Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(4,4, 41 3820. к44х+У4ГР+ххх вдоль прямой линии. О,1, П р'х4+у4+х4 — х — у+2х 3821. )у'4(х+гз4(у+х*4(г, где 4.— линия пересечения сферы ха+уз+ЕЕ=)тз и цилиндра хз+уз=)тх ()т )О, г~О), обходимая при интегрировании против часовой стрелки, если смотреть нз начала координат. Формула Грина В задачах 3822 †38 криволинейные интегралы по замкнутым контурам Ь, взятые в положительном направлении, преобразовать в двойные интегралы по областям, ограниченным этими контурами. 3822.
~ (1 — х') у 4(х+ х (1+ у') 4(у. 3623. ) (Ехт+ 2х соз у) 4(х+ (ехх — хх ып у) 4(у. 3624. Вычислить двумя способами интеграл задачи 3822, если контуром интегрирования А. служит окружность хх+уз=я': 1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина. 3823. Вычислить )(ху+х+у)4(х+(ху+х — у) 4(у, где А'.: 1) эллипс —, + —, = 1; 2) окружность х'+ уз = ах. Интегрирование ведется в положительном направлении.
(Вычисление провести двумя способами: 1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина.) гл. хнп квиволинаиныа интагвалы 3626. Доказать, что интеграл ) (ух'+ ет) Их+ (ху'+ хех - 2у) с1у равен нулю. если Š— замкнутая линия, симметричная относительно начала координат. 3827. С помощью формулы Грина вычислить разность между интегралами 1~ = ~ (х+ у)' бх — (х — у)' Иу АмВ ,(2 — ) (х+ у)й гЬ вЂ” (х — у)3 бу, Алв где Ат — отрезок прямой, соединяющей точки А (О, О) и В (1, 1), а А В — дуга параболы у = х'. 3828, Показать, что интеграл ) (хсоз(М, х)+уз(п(У, х)) бз, с где (М, х) — угол между внешней нормалью к линии и положительным направлением оси абсцисс, взятый по замкнутому контуру Е в положительном направлении, равен удвоенной площади фигуры, ограниченной контуром В.
3829. Доказать, что величина интеграла ) (2ху — у~цх+х'ду, с где 1. — замкнутый контур„равна площади области, ограниченной этим контуром. 3830. Доказать, что интеграл ~ ~р (у) Их+(хр' (у)+х'") ду равен с утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры, ограниченной контуром 1., относительно оси ординат. Независимость интеграла от контура интегрирования. Отыскание пер во образной В задачах 3831 — 3835 проверить, что интегралы, взятые по замкнутым контурам, равны нулю независимо от вида функций, входящих в подынтегральное выражение. 3831. ~ср(х)Йх+ф(у) Иу.
3832. $~(ху) (удх+хду). 3833. ~ ~ (~~-) —. 3834. $Д(х+у)+~(х — у))сЬ+(1(х+у) — 1(х — у))пу. 4 2. КЕИВОЛИНВИНЫВ Интатвалы по Кооелинатам 24! 3835. ~~(ха+уа+ха) (х<(к+у<(у+г<3г). 38383. Доказать, что интеграл 2 „,+,, взятый в положи. Г х7<У-У7Ы Ф+уа 'с тельном направлении по любому замкнутому контуру, заключающему внутри себя начало координат, равен 2п. 3837 Вычислить . 4У вдоль окружности х + уа = ( в положительном направлении. В задачах 3838 — 3844 вычислить криволинейные интеграль) от полных дифференциалов: <2, 3) <2, 11 3838.
) у <(х+ х <(у. 3839. ~ 2ху п)х+ ха <(у, <-1. 2) <а, а) <3. 12) 2 а)3+ а НУ 3840, ~ „,, ".," (начало координат не лежит на контуре <3, .) интегрирования). 3841., где точки Р, и Р, расположены на копцен(г 3«3+~АУ )7 37+у' трических окружностях с центрами в начале координат и радиусами, равными соответственно Й) и )(2 (начало координат не лежит на контуре интегрирования). П,),3) <3, 2, П 3842. ~ х <(х- уа <(у+ г <(г. 3843. ~ уг <(к+ гх <(у+ ху<(г. <1, — 1,2) <1, 2, 3) <3,3. П 2247+гуаг — угах l 3844.
