Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 47
Текст из файла (страница 47)
7З интервал (, е (О, и). Использо- я нахождения суммы ряда вать полученный результат для 1 ! ! ( — 1)" 1 Вт + ВГ 77 + ' ' ' + (2и — 1) з 4395. Дана функция !р (х) = (и' — х')'. Ряс. 74 а) Убедиться, что имеют место равенства ср ( — и) = ср (и), !р' ( — и) = ~р' (и) и ср" ( — и) = <р' (и) (но !р"' ( — и) ~ 1р"' (и)). б) Используя полученные равенства, разложить функцию ф(х) в ряд Фурье в интервале ( — я, и).
пао ГЛ, ХЧ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ Рис. 7З Рнс, 76 Ряс. 77 в) Вычислить сумму ряда ( Вп-с вт +3' 4г+'''+ л' 9 3. Метод Крылова. Гармонический анализ В задачах 4396 — 4399 улучшить сходимость тригонометрических рядов, доведя коэффициенты до указанного в скобках порядка lг: 4396*. 1 —., е(илх ()с=4). я'"+ 1 и=! сл 4397*, ~> ( — !)'-' е(пик (1=2). ЕЯ+ ! л=! $3. А!ЕТОД КРЫЛОВА.
ГАРМОНИЧЕСКИП А11АЛИЗ 4398*. '~ —, сов лх (й = 4). ч! А'+1 й —.. д пл а ип —,— 4399+. ~~ — „, сов пх (й = 5). 2 п= 2 4400. Функции г! (х) (!' = 1, 2, 3) заданы в полуинтервале (О, 2л) следуюшей таблицей: Найти приблкокенное выражение зтнх функций в виде тригонометрического многочлена второго порядка. ГЛАВА ХЧ1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ*) Векторное поле, дивергенция и ротор 4401. Найти векторные линни однородного поля А (Р) = =аа+Ь~+с)а, где а, Ь н с — постоянные. 4402. Найти векторные линии плоского поля А (Р) = — гоуг+ +соху, где го — постоянная, 4403. Найти векторные линии поля А (Р) = — ануа+сохе+Пас, где от и й — постоянные.
4404. Найти векторные линии поля: 1) А (Р) = (у+ а) ю' — хг —.кй: 2) А(Р)=(г — у)Т+(х — х) т'+(у — х) й; 8) А (Р) =х(у* — гя)Т вЂ” у(хе+хе) т'+х(х'+ув) й. В задачах 4405 — 4408 вычислить дивергенцию (расходимость) и ротор (вихрь) заданных векторных полей: 4400. А (Р) — ха+уу+а)г. 4406. А (Р) =(уа+г') 1+(г'+х') у+(ха+у') Ф. 4407. А(Р) =хаухТ+худ/+хугвй. 4408. А(Р)=ягас((хе+ус+ге). 4409.
Векторное поле образовано силой, имеюгцей постоян- ную величину Р и направление положительной оси абсцисс. Вычислить дивергенцию и ротор этого поля. 4410. Плоское векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния от точки ее приложения до начала координат и направленной к началу координат. (На- пример, плоское электрическое поле, образованное точечным зарядом.) Найти диверге гнию и ротор этого поля. 4411.
Найти дивергенцию и ротор пространственного поля, если силы поля подчинены тем же условиям, что и в зздаче 4410. 4412. Векторное поле образовано силой, обратно пропорцио- нальной расстоянию от точки ее приложения до осп Ох, перпен- дикулярной к этой осп и направленной к ней. Вычислить дивер- генцню и ротор этого поля. «) 3алаян на свойства скалярного поля и его гРадиента помещены в $4 главы Х1. ГЛ. ХШ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 4413. Векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной расстоянию от точки ее приложения до плоскости хОд и направленной к началу координат. Вычислить дивергенцию этого поля. В задаче 4414 и дальше л — радиус-вектор, г = ( л ( — его модуль. 4414.
Вычислить Йч (ал), где а — постоянный скаляр. 4415. Доказать соотношение Йч (рА) = «р Йч А+ А ягаб р, где гр=гр(х, у, е) — скалярная функция. 4416. Вычислить Йч Ь(ла) и Йчг(еа), где а и Ь вЂ” постоянные векторы. 4417. Вычислить Йч(ахг), где а — постоянный вектор. 4418. Не переходя к координатам, вычислить дивергенцию векторного поля: 1) А(Р) =г(аг) — 2атя, 2) А(Р)=.
~ г",, 3) дгаб— 4419. Вычислить дивергенци1о векторного поля А (Р) =1 (~ Л () -,— —. Доказать, что дивергенция поля равна нулю только тогда, когда С С г(г ~) = —,, если поле пространственное, и 1((ф ~) =, —,если поле плоское, где С вЂ” произвольное постоянное число. 4420. Доказать, что то1 [А «(Р) + А, (Р)1 =- го1 А, (Р) + го1 А е (Р). 4421. Вычислить го1 [«рА (Р)1, где «р = «р (х, у, е) — скалярная фушсция. 4422.
Вычислить го1га, где а — постоянный вектор, 4423. Вычислить го1(ахи), где а — постоянный вектор. 4424. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью о« вокруг оси. Найти диаергенцию и ротор поля линейных скоростей. 4425. Доказать соотношение и (ига б (Ал) — го1 (А х а)) = Й и А, если л — единичный постоянный вектор.
