Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 38
Текст из файла (страница 38)
3690. Найти массу шара радиуса )т, если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния равна у. 3691. Вычислить массу тела, ограниченного параболоидом х»+у»=2аг и сферой х'+у'+г»=За» (г)0), если плотность в каждой точке равна сумме квадратов координат. 3692*. Плотность шара х»+у»+г»~2)гг в любой его точке численно равна квадрату расстояния этой точки от начала координат. Найти координаты центра масс шара.
3693». Найти статический момент обшей части шаров х'+ + у'+г'(Р» и х'+уг+г'(2)гг относительно плоскости Оху. Плотность в любой точке тела численно равна расстоянию этой точки от плоскости хОу. 3694». Доказать, что момент инерции тела относительно какой-либо оси равен Ма»+1„где М вЂ” масса тела, и' — расстояние от оси до центра масс тела, а Г,— момент инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей чеРез центр масс тела (теорема Штейнера; ср. с задачей 3662). Основываясь на законе всемирного тяготения Ныптона (см, указание перед задачей 2670), решить задачи 3605 — 3698. 3695. Дан однородный шар.радиуса К с плотностью у.
Вычислить силу, с которой он йритягивает материальную точку массы т, находящуюся иа расстоянии а (а>Й) от его цещра. 8» 323 гл. хп. миогомегныв иитяггллы и кгхтноа интягпиговлния Убедиться, что сила взаимодействия такова, как если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. 3698*. Доказать, что ньютонова сила взаимодействия между двумя однородными шарами такова, как если бы массы шаров были сосредоточены в их центрах.
3697. Дан неоднородный сплошной шар х'+ ух+ Р ~ )г* с плотностью, меняющейся по закону у=Ха'. Вычислить силу, с которой он притягивает материальную точку с массой т, если она находится на оси г на расстоянии 2)г от центра шара. 3698. Дано однородное тело, ограниченное двумя концентрическими сферами (шаровой слой). Доказать, что сила притяжения этим слоем точки, находящейся во внутренней полости телец равна нулю. Центром давления называется точка приложения равнодействующей всех сил давления на данную плоскую фигуру (все силы давления перпендикулярны к плоскости фигуры).
При определении координат центра давления исходят из того, что статический момент результирующей силы (т. е. давления на всю площадку) относительно любой оси равен сумме статических моментов отдельных сил относительно той же оси. Опираясь иа это, решить задачи 3699 — 3701.
3699. Найти центр давления прямоугольника со сторонами а и Ь (а) Ь), у которого ббльшая сторона расположена вдоль свободной поверхности жидкости, а плоскость прямоугольника перпеидикулярца к этой поверхности. Показать, что положеии центра давления относительно прямоугольника не изменится, если плоскость прямоугольника будет наклонена к поверхности жидкости под углом а (а~О). Как изменятся предыдущие результаты, если бдльшая сторона а расположена не на поверхности жидкости, а на глубине Й (оставаясь параллельной поверхности)? 3700.
Треугольник с высотой Ь расположен в плоскости, наклоненной под углом а к свободной поверхности жидкости. На какой глубине лежит центр давления этого треугольника, если: а) Основание треугольника лежит на поверхности жидкости? б) Вершина лежит на поверхности, а основание параллельно ей? 3701. Найти центр давления фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями а и Ь (а'- Ь), при условии, что большая пз осей перпендикулярна к поверхности жидкости и верхний конец этой осн находится на расстоянии Й от поверхности. 3702'.
Доказать, что давление жидкости на плоскую площадку, произвольным образом погруженную в жидкость, равно весу цилиндрического столба этой жидкости, находящегося над площадкой, при условии, что она лежит горизонтально на глубине своего центра масс. заа гл, хп, многомееныв интвгвалы и келтное интегьиловенив 3720.
ехеуае 11 3'(~":~~~И ! г эгле» 3721 1 (! 1 И*И 3722. ~ ~ ~ (...-,, Нхду й. 3723. Вычислить интеграл ~ ~~ 1п(х'+у'+г)дхдудг, где область Я вЂ” шар радиуса )т с центром в начале координат. 3724». Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью г=(х'+у')е-и'+М! н плоскостью г=О, 3725, Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью г=х'уье™+»*> и плоскостью г=О.
3726. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью г=О и частью поверхности г= хе-<"'+и), лежащей над этой плоскостью 3727. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым цилиндром (радиус основания )т, высота Н, плотность у). Найти силу, действукхцую на точку с массай и, находящуюся вцентре основания цилиндра. 3728.
Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым конусом (радиус основания Я, высота Н, плотность 7). Вычислить силу, с которой тело притягивает точку массыт, помещенную в вершине конуса. 3729. Дан неоднородный сплошной шар радиуса )т, плотность которого у связана с расстоянием от центра г соотношением у = =а — Ьг (а- О, Ь)О). а) Найти константы а и Ь, если известно, что средняя плотность шара равна у„а плотность на поверхности шара равна 7».