~ У~ " Уг <)контур интегрирования не пере- (3 — У))' П, 2, 3) секает поверхности -у/* В задачах 3845 — 3852 найти функции по данным полным дифференциалам: 3845, <(и = ха <(к+у2 <(у. 3848. <(и = 4 (ха — уг) (х <(х — у <(у), 3847. И ='"+'"""+У'". (х+ у)г 3850. ((и = (2к сох у- уа3(их) г(х+(2усоз х — кг з<п у) йу. (Зу — х) ах+(у-Зг) «у (к+у)3 Гл.
х111, кРиВОлииеииме иитегРАлы 3853. Подобрать число и так, чтобы выражение (х — Р) хк+(х+Р) ЛХ было полным дифференциалом; найти соответ(кк+ уг)" ствующую функцию. 3854. Подобрать постоянные а н Ь так, чтобы вырюкение (Рг+ 2ку+ акк) Нх — (х'+ 2ха+ Ьук) гу 4)4 былО полным дифференциалом; найти соответствующую функцию.
В задачах 3855 — 38бО найти функции по данным полным дифференциалам: 3855. 4(и = 3856. 4(и= +У "+ к+у+к У хг+ук»-гк 3857 4(и 1+ хгуггг 2 (гх Лу+ ку 4(г — Ег ак) (к -Рг)4 3859 4(и " + г г' 3860. 4(и= = ЕХ144(Х+ — + ггж 4(у+ — + уак'+ а ! ха(х» ц 1 ( ггl*(к+цу г 4 Применения интегралов В задачах 3861 — 3868 вычислить при помощи криволинейного интеграла площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями. 3861. Эллипсом х асоз(, у=Ьзт(. 3862. Астроидой х=асозг(, у=аз(пг(. 3863. Кардиоидой х=2асоз( — асоз24, у=2аз)п(-аз1пй(.
3864". Петлей декартова листа хг+у' — Заху=О. 3665. Петлей линии (х+у)х=ху. 3866. Петлей линии (х+у)4=хгу. 3867». Лемиискатой Бернулли (х'+у')'=2аг (хг-уг). 3868". Петлей линии ($' х+4/~у)кг=ху. Работа 3869. В каждой точке плоскости иа материальную точку действует сила, имеющая постоянную величину г и направление положительной оси абсцисс. Найти работу, совершаемую этой силой, при движении точки по дуге окружности ха+ух=')74, лежащей в первом квадранте. 3876. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила ЬР, проекции которой на осн координат равны 7(=ху, У =х+у.
Вычислить работу силы Р ири перемещении точки из начала координат в точку (4, Ц: 1) по прямой у'=х; $ а интеГРАлы по повеРхности 2) по параболе у=к', 3) по двузвениой ломаной, стороны которой параллельны осям координат (два случая). 3871. В каждой точке М эллипса х=асозг, у=ЬЕ(п( приложена сила Г, равная по величине расстоянию от точки М до центра эллипса и направленная к центру эллипса. а) Вычислить работу силы г при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первом квадранте. 6) Найти работу, если точка обходит весь эллипс. 3872.
Проекции силы на оси координат задаются формулами Х=2ху и г'=х'. Поиазать, что работа силы при перемещении точки зависит только от начального н конечного ее положения и ие зависит от формы пути. Вычислить величину работы при перемещении из точки (1, О) в точку (О, 3). 3873. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от плоскости кОу и направлена к началу координат.
Вычислить работу при движении точки под действием этой силы по прямой к=а(, у= Ь(, г=с1 от точки М (а, Ь, с) до точки йГ(2а, 2Ь, 2с). 3874. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Ог, перпендикулярна к втой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки под действием этой силы по окружности х =сов(, у= 1, г= з(п( от точки М (1, 1, О) до точки М(0, 1, 1).