Дифференциальные операции иеиторного анализа (йгад, Йт, го1) удобно представлять с поиоясью символического векторе р (о1абл⫠— оператор Гамильтона): д д д 7 = — 1+ — /+ — Ф. дл ду дг гл, хч!. элементы теонгги пОля Прныепепне этого оператора к той нлн иной (скалярно(~ нлн векторной) велнчнне нужно понимать тая: следует проделать по правилам векторной алгебры опсрацню умножения этого вектора на данную вслнчпну, а затем умнод женке снлгвола — н т.
п. на велнчнну 5 рассматривать как нзхожденне соотдх ветствующсй производной. Тогда ягай и=чи; снч А=7А; го( А =ух А. Прн помощи оператора Гамильтона можно ззпнсызать н днфферснцнальныо операция второго порядка: тти = гнч ига д и; 7 Х 7и = го( йгад и; 7 (7 А) = йгад гнч А; т (7 х А) = д)ч го! А; 7 Х (7 х А) = го( го( А. 4423.
Доказать, что г.7г" =ах", где г — радиус-вектор. 4427. Доказать соотношения: 1) го(дгаг( и = О; 2) б(7 го( А = О. 4423. Доказать, что дги дги дти Йч ягаг(и = —. + — -+ - —. дха дрз дгз ' (Зто выражение называется оператором Лапласа и обычно обозпачаетсн Ли. Прн помощи оператора Гамильтона его можно записать в виде Ли=(77) и =7ги.) 4429. Доказать, что го( го(А (Р) =йгаг(б(чА (Р) — ЛА (Р), где ЛА (Р) = бг(„2+ ОА /+ й йгй. Потенциал 4430.
Векторное поле образовано постоянным вектором А. Убедиться, что это поле имеет потенциал, и найти его. 4431. Векторное поле образовано силой, пропорциональной расстоянию от точки приложения до начала координат и направленной к началу координат. Показать, что это поле консервативное, п найти потенциал. 4432. Силы поля обратно пропорциональны расстоянию точек пх приложения от плоскости Оху н направлены к началу координат. Будет ли поле консервативным? 4433.
Силы поля пропорциональны квадрату расстояния точек нх приложения от оси апплнкат и направлены к началу координат. Будет ли поле консервативным? 4434. Векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной расстоянию точки ее приложения от оси Ог, перпендикулярной к этой оси и направленной к ней. Показать, что это поле консервативно, и найти его потенциал.
4435. Векторное поле образовано линейными скоростямн точек твердого тела, вращающегося вокруг своей осн. Имеет ли это поле потенциал? гл. хгп алименты тгопии поля 4438. Силы поля задаются так: А (Р) =) (г) -- (так называемое центрированное поле). Показать, что потенциал поля равен Получить отсюда как частный случай потенциал поля сил притнжения точечной массы и потенциал поля задачи 4431. 4437.
Найти работу сил поля А (р) =ху1+уг~+хгй при перемещении точки массы л> по замкнутой линии, состоящей из отрезка прямой х+г=1, у=О, четверти окружности ха+уз=1, г=О и отрезка прямой у+г=!, х=О (рис. 78) по направлению, указанному на чертеже, Как изменится работа, если дуга ВА будет заменена ломаной ВОА или отрезком ВА? Потенциал силы притяжения«) 4438. Дан в плоскости 0$>) однородный стержень АВдлины21 с линейной плотностью 6, расположенный на осн 0$ симметрично относительно начала координат (рис. 79).
Рнс. 79 Рис, 79 а) Найти потенциал и(х, у) стержня. б) Показать, что проекции Х и У силы притяжения, действующей на точку Р массы ко с координатамп а=х, т)=у, раины 1 1 1 тгб ?сВ Ас1 тпйб',РА рВ) ' 1 г (рВ + РА) ' йтй6 . 1 з результирующая сила )? по величине равна )? ="— з)п- (а+р), где й — постоянная тяготения (С вЂ” проекция точки Р на ось 05, сс — угол АРС, й — угол ВРС). «) Здесь (в задачах 4436 — 4449) везде имеется в виду сила тяжести, действуююая по закону Ньютона.
Вместо выражения «потенпнал массы, расположенной на (или в) данном геометрическом объекте>, для краткости мы говорим >потенциал даинога объекта>. Гл. хеь элементы тсогии поля 4439. Найти потенциал окружности х'+0'=)т', а=О в точке ()7, О, 2)с), если плотность в каждой точке равна абсолютной величине синуса угла между радиус-вектором точки и осью абсцисс. 4440. Найти потенциал первого витка однородной (плотность 6) винтовой линии к=асов|, у=аз)п1, г=Ы в начале координат, 444!.
Найти потенциал однородного квадрата со стороной а (поверхностная плотность 6) в одной из его вершин. 4442. На плоскости Оху распределена масса с плотностью 6, убывающей с расстоянием р от начала координат по закону 6=,, Найти потенциал в точке (О, О, Ь). (Рассмотреть три ! !+Р' случая: й(1, 6=1 и й) 1.) 4443Я. Вычислить потенциал однородной боковой поверхности круглого цилиндра: 1) в центре его основания, 2) в середине его оси (раднус цилиндра )7, высота Н, поверхностная плотность 6). 4444. Вычислить потенциал однородной боковой поверхности прямого круглого конуса (радиус основания Я, высота Н) в его вершине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