б) Вычислить силу притяжения шаром точечной массы гп, расположенной на поверхности шара. Интегралы, зависящие от параметра. Правило Лейбница 1 ег 3730. Найти область определения функции ((х) = ! =. .! г'х'+я' 2л Г Илах 373!. Найти кривизну линии у= е! — „е(а в точке с абс.- циссой х= 1. ь Г лх ! 3732. Используя равенство ~ + — — — 1п(! -(-аЬ), получить ь б. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ путем дифференцирования по параметру следующую формулу: ь Ъ ь 3733. Исходя из равенства ) . = - агс13 —, вычислить ,) аь+х' а а ' ь интеграл ~ —.
ах (хь+аь)ь ' о +ос +ОД 3734. Исходя нз равенства ~ —. =-, вычислить ~ ах я ах аь+ кь 2а ' (хь-! аь)о о (л — целое положительное число). +аз 3736. Вычислить значение интеграла ~ е хх"-'с(х (л — целое о положительное число) при а- (), найдя предварительно ) е-ах)(х. 3736'. Исходя из равенства (см, задачу 9318) Я/2 2 2 2 Нх я аьсоььх-(-Ььь)пьх 'г,аЫ ' нанти ах (аь соьь х -(-Ьь Мпь х)2 ' о В задачах 3737 — 3?49 вычислить интегралы с помощью дифференцирования по параметру: +со + ОЭ ь-ах -ах' 3737.
— дх (а ~ — 1). 3738. ~ — „2(х (а'- — !). о ! ! 3739. ~ с)х. о ! о ' Ь !'! — х' ~' )и(!+аоих) Ь я/2 3744. ~ 1п( ) —.„(о'(1) ° д 232 ГЛ. ХН. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ +СО .1. со а-ас' + О— 3745. ~ ~, с(х (а'= О), зная, что ~ е- 'с(х= 2-~/ о о (а)0) (см. задачу 2439).
— ас' — Ьх' 3746а. ~, с(х (а>0, Ь>0). 3747О ~' е ах Япбх — Мпсхс( (О О) к 5 + СО 3748. ~ е-ах — ''":" г(х (а )О). о ам 3749*. ~ 1п(ахсозах+Ьазгпах)с(х. о 3750. Вычислив интеграл ~ г(х, найти ~ — г(х. агс1д (о 1Е х) . 1' х 1кх ' З 1ах Ь о 1 ! 3751. Используя равенство ~ х" г(х = —, вычислить интеграл о+1 ' 1 ха — ко — с(х (а- — 1, () > — )).
+ СО 3752. Используя равенство 2а ') е — "х'с(х=)с и (см. задачу Ь +со 2439), вычислить интеграл ~ (с-ач"' — о-очс*)с(х. о +со 3753. Из соотнонгения ~ е-"сгг= — (интеграл Пуассона) ны- 2 о -1- » 1 2 Г вести равенство —,.—.= —, е-схс(е (х)0) и использовать его )с х Г'В для вычисления интегралов (интегралы дифракции или Фрренеля: -1- со Разные задачи 3754. Пусть функция )(х) непрерывна нри х~О и прн х-~ -Р+ОО ((х) стремится к конечному пределу )(+ОО).
Доказать Ь о. несОБстВенные интеГРАлы +СО при этих условиях, что если а)0 и Ь)0, то ~ сакс Пь~)«Гх= о = (Г' (+ СО) — ) (0)1! п - -. В задачах 3755 — 3756 вычислить интегралы, пользуясь результатом задачи 3754: +СО + СО опн» ак — ОЫЕ Ьх е """ — е О.О ах. 3756. ~ е(х (и ~ 0). +СО 3757*. Пусть функиия 1(х) непрерывна при х~0 и «)(к)бх х сходится при любом А~О. Доказать при этих условиях, что если а)0 н Ь)0, то ) «(х=1(0) )п--.
(Ср. с зада- Г ((ак'с — ((Ьк1 Ь х а' чей 3754.) В задачах 3758 †37 вычислить интегралы, пользуясь результатом задачи 3757 (а)0, Ь)0): + СО -1-ОС 3758. «(х. 3759. ( ' «(х к ,) х о +СО +СО 3760. «сп ах ксп Ьк ( 37 ! ° Г Ь Нпах — а Ип Ьк х. 6 . ~ . с«к. хк 3763*. Функция Лапласа Ф (х) определяется так: Ф (х) =- к — е-' Й (эта функция играет большую роль в теории вероятностей). Доказать соотношения: к -О'К' -С- ОС 1) ~Ф(аг)«(г= .
+хФ(ах); 2) ~ (1 — Ф(х))ах=— Ь 3764, Функции гй(х) и с1 (х) обычно определяются так: +О аМ сй (х)= — ~ —,йГ («интегральный синуск) и с((х) = — 1 — «(( к ,) («интегральный косинус»). Доказать, что +»» +СО з)п х з) (х) «(х = соз хе| (х) е(х = — — ". 4 ' 234 Гл, хп мнОГОмеРные интеГРАлы и кРАтнОе интеГРиРОВАние 3765*. Функция,1,(х), определяемая равенством ,7о (х) = -„- ~ соз (х з1п 8) ов, г 1' Ь называется функцией Бесселя нулевого порядка. Доказать, что: 1) ~ е "7о(х) дх= ' (а.о О); +О я~2, если а ==: 1; 2) †"„ Уо (х) е(х = агсз1п а, если ~ а ~ ~ 1; — н/2, если а~ — 1. +ОЪ 3766.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
