Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 29
Текст из файла (страница 29)
2870. Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, найти значение; Х 1! седьмой производной от функции д=- —, при х=О, 1+Хе 2) пятой производной от функции д=х' Р'1+х при х=О, 3) десятой производной от функции д=л'е» прн к=О, 4) кривизны линии д= х(у'(1+х)' — 1~ в начале координат. В задачах 2871 — 2877, пользуясь разложением функций в ряд Тейлора, вычислить пределы: х-'!и(1 !+х" — к) » О Л к О х! !и (!+»+хе)+!и(! — х-(-»5) х О 2873.
1пп к (е» вЂ” !) $3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 177 2874. 1Пп (х — хо1п(1+-„)~. 2876. 1!и! ~-,— ~ ). х о 2875. 1)п! (-о — с(ео х), 1 к охо 2877 1!и! !2+ооох 3 ! о ~ ховл хч)' Интервал сходимости л! ( — ) ЗГ2п!! ° !'л 2887. х+4хо+...+(лх)л+... 2888. — 'х'+ — хо+...+ (" ) хлх'+... 2 3 ''' л+1 2889. 2х+~ — х) +...+(( ~ ) х~ +... 2890. Функцию д=)п(х+3/ 1)-хо) разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х= О, исходя из соотношения к 1п(х+У'1 -)-х') = 1 ='" р !+х' и указать интервал сходимости полученного ряда.
2891. Функцию р= 1п ~ — х разлож!Еть в ряд Тейлора в ок- ~" 1-)-х В задачах 2878 — 2889 найти интервалы сходимости степеннйх рядов. 2878. 1Ох+ 100хо+... + 10 "х" +... 2879. х — "--+...+( — 11л'т — „+... 2881. 1+х+...+и!хл+ 2882. 1+2хо+...+2л-тхо!л-!)+... хо" ~ 2883. х — — +...+( — !)л+', +... 3 3! ''' (2л — !) (2л — 1)! 2884 1+Зх.+ +(л — 1), Зл. Тхл-! ! (2х)о (лх)л 2886.
х+ —,, +...+ — „, +... При исследовании сходпмости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быль выражены приближенно формулов Стирлинга: ГЛ. 1Х. РЯДЫ рестности точки х=О, исходя из соотношения 1п~/ +„= ~ —, 0 и указать интервал сходимости полученного ряда. 2892. Функцию у=1п1(! +х)""!+!и!(1 — х)'-") разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х=О и указать интервал сходимости полученного ряда. 2893. Функцию р=(1+х)е- — (1 — х)е" разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х=О и указать интервал сходимости полученного ряда. Пользуясь разложением, найти сумму ряда 1 2 л 31 61 ' ' ' (2а+1)1 — +-+" + —.+" 9 4.
Некоторые применения рядов Тейлора Вычисление приближенных значений функций 2894. Вычислить приближенное значение у е, взяв три члена разложения в ряд Маклорена функции 7(х) =е", и оценить по- грешность. 2895. Вычислить приближенное значение з!и 18', взяв три члена разложения в ряд Маклорена функции 7(х) =з1пх, и оценить погрешность. 2896. Вычислить приближенное значение у' 10 =2)Л,25, взяв четыре члена разложения в ряд Маклорена функции 7(х)=(1+х)'", и оценить погрешность.
В задачах 2897 — 2904, пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функций е", ейпх и созх, вычислить указанные выра- жения. 2897. е' с точностью до 0,001. 2898. !'е с точностью до 0,001. 2899. -- с точностью до 0,0001. ! е 2666. — „с точностью до 0,000!. 1 1 е 2901. Я1п 1' с точностью до 0,0001, 2902. соз!" с точностью до 0,00!.
2903. зш 10' с точностью до 0,00001. 2904. соз !О' с точностью до 0,000!. В задачах 2905 — 2911, пользуясь формулой разложения вряд Маклорена функции (1+х), вычислить указанные корни с точ- ностью до 0,001. 2966. ~/'30. 2906. 1/70. 2907. ~/500. 2968. )/Т,015. Пз $ А НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕР!ЛОРА 2909. у'250. 2910. Тк'!29. 291!. Тк'!027. В задачах 2912 — 2914, пользуясь формулой разложения в ряд 1+к Маклорена функции 1п:„, вычислить выражения. 2912. 1п3 с точностью до 0,0001.
2913. !це = —,,р с точностью да 0,000001, ! !и 10 2914. !ц5 с точностью до 0,0001. Решение уравнений 2915. Дана уравнение ху+ек=у. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найти разложение функция у в ряд Тейлора по степеням х. Решить задачу, находя коэффициенты ряда Тейлора последовательным дифференцированием.
2916. Дано уравнение у=!п(1+х) — ху. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найти разложение функции у в ряд Тейлора па степеням х. Решить задачу, находя коэффициенты ряда Тейлора последовательным дифференцированием. В задачах 2917 — 2919 решить уравнения относительно у (найти явное выражение для у) с помощью ряда Тейлора двумя способимн: методом неопределенных коэффициентов и последовательным дифференцированием.
2917. !)о+ху=1 (найти три члена разложения). 2918. 2з1пх+з!пу=х — у (найти два члена разложения). 29!9. ек — ек=ху (иайти трн члена разложения). Интегрирование функций В задачах 2920 — 2929 выразить в форме ряда интегралы, используя разложение в ряд подынтегральных функции; указать области сходнмасти полученных рядов. 2920. ~ — ох.
