Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 37
Текст из файла (страница 37)
3602". Области, ограниченной линией (х'+у«)*=2ах». 3603. Области, ограниченной линией (х»+у')'= х'+ у'. 3604. Области, ограниченной 'линней (х'+ у')' = 2а'(х' — у») (лемниската Бернулли). 3605. Области, ограниченной линией х» +у'= 2ху, лежащей в первом квадранте (петля). 3606. Области, ограниченной линией (х+у)' = ху, лежащей в нервом квадранте (петля). 3607. Области, ограниченной линией (х+у)»=х'у', лежащей в первом квадранте (петля). 3608*. Области, ограниченной линией ) (ат+Ь») с»' ) (4 + 9) аз Объем тела. 11 В задача)( Зб09 — 3620 ьычислить тройным интегрированием объемы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в условии задач параметры считаются положительными): 3609. Цилиндрами г=4 — у' и г=у'+2 и плоскостями х= ~ — 1 и х=2. ! 4.
ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2П 36!О. Параболоидами г=ха+уа и г=ха+2уа и плоскостями у=х, у=2х и х= 1. 36!1. Параболоидами г = х'-1-у' и г = 2х'+ 2у', цилиндром у=х' и плоскостью у=х. 3612. Цилиндрами г=!п(х+2) и г= 1п(6 — х) и плоскостями х=О, х+у=2 и х — у=2. 3613'. Параболоидом (х — 1)'+у'=г и плоскостью 2х+г=2.
3614а. Параболоядом г=х'+у' и плоскостью г=х+у. 3615'. Сферой х'+у'+за=4 и параболоидом х'+у'=Зг, 3616. Сферой ха+ у'+ г' =Яа и параболоидом х'+у' =а а= )1 ()1 — 2г) (а~О). 3617. Параболоидом г=х'+уа и конусом га= ху. 3618. Сферой х'+у'+г'=юг — ЗИа и конусом за= 4 (х'+у') (имеется в виду часть шара, лежащая внутри конуса). 3619а. (х*+у'+г')'= аах. 3620. (х'+у'+г')'=ахуг.
3621. (ха+уа+га)ае нага. 3622. (ха+ух+ах)а= —. ха+ух 3623. (ха+ух+га)а=па(ха+ух)а 3624. (ха+ уа)а + га = айаг. 3625, х'+ уз+ г'=1, х'+у'+г'=16, за =х'+у', х= О, у=О, Е=О (х~О, у~О, г~О). Площадь поверхности 3626. Вычислить площадь той части плоскости бх+Зу+2г=* 12, которая заключена в первом октанте. 3627. Вычислить площадь той части поверхности га=2ху, которая находится над прямоугольником, лежащим в плоскости г=О и ограниченным прямыми х=О, у=О, х=З, у=б. 3628. Найти площадь части конуса га=ха+уа, лежащую над плоскостью Оху н отсеченную плоскостью а=3~ 2 (-2-+ 1). В задачах 3629 — 3639 найти площади указанных частей данных поверхностей: 3629. Части г'=х'+у', вырезанной цилиндром га=йру.
3630. Части Уа+га =ха, лежащей внутри цилиндра ха+уа=Ю 363!. Части у'+г'=х', вырезанной цилиндром ха — у'=а* н плоскостями у=Ь и у= — Ь. 3632. Части га=4х, вырезанной цилиндром у'=4х н плоскостью х= 1. 3633. Части г=ху, вырезанной цилиндром х'+у'=)1а. 3634. Части 2г=х'+у', вырезанной цилиндром х*+у'=1. 3635. Части х'+у'+г'=а', вырезанной цилиндром ха+уз= )(а ()( ~ а). 3636. Частя ха+уа+га=гса, вырезанной цилиндром ха+ух Ях. а34 ГЛ. ХН,МНОГОМяяимя НитятяЛЛЫ И КяатНОя Иитятянспааиня 3637. Части х' + у3 + аВ = Я3, вырезанной поверхностью (хй + у3)В ):22 (кВ уВ) 3638. Части я= — „", вырезанной поверхностями к'+у'=1, ХВ+у3' кз+у3=4 и лежащей в первом октанте.
3639. Части (хсоз4х+ уз!па)В+гВ=аВ, лежащей в первом октанте (а(п)2). 3640*. Вычислить площадь части земной поверхности (считая ее сферической при радиусе й в:6 6400 км), заключенной между меридианами 4р = 30', 4р= 60' и параллелями 6 = 45' и 6 =60'. 3641. Вычислить полную поверхность тела, ограниченного сферой кВ+ уВ+ еВ = Заа и пар аболоидом ха+ уВ = 2аг (а ) 0).
3642. Оси двух одинаковых цилиндров радиуса )с пересекаются под прямым углом. Найти площадь части поверхности одного из цилиндров, лежащей в другом. Моменты и центр масс В задачах 3643 — 3646 найти двойным интегрированием статические моменты однородных плоских фигур (плотность 7 = 1): 3643. Прямоугольника со сторонами а и Ь относительно стороны а. 3644. Полукруга радиуса Я относительно диаметра. 3645. Круга радиуса )с относительно касательной. 3646. Правильного шестиугольника со стороной а относительно стороны. 3647. Доказать, что статический момент треугольника с основанием а относительно этого основания зависит только от высоты треугольника.
