У')'=у'у'. 4178. Уу"-уу'!пу=(у')о. 4180. (х+ а) у" + х (у')' = у'. 4181*. Уу'у" = (у')о+ (у')о. 4!82. ху — — (у")о — У'=О. 1 В задачах 4183 — 4188 решить уравнения при помощи подходящей подстановки уу'=р, (у')'=-р, ху =р, — =р и т. и.: ' У 4183. хуу" +х(у')'=Зуо'. 4184. ху" =у'(ео — 1). 4! 85. Уу" + (у')' = х.
4186. у'+ — у' — -~ =О. 4!87, х'у —,, — ~х - — у) =О. 4188. Уу"= у'(2)/уу' — д'). как г еу ~о В задачах 4189 — 4199 найти частные решения уравнений при указанных начальных условиях." 4!89. у" (хо+1)=2ху', у~ -о=1. д')о-о=З. 4190. ху" +х(у')' — у'=О; у), о=2„у'! о=1. 4! 91. у' = ~ — + д~„,.=о, д'~„,=4. 4192 2У"=Зу'; у1о о=!, у'(о — о= — 1. 4193..дд"=(у)о — (у')', у!.,=1, у'!л х — — — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