3876. Доказать, что работа силы тяготения двух точечных масс, совершаемая при перемещении одной из них, не зависит от формы пути. Величина силы тяготения г определяется законом Ньютона: г" = —,, где г — расстояние между точками, ЙА,~~ Г~ п4 и лт,— массы, сосредоточенные в этих точках, й — гравитационная постоянная.
5 3. Интегралы по поверхности Интегралы по площади поверхности В задачах 3876 — 3864 вычислить интегралы: 3876. ~~(г+2к+-у1Щ где 5 — часть плоскости -+ «-+ 3 + --= 1, лежащая в первом октаите. г 4 3877. ~)хугЩ где Я вЂ” часть плоскости к+у+а=1, лежащая и первом октанте. 3878. )')ЕЩ где Я-часть сферы к'+д'+г'=)г', лежащая в первом октанте.
ГЛ. Хпп КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ввув. 11 у уу, в~ у — ~у~ар = р ув - ' - ув 3880. ~~)уу22 — хэ — у'Щ где о-полусфера г=$~утв — х' — у*- урву. уу*'у'уу, в у — у В р УФ:З" — ув 3882. ~ ~ —,,—, где 8-цилиндр хе+ уэ = Щ ограниченный плоскостями 2=0 и Е=Н, а г — расстояние от точки поверхности до начала координат. 3883. ~ ~ ф, где о-сфера хв+ув+22 =Я2, а г-расстояние от точки сферы до фиксированной точки Р (О, О, с) (с) )ву). 3884. ~ ~ —, где 5 — часть поверхности гиперболического и гч параболоида х= ху, отсеченная цилиндром х'+у*= 112, а г — расстояние от точки поверхности до оси 02.
3885*. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы. 3888. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы. Поверхностные интегралы по координатам В задачах 3887 — 3893 вычислить поверхностные интегралы. 3887. ) )х2(у2(г+удху(г+г2(хну, где 5 — положительная сторона куба, составленного плоскостями х=О, у=О, я=О, х=1, у=1, а=1 ° 3888.
)')хуувгдх2(у, где Я вЂ” положительная сторона нижней половины сферы хв+ув+22=ЯР. 22 3889. ~ ~ гдхду, где Я вЂ” внешняя сторона эллнпсоида --, + Ув 22 +-'-+ — =1 вв !у ув 22 3880. ~ 1 222(х2(д, где 3 — внешняя сторона эллипсоида —, + Ев 22 +- — + —.-=1. Ьв ув 245 а з. интегеалы по поваехностн 3891. ') ) хг«(хдд+хд«(ддг+дхйхНг, где 5 — внешняя сторона пирам>ды, составленной плоскостями х=О, д=О, х=О и х+д+ -(-г=1. 3893.
))дг«(х»(д+хг«(дпг+хд»(хдх, где 5 — внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндра х»+д»=Я» и плоскостей х=О д=О, а=О и г=Н. 3893. ~ ~ д»гдх«(д+хгдд«(г+х»ддхйг, где 3 — внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной пз параболоида вращения г= х'+ д', цилиндра х'+д'= 1 и координатных плос- а костей (рис. 68). Формула Стокса 3894. Интеграл ) (д'+ а»)«(х+ (х'+ У ь -1-г») с(д+(х»+д») дг, взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать с помощью формулы Стокса в интеграл по Рис. 68 поверхности, «натянутой» на этот контур. 3895. Вычислить интеграл ~ х»д»дх+«(д+п(г, где контур Ь вЂ” окружность х'+ д' = И', г = О: а) непосредственно н б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу г = + ~' Ю вЂ” х» — д'.
Интегрирование по окружности в плоскости хОд ведется в положительном направлении. Формула Остроградского 3896. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобразовать с помощью формулы Остроградского в тройной гитсграл по обьему тела, ограниченного этой поверхностью; ~ ) х»пдНг+д'-дхЖ+г»йхйд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