В 2 3648 — 3632 й 2Г РР 2 Р масс однородных плоских фигур; 3648. Фигуры, ограниченной верхней половиной эллипса, опирающейся на большую ось. 3649. фигуры, ограниченной синусоидой у=з(пк, осью Ох и прямой х= п)4. 3650. Кругового сектора, соответствующего центральному углу а (раднус круга й).
3651. Кругового сегмента, соответствующего центральному углу а (ради»с круга й). 3652. Фигуры, ограниченной замкнутой линией уВ =к — к' (к- 0). В задачах 3653 — 3659 найти моменты инерции однородных плоских фигур (плотность 7=1): 3653. Круга радиуса й относительно касательной. 3654. Квадрата со стороной а относительно вершины. 3655. Эллипса с полуосями а и Ь относительно центра. Э Ь ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОИНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 3658. Прямоугольника со сторонами а и Ь относительно точки пересечения диагоналей. 3657.
Равнобедренного треугольника с основанием а и высотой и относительно вершины. 3858. Круга радиуса )г относительно тачки, лежащей нз окружности. 3659. Сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси, относительно вершины параболы (длина хорды О, «стрелка» )а). 3660. Доказать, что момент инерции кругового кольца относительно центра в два раза больше момента инерции относительно любой оси, проходящей через центр кольца и лежащей в его плоскости.
3661. Доказать, что сумма моментов инерции плоской фигуры г относптелыю любой пары взаимно перпендикулярных осей, лежащих в одной плоскости с этой фигурой и проходящих через неподвижную точку О, есть величина постоянная. 3662а. Доказать, что момент инерции плоской фигуры относительно какой-нибудь оси ранен Ме(а+ 7„ где М вЂ” мааса, распределенная на фигуре, е( — расстояние от оси до центра масс фигуры, а 7, — момент инерции относительно оси, параллельной даннои и проходящей через центр масс фигуры (теорема Штейнера). В задачах 3663 — -3665 найти статические моменты однородных тел (плотность 7=1): 3663.
Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с относительно его граней. 3664. Прямого круглого конуса (радиус основания )т, высота Л) относительно плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию. Ра аа 3665. Тела, ограниченного эллипсоидом —, +„-, +,и = 1 и плоскостью Охд, относительно этой плоскости. В задачах 3666 — 3672 найти центры масс однородных тел, ограниченных данными поверхностями: 3666. Плоскостями х=О, у=О, г=О, х=2, у=4 и х+у+ -1- г = 8 (усеченный параллелепипед).
ха уа га 3667. Эллнпсоидом -, + —, +;,-=1 и координатными плоскостями (имеется в виду тело, расположенное в первом октанте). Ра 3668. Цилиндром г=-- и плоскостями х=О, д=О, г=О и 2х+Зу — 12=0. 3689. Цилиндрамн у=Кх, у=23~к н плоскостями г=О и х-(-г=б, И Г. Н. Бераеаа гга гл. хп. многомееные интегеллы и хваткое интегеиаовлние 3670.
Параболоидом г= — и сферой х'+ у'+ г' = За' (г~0). у2+уЗ 2а 3671. Сферой х'+у'+ге=!г' и конусом г(йа=3Гх'+у'(ша розой сектор). 3672. (х'+ уз+ гз)' = а'г. В задачах 3673 — 3574 найти центры масс однородных поверхностей: 3673. Части сферы, заключенной в первом октанте. 3674. Части параболоида х' +у' = 2г, отсеченной плоскостью г= !. В задачах Зб75 — 3680 найти моменты инерции однородных тел с массой, равной М. 3675. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с относительно каждого из ребер и относительно центра масс. 3676.
Шара радиуса )г относительно касательной прямой. хФ у~ м 3677. Эллипсоида ч+;+-; =1 относительно каждой из трех его осей. 3678. Прямого круглого цилиндра (раднус основания )7, высота Н) относительно диаметра основания и относительно диаметра его среднего сечения. 3679. Полого шара внешнего радиуса )т, внутреннего г относительно диаметра. 3660. Параболонда вращения (радиус основания )7, высота Н) относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно к оси вращения (экваториальный момент). В задачах 368! †36 вычислить моменты инерции указанных частей однородных поверхностей (масса каждой части равна М): 3681. Боковой поверхности цилиндра (радиус основания )7, высота Н) относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной к осн цилиндра.
3682. Части параболоида х'+у'=2сг, отсеченной плоскостью г=с, относительно оси Ог. 3683. Боковой поверхности усеченного конуса (радиусы оснований Я и г, высота Н) относительно его оси. Разные злдачн 3684. Найти массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и иа углах квадрата равна единице.
3688. Плоское кольцо ограничено двумя. концентрическими окружностями, радиусы которых равны Й и г (Я~г). Зная, чта Ф 4 пянменяння двонных и тэоиных нитягяхлов ягг плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность иа окружности внутреннего круга равна единице. 3686. На фигуре, ограниченной эллипсом с полуосями а и Ь, распределена масса так, что плотность ее пропорциональна рас. стоянию от большой оси, причем на единице расстояния от втой оси она равна у.
Найти всю массу. 3887. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями, радиусы которых равны г и К (Я)г). Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра сфер и на расстоянии, равном единице, равна у, найти всю массу тела. 3688. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса )т и высоты Н, если его плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.
3689'. Вычислить массу тела, ограниченного круглым конусом, высота которого равна И, а угол между осью и образующей равен а, если плотность пропорциональна и-й степени расстоя. ния от плоскости, проведенной через вершину конуса параллельно основанию, причем на единице расстояния она равна у (л) О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
