Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 33
Текст из файла (страница 33)
3280. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = =хг+2хд — 4х+Зу в прямоугольнике, ограниченном прямыми х=О, у=О, х=1, у=2. 3281. Найти наибольшее значение функции г=хгу(4 — х — у) в треугольнике, ограниченном прямыми х=О, у=О, х+у=6. 3282. Найти наибольшее и наименьшее значения функции е-х'-г'(2хг+ Зуг) в круге ха+да~4. 3283. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г=з)пх+з(пу+з!п(х+у) в прямоугольнике О~х -.л!2, 0( =д=ал/2. 3284.
Разложить положительное число а на три положительных слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим. 3285. Представить положительное число а в ш!де произведения четырех положительных множителей так, чтобы их сумма была наименьшей. 3286. На плоскости Охд найти точку, сумма квадратов расстояний которой ог трех прямых х=О, д=О, х+2д — 16=0 была бы наименьшей.
3287. Через точку (а, Ь, с) провести плоскость так, чтобы объем тетраэдра, отсскаемого ею от координатного трехгранника, был наименьшим. 202 гл, х!. пеименвния днеееевнцилльного исчислвния 3288. Даны л точек: Ах(хм ум гх), ..., А„(х„, у„, г,). На плоскости Оху найти точку, сумма квадратов расстояний которой от всех данных точек была бы наименьшей. 3289. Даны три точки А(0, О, 12), В(0, О, 4) и С(8, О, 8). На плоскости Оху найти такую точку Р, чтобы сфера, проходя. щая через А, В, С и Р, имела наименьший радиус. 3290.
В данный шар диаметра 2Я вписать нрнмоугольный параллелепипед наибольшего объема. Условные экстремумы В задачах 3291 †32 исследовать функции иа экстремум. 3291. г=х'"+у (л! 1) при х+у=2 (х~О, у~б). 3292. г=ху пря х'+у'=2а'. 1 1 1 1 1 3293. г= — +-- ири — + — = —. х у хх у' а' 3294. г=асоэ" х+Ьсоз'у при у — х= —.
4 1 1 ! 3296. и = х+ у+ г при — + — + — = 1. х я х 3296. и=хуг при: 1) х+у+г=5, 2) ху+хг+уг=З. 3297'. Доказать справедливость соотношения х,'+х'+.„+х„' (х +хе+...+х„)а я а 3298. 1(х, у) = х' — Зху'+18у, причем Зху — у'-бх= О. Доказать, что функция Г(х, у) достигает экстремума в точках х=у ~ -+. $/"3. 3299. Най!ти минимум функции и=ах'+Ьух+сгх, где а, Ь, с— положительные постоянные, а х, у, г связаны соотношением х+у+г=-1. 3300. Найти наибольшее и наименьшее значения функции и=у'+4гх — 4уг — 2хг — 2ху при условии 2х'+Зу'+бг'=1.
3301, На плоскссти Зх — 2г=О найти точку, сумма квадратов расстояний которой от точек А (1, 1, !) и В(2, 3, 4) была бы наименьшей. 3302. На плоскости х+у — 2г=О найти точку, сумма квадратов расстояний которой от плоскостей х+Зг= 6 и у-!-За=2 была бы наименьшей. 3303. Даны точки А(4, О, 4), В (4, 4, 4); С(4, 4, О), На по.
верхности шара хе+ уг+г'=4 найти такую точку В, чтобы объем пирамиды ВАВС был: а) наибольшим, б) наименьшим. Проверить ответ элементарно-геометрическим путем. 3304. Найти прямоугольный параллелепипед данного объема' 'т', имеющий наименьшую поверхность. $ ь ФоРмулА танлоРА.
экстРемумы Функций мз 3306. Найти прямоугольный параллелепипед данной поверхности Я, имеющий наибольший объем. 3306. Найти объем наибольшего прямоугольного параллеле. пипеда, который можно вписать в эллипсоид с полуосями а, Ь и с. 3307. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линей. ными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме? 3308. Сечение канала имеет форму равнобочной трапеции данной площади.
Как выбрать его размеры, чтобы омываемая поверхность канала была наименьшей (рис. 6!)? 3309. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную диагональ, найти тот, объем которого а наибольший. 3 3310. Указать наружные размеры открытого (без крышки) ящика формы прямоугольного параллелепипеда с заданной толщиной стенок а и объемом У, чтобы на него пошло наименьшее количество материала. 3311. Найти наибольший объем параллелепипеда при данной сумме 12а всех его ребер. 3312. Около данного эллипса описать треугольник с основанием, параллельным большой оси, площадь которого была бы наименьшей. хх ух 3313. На эллипсе 4 + в — — 1 найти точки, наименее и наиболее удаленные от прямой Эх+у — 9=0. 3314.
