Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Найти частное решение этого дифференциального уравнения, обращающееся вместе со своей производной в ! при х=О. 4266. Найти интегральную кривую уравнения у"+9у= О, проходящую через точку М(п, — 1) и касающуюся в этой точке прямой у+ ! =х — и. 4267. Найти интегральную криву|о уравнения у" + яу = О, проходящую через точку М(хо, уо) и касающуюся в этой точке прямой у — у,=а(х — х,).
В задачах 4268 — 4282 составить общие решения неоднородных уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо методом вариации произвольных постоянных: 4268. 2у" +у' — у=2е". 4269. у" +а'у=е". 4270. у" — 7у'+ бу е а! п х. 4271. у" + 2у'+ 5у = — - соз 2х. 4272. у" — бу'+9у=2х' — х+3. 4273. у' — 2у' +2у= 2х. 4274. у"+ 4у' — 5у= 1. 4275. у" — Зу'+2у=Г(х), если Г(х) равна: !) !Ое-"; 2) Зео-'; 3) 2з1пх; 4) 2х'" — 30; 5) 2ехсоз ",-„ 6) х — е-'"+ 1; 7) е (3 — 4х); 8) Зх+5ейп2х; 9) 2ех — е-'"; 10) а!и х з(п 2х; 1 !) зй х.
4276. 2у" +бу'=1(х), если )'(х) равна: !) 5х' — 2х — 1„2) е'; 3) 29созх; 4) созох; 5) 0,1е — '-"" — 25 з ! и 2,5х; 6) 29х ей п х; 7) ! 00хе-х сох х; 8) ЗсЬ вЂ” х. з 2 4277. у" — 4у'+4у=)(х), если ! (х) равна: 1) 1; 2) е-; 3) Зе"; 4) 2(з!п2х+х); 5) з(пхссм2х; 6) зш'х; 3 Е ЛИНЕЙНЫЕ УРЛВНЕНИЯ 2бя расстоянию от этого центра (коэффициент пропорциональности равен 4).
Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности ранен 3). В начале движения расстояние от центра равно 1 см, а скорость — нулю. Найти закон движения. 4295. Частица массы 1 г движется по прямой к точке А под действием некоторой силы притяжения, пропорциональной расстоянию ее от точки А.
На расстоянии 1 см действует сила 10-' Н. Сопротивление среды пропорционально скорости движения и равно 4 10-' Н при скорости 1 см/с. В момент 1=О частица расположена на расстоянии 1О см от точки А н скорость ее рани нулю. Найти зависимость расстояния от времени и вычислить это расстояние для Е=З с (с точностью до 0,0! см). 4296. Материальная точка массы и еРдвижется по прямой из А в В под действием постоянной ц р .р эры* - — --' о с, силы В. Сопротивление среды ! пропорционально расстоянию тела от В н в начальный момент (в точке А) равно 1(1(Р). Начальная скорость точки равна нулю. Сколько времени точка будет двигаться нз А в В (АВ ь а)? 4297. Тело массы 200 г подвешено на пружине и выведено из состояния покоя вытягиванием пружины на 2 см, после чего отпущено (без начальной скорости).
Найти уравнение движения тела, считая, что сопротивление среды пропорционально скорости движения. Если тело движется со скоростью 1 см/с, то среда оказывает сопротивление 10-' Н; сила напряжения пружины при растяжении ее на 2 см равна ! 00 Н. Весом пружины пренебрегаем. 4298. Деревянный цилиндрический чурбанчик (В = 100 смэ, 6=20 см, у=0,5 г/см') полностью погружен в воду и отпущен без начальной скорости. Считая, что сила трения пропорциональна высоте погруженной части, выяснить, каков должен быть коэффициент пропорциональности й, чтобы в результате первого подъема над поверхностью воды показалась ровно половина чурбанчика.
