Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Интегрирование ведется по внешней с»проне повсрхиости Я. 3897. Поэерхносгный интеграл по замкнутой поверхности греобразовать с помощью формулы Остррградского в тройной по ооъему тела, гл раиичеипого этой поверхностью: ~ ~ 1'х'+ да+ г» (соз (М, х) + соз (Ф, д) + соз (й(, г)) сЬ, где Ф вЂ” внешняя нормаль к поверхности о. ГЛАВА Х1Ч ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9 1. Уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными В задачах 3901 — 3910 найти общие решения дифференциальных уравнений: "3901. (хуз + х) с(х + (у — хзу) г(у = О.
3902. хуу' = 1 — хз,. 3903. уу' = —. е * 3904. у'1дх — у=а. 3903. ху'+у=у®. 3900. у'+ф' — ",=О. 390у. ф' 1 — ф 4х+у1/1-к'г(у=О. 390В. е ~(! + — 1=1. 3909. у'=10"+". <й',— 3910. у'+ з(п — "=з(п — ". 2 . 2 391!. Зависимость между скоростью о снаряда и пройденным путем ! в канале орудия устанавливается в баллистике следую- ам Ж щим уравнением: о= +,, где и= — н а(1.
Найти зависимость между временем !движения снаряда и пройденным расстоянием ! по каналу. 3912, Если х-количество иодистоводородной кислоты НЛ, разложившееся к моменту времени Г, то скорость разложения Лх ах /! — х !з —, определяется дифференциальным уравнением — =Й1( — ~— ,И (и~ -И х~а — где йь й~ и о — постоянные. Проинтегрировать зто чравнение. В задачах 3913— ти частные решения дифференциальных уравнений, у т анным начальным условиям: 3913. у'з(п =у ~.
„~г е.,3914. у'= — „,; у(, ~=1. 1+И . 3913. з(пусо Иу=созуз(п; у~,„а н(4. 39!0. у-ху' Ь(1+х'у'); у) 1= !. 24а ГЛ. Х!Ч, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3917. Найти линию, проходящую через точку (2, 3) и обла. дающую' тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания. 3918. Найти линию, проходящую через точку (2, 0) и обладающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет постоянную длину, равную двум. 3919.
Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат. 3929. Найти все линии, у которых подкасательная пропорциональна абсциссе точки касания (коэффициент пропорциональности равен я). 3921. Найти линию, проходящую через точку (а, 1) и имеющую подкасательную постоянной длины а. 3922. Найти линию, у которой длина нормали (отрезок ее от точки линии до оси абсцисс) есть постоянная величина а.
3923. Найти линию, у которой сумма длин касательной и подкасательиой в любой ее точке пропорциональна произведению координат точки касания (коэффициент пропорциональности равен й). 3924. Найти линию у=~(х) (((х) )О, т" (О) =О), ограничивающую криволинейную трапецию с основанием 10, х), площадь которой пропорциональна (и+1)-й степени ((х), Известно, что г'(1) = 1.
3925. Материальная точка массой 1 г движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента Г = О, и обратна пропорциональной скорости движения точке В момент Г = 1О с скорость равнялась 0,5 м/с, а сила — 4 10-' Н.
Какова будет скорость спустя минуту после начала движения? 3926. Материальная точка движется прямолинейно, причем так, что ее кинетическая энергия в момент ( прямо пропорциональна средней скорости движения в интервале времени от нуля до (. Известно, что нри (=О путь Я=О. Показать, что движение равномерно. 3927. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью о= 10 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен, и через ( = 20 с скорость лодки уменьшилась до о, =б км(ч. Считая, что сила сопротивления воды движению лодки пропорциональна ее скорости, найти скорость лодки через 2 мнн после остановки мотора; найти также расстояние, пройденное лодкой в течение одной мйнуты после остановки мотора. 3928.
В дне цилиндрического сосуда с поперечным сечением 5 и вертикальной осью имеется малое круглое отверстие площадью д, закрытое диафрагмой (как у объектива фотоаппарата). В сосуд налита жидкость до высоты й. В момент г=О диафрагма 4 ь кялвнкния паевого поеядкл начинает открываться, причем площадь отверстия пропорцно. нальиа времени и полйостью отверстие открывается за Т с.
Какова будет высота О жидкости в сосуде через Т с после начала опыта? (См. задачи 2701 †27.) 3929. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела н среды. В задачах 2710 †27 мы считали коэффициент пропорциональности постоянным. При некоторых расчетах считают, что он линейно зависит от времени: А=А(1+цЕ). Найти при атом предположении зависимость между температурой тела В и временем Е, полагая, что В =Ва при Е=О, а температура окружакхцей среды Во 3930ь.
Скорость роста площади молодого листа виктории-регин, имеющего, как известно, форму круга, пропорциональна окружности листа и количеству солнечного света, падающего на лист. Последнее в свою очередь пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей н вертикалью. Найти зависимость между площадью 8 листа н временем Е, если известно, что в 6 часов утра зта площадь равнялась 1600 см', а в 6 часов вечера того же дия 2500 см'.