На параболе ха+2ху+уз+4у=О найти точку, наименее удаленную от прямой Зх — бу+4=0. 3316. На параболе 2х' — 4ху+ 2уз — х — у = 0 найти точку, ближайшую к прямой 9х — 7у+16=0. 3316. Найти наибольшее расстояние точек поверхности 2хх+ +Зух+2ах+2хг=б от плоскости г=О. 3317. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данной площади 5 наименьший периметр. 3316. В прямой эллиптический конус, полуоси основания которого равны а и Ь, высота Н, вписана призма с прямоугольным основанием, так, что стороны основания параллельны осям, а пересечение диагоналей основания лежит в центре эллипса.
Каковы должны быть стороны основания и высота этой призмы, для того чтобы ее объем был наибольшим? Каков этот наибольший объем? 3319. Найти правильную треугольную пирамиду заданного объема, имеющую наименьшую сумму ребер. 3320, На эллипсе даны две точки; найти на том же эллипсе ЗО4 гл. хс применения диееаренцихльиого исчисления третью точку так, чтобы треугольник, имеющий верщинами указанные точки, был наибольшим по площади. 332!. К эллипсу,—, + -;= ! провести нормаль, наиболее уда. ленную от начала координат. 3322. На эллипсоиде вращения -+дг+г*=! найти точки, наименее и наиболее удаленные от плоскости Зх + 4у+ 12г = 288. 3323.
Даны плоские линии Г(х, у) =0 и ~р(х, у) =О. Показать, что экстремум расстояния между точками (а, 6) и (5, и), лежащими соответственно нз этих линиях, имеет место при выполнении следующего условия: д)) де дх)с = и дх ~; = а с=а хь=-ч Р— Чд~др дд )х = х ду ~, = ! у=а Ф=ч Пользуясь этим, найти кратчайшее расстояние между эллипсом ха+2ху+5у' — 16у=О и прямой х+у — 8=-0. 6 2.
Плоские линии Касатсльныс и нормали В задачах 8324 — 3327 написать уравнения касательной и нормали к линиям в указанных точках. 3324. хад+фх=З вЂ” хгдг в точке (1, 1). 3325. а'(х'+у') — х'ух=9а' в точке (а, 2а). 3326. соя ху=х+2д в точке (1, 0). 3327. 2ха — х'у+Зх'+4ху — 5х — Зд+6=0 в точке ее пересечения с осью Оу. Особые точки В задачак 3328 — 3340 найти особые точки линий. 3328. у' = х' (х — 1). 3329.
а'х' = (ха+ уг) ут, 3330. д' = ах'+ ух'. ЗЗЗ!. у' = х (х — а)'. 3332. хмг+у'~~=а~~~. 3333, х'+у4 — 8х' — 1Оуе+ !6=0. 3334. х'+ 12х' — бу'+ Збх'+ 27у' — 81 = О. 3335. х'+у'+Заху =О. 3336. х' +у' =х'+у'. 3337, у=х!пх. 3338. у'=з1п'х. 3339.
у'= (х — а)'. 3340, х'= (у — «')'. з х плоские линии Огибающие 206 334!. Найти уравнение огибающей семейства прямых у = ах+1(а). В частности, положить г(а) =сова. 3342. Найти огибающую семейства прямых у=2тх+гп'. 3343. Через точку А(а, О) проведен пучок прямых. Найти огибающую семейства нормалей, проведенных к прямым зтогп пучка в точках их пересечения с осью Оу. 3344. Найти огибающую семейства парабол у'=а(х — а).
3345. Найти огибающую семейства парабол ах'+ а'у= 1. 3346. Найти огибающую семейства парабол у = а' (х — а)'. 3347. Найти огибающую семейства полукубическнх парабол (у — а)'=(х- )'. 3348. Найти огибающую семейства линий х'+ау'= а'. ы п2 3349. Найти огибающую семейства эллипсов —,+~=1 при условии, что сумма полуосей каждого эллипса равна й. 3350. Радиусы окружности проектируются на два ее взаимно перпендикулярных диаметра и на проекциях,как на полуосях, строятся эллипсы.
Найти огибающую полученного семейства эллипсов. 3351. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центры на параболе у=Ьх' и проходящих через ее вершину. 3352. Прямая движется так, что сумма длин отрезков, отсекаемых ею на осях координат, остается постоянной н равной а. Найти огибающую полученного семейства прямых. 3353. Найти огибающую диаметра круга, катящегося без скольжения по данной прямой (радиус круга Й).
3354. На хордах круга (радиуса )г), параллельных заданному направлению, как иа диаметрах, описываются окружности. Найти огибающую этого семейства окружностей. 3355. Прямая движется так, что произведение отрезков, отсекаемых ею на осях координат, равно постоянной величине а. Найти огибающую этих прямых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