Сколько времени (!1) будет продолжаться первый подъем? Каково будет уравнение движения при первом подъемеУ 4299*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью в вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. В начальный момент на расстоянии ар от оси внутри трубки находился шарик массы и. Считая, что в начальный момент скорость шарика относительно трубки была равна нулю, найти закон движения шарика относительно трубки. 4300. Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик прикреплен к точке О пружиной.
Сила действия пружины иа гл. хпс дифевеанциальныа тзхзнения шарик' пропорциональна деформации пружины, сила й. 10-' Н вы- зывает изменение длины пружины на 1 см. Длина пружины в сво- бодном состоянии равна ао. Уравнения высших порядков 9 5. Системы дифференциальных уравнений » о» ш — — у — 7х, 4324.1. —" + 2х+ 5у = О. —" = 2х+у, 4324.2.
оу — „— = Зх+4У. о» -=х — у+г, пг ау — =х+у-г ш ! ае — =2х-у. от зх — =х — Зу, ш 4324.3. ~ = Зх+у. 4324.4. В задачах 4301 — 4311 найти общие решения уравнений: 4301. у +9У'=О. 4302. уш — 13У" +36У= О. 4303 угч 8У 16у Ч304 уш 16у 4305. у — 13у' — 12у = О. 4306. у — Зу" + Зу' — д = О. 4307 уш+2У +У 0 4308 ф»> д< — о> 4309 у~ч+ у 0 4310 64учоп +48уч~+ 12уш+ и 0 4311. дои+ — ", у' - ~+"-'",— —,"у"-и+...+-"-у'+у =О. Р 4312 у = — у' у(»-»=2, у'(»-о=О, у" ~» о — — 1. ь4313 У =у', у~» »=0, у ( о=1, у')„о=О, У» ~»-о= 1, У~ (»-»=2. В задачах 4314 — 4320 составить общие решения неоднородных уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо методом вариации произвольных постоянных: 4314. у — 4У" + 5У' — 2у =2х+ 3.
4316. у — Зу'+ 2У = е-" (4х'+ 4х — 10). 4310. у'"+8У'+1бу=созх. 4317. Уш+ 2а'у'+ а'у = соз ах, 43!8. Ух+у =хо — 1. 4319. Уш — у=хе'+сов х. 4320. Уш — 2У +у = 8(е" +е-")+4 (з(п х+ сох х). 4321. у +2у'+у'+2е-о =О' у(»-»=2 у'!.- =1, У'!.— »=1. 4322. У™ — у'=З(2 — х'); у)„о=у'(»-о=д'!»-о —— 1. 4323. Решить уравнение Эйлера хоу'"+ху' — У=О. з а системы диефвувнцихльных уухвнвнин 271 — -=х — 2у — г, ех 4324.5. ) — — — — — х+у+г, Нд 2'1 — =Зх-у+г ех Ф 4324.6.
-"- = х+у+ г, Нд Ыг — — =4х — у+4г еу (корни характеристического урав- нения «,=1, «2=2, «,=5). -„;- =2х+у, 4324.7. ' --" — =х+Зу — г, Ег е) -- = 2у+ Зг — х 4325. — "- = х+ е'+ е-'. Е1 (корни характеристического урав- нения «1= 2, «2 2 = 3 '+ 1). угу' = х (у' = -„=(~, 4327. угг' = х (г' = — †) . Ек Еу Ег 4335. — = — =— 2 — У Х вЂ” 2 д — Х у) а ')х = 2 — 52+22, 4326, еу = х — 6у+е-".
Е« у Р 4328. Х+У 4329. Х вЂ” д ' ( хгг'+х'+у'=О. у 2кд 4330. 4331. ~ хк — у~ — г~ (г = у' (г — у)', 2Х2 Ь ='(г-у)*. Х2 — у — 22 ех ед Е2д 4332. 4 - — — — „+ Зх = 2(л 1, —,=х, 4333. УХ вЂ” „;+ у = сое(. 222 ° и — „,", + — „,"-+х=е', 4334. Ек Е2у — + —,=1, Е1 Г В задачах 4336 — 4339 найти частные решения систем диффе- ренциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: —, у).,=1; Еу дк — дк 4336 Ех к' — Уг ЕХ 2 (к+У) „2 ~ а~к-О= 42 х' — уг ' 22 22 1 — — =1 —— Е2 Х ~1-1 = —.' - =3' 4337.