(Полагать, что наблюдение производилось на экваторе в день равноденствия, когда угол между направлением лучей солнца н вертикалью можно считать равным 90 в 6 часов утра и в 6 часов вечера и 0' в полдень.) В задачах 3931 — 3933 при помощи замены искомой функции привести данные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменнымн и решить их: 3931. у'=соь(х — у) (положить и =х — У). 3932, у' = Зх — 2у -)- 5. 3933. у' $' 1 + х + у = х + д — 1.
Однородные уравнения В задачах 3934 — 3944 найти общие решения уравнений: 3934 у'= У вЂ”,-2. 3933. д = — "'. хз х — у' 3936. хе(д-уе(х=уду. 3937, у 3938. у'=-" ! У 3939. ху' — у= )/х'-'+у~. 3940. Уз+х~д'=худ'. 3941. д' — еиех+ У х' 3942..ту' = у !п -"-. ° 3943. (Зуа ! Зхд+ хз) е(х = (хт+ 2хЕЕ) е(у. х в' (УЕх) ' В задачах 3945 — 3948 найти частные решения дифференциальных уравнений, удовхетворяюп!!ее данным начальным условиям: ГЛ. ХИА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3945.
(ху' — д)агс15-у-=х; д~ Г— - О. к 3946. (Уе — Зх~) бд+ 2«у бх = 0; д ~х е = 1, 3948. У( — „х ) +2х — — — у=О; д! -е= У5. 3949. Привести уравнение у'= — "+ у( — ") к квадратуре. Ках ~у~ кона должна быть функция <у( — 1, чтобы общим решением дан(у/' ного уравнения было у= — ? !и ) Сх| 3956. Найти линию, у коуорой квадрат длины отрезка, отсе- кммого любой касательной ат аси ординат, равен пронзнедению координат точки касания. 3951.
Найти линию, у которой начальная ордината любой ка- сательной равна соответствующей поднормали. 3952. Найти линию, у которой длина полярного радиуса лю- бой ее тачки М равняется расстоянию между тачкой пересече- ния касательной в точке М с осью Оу и началом координат. 3953*. Какой поверхностью вращения является зеркало про- жектора, если лучи света„исходящие из точечного источника, отразившись, направляются параллельным пучком? Линейные уравнения В задачах 3954 — 3954 найти общие решения уравнений: 3954. у' + 2У = 4х. 3955. у'+ 2ху = хе-"'.
3956. у'+ —,у=1. 3957, (1+х')у' — 2«д=(1+х')е. 3958. у'+у=созх. 3959. у'+ау=е"'". 3969. 2удх+(ук — бх) бу= О. 3961. у' =— 2К вЂ” ук ' 3962, у'= 2у Ш у+у — х' 3963 «(у у) (1 + хк) ех 3964. у'+ УФ' (х) — Ф (х) Ф' (х) = О, где Ф (х) — заданная функция. В задачах 3965 — 3968 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 3965. У' — У16«е аесх; у)к,=О. 3966. ху'+у — ек= О; у~к-а=а.
3987. ху' — — "=х; д~ к+! 3988, С(1+(з)е(х =(х+х(к-Р)еИ; х~е А= -п?4, $ Ь УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 3969. Пусть у1 и у,-два различных решения уравнения У'+Р( )У=()( ). а) Доказать, что у=у,+С(у,— у,) является общим решеннем того же уравнения (С вЂ” константа). б) При каком соотношении между постоянными а и () линейная комбинация ау1+()ук будет решением данного уравнения? в) Доказать, что если у,— третье частное решение, отличное от у, н у„то отношение — постоянно.
Ук-У1 Ук — У1 к 3970. Доказать тождество (см. задачу 2345) ~ е'"-*'Аг = о к к =Е"Ч'~Š— к'Ног, СОСтаВИВ дпя фуНКцИИ 7(Х)=)с*к-к1й диффсо а ренцнальное уравнение и решив его. 3971. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания. 3972э. Найти линию, у которой площадь прямоугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть величина постоянная (= а').
3973*. Найти линию, для которой площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна (= а'). 3974. Точка массой, равной ж, движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен Й1), протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю.
Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности равен й). Найти зависимость скорости от времени. 397$. Точка массой, равной ш, движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была ио (коэффициент пропорциональности равен й). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности равен й,). Найти зависимость скорости от времени. 3976. Начальная температура тела Зк'С равна температуре окружакацей среды. Тело получает тепло от нагревательного прибора (скорость подачи тепла является заданной функцией времени: ОР(г)„ где с в постоянная теплоемкость тела).
Кроме того, тело отдает тепло окружающей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности между температурами тела и среды). Найти зависимость температуры тела От времени, отсчитываемого от начала опыта. гл. аш. диееееанциальныа геавнания Решить задачи 3977-3978, учитывая, что если переменный электрический ток 1=! Я течет по проводнику с коэффициентом пидуктивиости Е и сопротивлением !т, то падение напряжения вдоль проводника будет равно Š— + !?1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