2921. ~ — -г(х. 2922. ~ --Йх. к к 1923. ! — кк. 2924. ! *'к . 2925. ) — к к к 2926. ~ „ . 2927. ~ Р 1 +хо((х. 2928. о о о 2929, ~ '— ., !!х. кк о В задачах 2930 — 2934 вычислить приближенные значения определенных интегралов, взяв указанное число членов разложения подынтегральной функции в ряд; указать погрешность. 180 ГЛ. 1Х. РЯДЫ О,б 2937. ) хгбб1пхб(х О л 4 4 агс19 3 агс12 язй 1 1 вычислить и с 10 верными знаками « 2941. Разложить в ряд Тейлора функцию д=е'* ~е-"4(х двумя О способами: путем непосредственного вычисления последовательных производных прн х=0 и путем перемножения рядов.
! 2942'. Вычислить интеграл )х 4(х. О ОЛ 2943. Вычислить ~ е""" 4(х с точностью до 0,0001. О л!б 2944. Вычислить ~ )2созх 4(х с точностью до 0,001. О Разные задачи 2943. Вычислить площадь, ограниченную линией уз=ха+1, осью ординат и прямой х=1/2, с точностью до 0,001. 2946*. Вычислить площадь овала х'+ у4 = 1 с точностью до 0,01. Л/4 1/4 2930. ~ ОО «дх (3 члена). 2931. ~ О-2'4(х (3 члена). л/б О 1/1 1 2932, ( =" (2 члена). 2933. ( 4(х (6 членов).
О )/ 1+«3 ,) « О О'Зуб 2934. ) хбагс12хдх (2 члена). а В задачах 2935 — 2938 вычислить с точностью до 0,001 интегралы. О,О О,б 2933. ( — 9*. 2932. ) — 9*. д,1 О,б 2938. 1+«9 2939. Показать, что в интервале ( — О,1; 0,1) функция )е-"4(х «3 отличается от функции агс1ях —,- не больше чем на 0,0000001. 2940. Принимая во внимание тождество $ с некотОРыв пРименения РядОВ твилОРА 1В! 2947. Вычислить длину дуги линии 25144 =4х' от острия до точки пересечения с параболой 5у=х' с точностью до 0,0001.
2948. Вычислить длину одной полуволны синусоиды р=а!Пх с точностью до 0,001. 2949. Фигура, ограниченная линней у=агс1дх, осью абсцисс и прямой х=142, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела вращения с точностью до 0,001. 2950. Фигура, ограниченная линиями у' — х'=1, 4у+х'=О, прямой д=!!2 и осью ординат, вращается вокруг оси ординат. Вычислить объем тела вращения с точностью до 0,001.
2951. Вычислить с точностью до 0,001 координаты центра масс дуги гиперболы у= 1/х, Ограниченной точкамп с абсцнссами х,=144 п х.,=1/2. 2952. Вычислить с точностью до 0,01 коордияаты центра масс 4 криволинейной трапеции, ограниченной линней у —.— —, прямыьш !Их' х =- 1,5 и х = 2 и осью абсцисс. ГЛАВА Х ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9 1. Функции нескольких переменных 2953. Выразить объем г конуса как функцию его образующей х и высоты у. 2954. Выразить площадь Я треугольника как функцию его трех сторон х, у, г. 2955. Составить таблицу значений функции г = 2х — Зу+ 1, давая независимым переменным значения от 0 до 5 через единицу 2956. Составить таблицу значений функции г =3/ха+у-, давая независимым переменным значения от 0 до 1 через 0,1, Значения функции вычислять с точностью до 0,0!. 2957. Найти значение функции: 1) г=~ /агма (а+ у)1а г+~тй ( — у з ')агс(а (х — у)! при х= — ', у= 2 г 2 1 2) г = еи" (х+а) при х = у = —; 2' 3) г=у"'-'+ха*-' при х=2, у= — 2; х=1 у=2; х=2, у= 1.
2958. Дана функция ф (х) ф (у) — ф (х) ф (у) ф (ху) ф (ху) Найти Р(а, 1/а). В частности, положить ф(и)=иа, ф(и)=гР и подсчитать Р(а, 1/а). 2959. Дана функция г (х, у) =у" — --ха. Если х и у меняются 1 2 с одинаковой скоростью, то какая функция при х = 3, у =-2 растет быстрее: та, которая получается нз г при фиксированном и (меняется только х), или же та, которая получается прн фиксированном х (меняется только у)? 2960. Дана функция афг гр (хг у1 г) = уа (у соз 2 + а СОИ у) х+ х" з Ь ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1ВЗ Переменные д и г сохраняют фиксированные значения уа и г„ причем у, = Згм Что представляет собой график функции и = = ср (х, уо, г,)? Является ли ср (х, у, г): 1) рациональной функцией от у, от г; 2) целой функцией от хр 2961*.
Функцию г=/(х, у), удовлетворяющую тождественно соотношению 7(тх, ту) =т')(х, д) при любом т, называют однородной функцией й-го порядка. Показать, что однородная функция Й-го порядка г =) (х, у) всегда может быть представлена в виде г=х"ГЖ. ~ к у' 2962. Однородность функции любого числа независимых переменных определяется аналогично функции двух переменных: например, ((х, у, г) — однородная функция й-го порядка, если 1(тх, ту, тг) =т~~(х, у, г) при любом т. Также имеет место свойство )(х, у, г) =ггпу( —, — ); доказать его. 2963.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