— „, =х+у — 1+ —, 272 ГЛ. ХНЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ е» --=а+ р — х, др= лд х'и-В=1; 4338. - — = г+ х — У, ж ' ( ( О. —,—,=»+у+а, В» —,~у=у+а, х|г-о= — 1! -3;=г+х, У~~,=!; Йе д» вЂ” !à — — Х+У', Е!ф В=О. 4339. 4340. Найти пару лини й, обладающих следующими свойствамп; а) касательные, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси ординат; б) нормали, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются иа оси абсцисс; в) одна из линий проходит через точку (1, 1), другая — через точку (1, 2).
4341. Даны две линии: у=7(х), проходящая через точку (О, 1), и у= ~ 7'(Г) г(1, проходящая через точку (О, !/2). Касательные, проведенные к обеим линиям в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси абсцисс. Найти линию у=!(х). 4342. Найти линию в пространстве, проходящую через точку (О, 1, 1) и обладающую следующими свойствами: а) след касательной на плоскости Оху при перемещении точки касания вдоль ликии описывает биссектрису угла между положительными напоавлениями осей Ох и Оу; б) расстояние этого следа от начала координат равно координате г точки касания. 4343. Два шарика, масса каждого из которых гл, соединены очень легкой пружиной (удлинение ее пропорционально растягпвающей силе).
Длина нерастянутой пружины !Ф Пружина растянута до длины 1з, а затем в момент»=0 оба шарика, расположенные вертикально один над другим, начинают падать (сопротивлением среды пренебрегаем). Через время Т длина нити сокращается до 1,. Найти закон движения каждого из шариков. 4344. Горизонтальная трубка вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 2 радиана в секунду. В трубке находятся два шарика с массами 300 и 200 г, соединенные невесомой упругой нерастянутой пружииоя длиной 10 см, причем более тяжелый шарик дальше от оси вращения. Сила 0,24 Н растягивает пружину на 1 см, а центр масс системы шариков удален от оси вращения на 10 см.
Шарики удерживаются в указанном положении некоторым механизмом. В момент, который считаем началом отсчета времени, действие механизма прекращается, и шарики приходят в движение. Найти закон движения каждого шарика относительно трубки. (Трением пренебрегаем.) гтз З 6. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗХДАЧИ 4343. Скорость роста культуры микроорганизмов пропорциональна их количеству и количеству питательных веществ (коэффициент пропорциональности равен Й). Скорость убывания пита. тельных веществ пропорциональна наличному количеству микро.
организмов (коэффициент пропорциональности равен й~). В начале опыта в сосуде имелось Аа микроорганизмов и В, питательных веществ. Найти зависимость количества А микроорганизмов и количества В питательных веществ от времени (й~О, й,)0). 4348*. Допустим, что бактерии размножаются со скоростью, пропорциональной их наличному количеству (коэффициент пропорциональности равен а), но в то же время вырабатывают яд, истребляющий их со скоростью, пропорциональной количеству яда и количеству бактерий (коэффициент пропорциональности равен Ь).
Далее, допустим, что скорость выработки яда пропорциональна наличному количеству бактерий (коэффициент пропорциональности равен с). Число бактерий сначала возрастает до некоторого наибольшего значения, а затем убывает, стремясь к нулю. Показать, что для любого момента ! число л! бактерий дается формулой 4М (ам+е "'!' где М-наибольшее число бактерий и время ! измеряется от того момента, когда !У=М, Й вЂ” некоторая постоянная. 4347.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
