Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 25
Текст из файла (страница 25)
задачу 2568.) 2605. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды р=а(1+со51р) вокруг полярной оси. 2608. Окружность р=2г51пср вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности, которая при этом получается. 2607. Лемниската р'=а'со521р вращается вокруг полярной оси.
Найти площадь поверхности, которая пря этом получается. 2608. Бесконечная дуга линии у=о-а, соответствующая положительным значениям х, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить площадь поверхности, которая при этом получается. 2609. Трактрнса х=а(со51-1-!п18 — ), у=а51п! вращается вокруг оси абсцисс. Найти площадь получающейся бесконечной поверхности.
Моменты и центр масса) 2610. Вычислить статический момент прямоугольника с осно. ванием а н высотой 11 относительно его основания. 2611. Вычислить статический момент прямоугольного равнобедренного треугольника, катеты которого равны а, относительно каждой из его сторон.
2612. Доказать, что имеет место следующая формула: ь ь ~ (ах + (1) ! (х) ь(х = (а$+ 5) ~ ! (х) Ж, а а где $ — абсцисса центра масс криволинейной трапеции с основанием [а, Ц, ограниченной линией у=! (х). ') Во всех задачах этого раздела (2610 — 2662) плотность прпаянается рав. яоа едвевце. з ь неистовые злдлчи гаомвгэин и сглтики !вз 2613. Найти центр масс симметричного параболического сегмента с основанием, равным а, и высотой й. 26!4. Прямоугольник со сторонами а и Ь разбивается на две части дугой параболы, вершина которой совпадает с одной из вершин прямоугольника и которая проходит через его противоположную вершину (рнс. 49).
Найти центр масс обеих частей Бг и Ял прямоугольника. 2615. Найти координаты центра зг масс полуокружности у = !/г' — х'. 2616. Найти координаты центра масс полукруга, ограниченного осью абсцисс ! и полуокружностью у=')/г~ — х'. в л 2617. Найти центр масс дуги окружности радиуса Я, стягивающей Рис. 49 центральный угол а. 2618. Найти координаты пентра масс фигуры, ограниченяой осямн координат н параболой !/х +'!/у = )/ а. 2618. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной кл у' иоординатными осями и дугой эллипса †, + †, = 1, лежащей в первом квадранте. 2620.
Найти статический момент дуги эллипса — + †, = 1, И ал ьз ° лежащей в первом квадранте, относительно осн абсцисс. 2621. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной дугой синусоиды у=з1пх и отрезком оси абсцисс (от х, =0 до х,=п). В задачах 2622 — 2624 найти статический момент фигуры, ограниченной данными линиямн, относительно оси абсцисс: 2622.
у=,+ и у=х. 2 1+ хл 2623. у=з1пх и у= 1/2 (для одного сегмента). 2624. у=хл и у=)/х, 2626. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной замкнутой линией у'=ах" — хл. 2626. Найти координаты центра масс дуги цепной линии у х = ас)1 —, содержащейся между точками с абсциссами хл= — а н а' хл — — а. 2627.
Доказать, что статический момент произвольной дуги параболы относительно оси параболы пропорционален разности радиусов кривизны в конечных точках дуги, Коэффициент пропорциональности равен р!3, где р — параметр параболы. 2828. Найти координаты центра масс первой арки циклоиды х=а(! — з!и!), у=а(1 — соз!). Гл. ч!и. ПРименения интегеллл 2629. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды и осью абсцисс. 2630. Найти координаты центра масс дуги астроиды х = = асоззг, де аз1п'г, расположенной в первом квадранте. 2631. Нюпи координаты центра масс фигуры, ограниченной осями координат н дугой астроиды (в первом квадранте). 2632.
Доказать, что абсцисса и ордпиата центра масс сектора, ограниченного двумя полярными радиусами н линней, заданной в полярных координатах уравнением р=р(ф), выражаются так: ( Рз соз ф И р Рз Миф иф к= — ч' у=— 24, ~ Ра,~, ~ РЕХф ч~ ч. 2633. Найти декартовы координаты центра масс сектора, огра. нпченного одним полуептком архимедовой спирали р=аф (от ф,=О до ф,= и).
2634. Наиги центр масс сектора круга радиуса )с с централь- ным углом, равным 2а. 2635. Найти декартовы координаты центра масс фигуры, огра- ниченной карднопдой о = а(1 +сов ф). 2636. Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограниченной правой петлей лемнпскаты Бернулли р' =а' сох 2ф. 2637. Показать, что декартовы координаты центра масс дуги линни, уравнение которой дано в полярных коордшштах р=р(ф), выражаются так; чз чз ) Р фУ Р'-'+Р'" Дф ) Р Ип фУР"".ГР"-'Ыф у=" е,, у=ч' „ ) ) Р+Р'Иф ~ УР-+Р'- Мф % 4 2636. Найти декартовы координаты центра масс дуги лога.
рифмической спирали р=аеч (от ф,=п!2 до ф,=п). 2639. Найти декартовы координаты центра масс дуги карЛи- оиды р = п (1+ соз ф) (от ф, =- О до фи = и). 2640. На каком расстоянии оз геометрического центра лежит центр масс полушара радиуса )гу 2641. Найти центр масс поверхности полусферы. 2642. Даи прямой круглый конус; радиус основания его )г, высота Н. Найти расстояния от основания конуса до центра масс его боковой поверхности, полной поверхиостй и Обтеь(2. 2643. На каком расстоянии от основания лежит центр масс тела, ограниченного параболоидом вращения и плоскостью, перпендикулярной к его оси? Высота тела й.
т !. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 157 2644. Найти момент инерции отрезка АВ=1атносительна оси, лежащей с нпм в одной плоскости, зная, что конец А отрезка отстоит от осн на а единиц, конец  — иа Ь единиц. 2645. Найти момент инерции полуокружности радиуса Н относительно ее диаметра. 2646. Найти момент инерции дуги линии у=ех (0(х:~1)2) относительно оси абсцисс. 2647. Вычислить моменты инерции одной арки циклоиды х = ~а(1 — з)п1), у=а(1 — соз1) относительно обеих осей координат.
2648. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и Ь относительно стороны а. 2649. Найти момент инерции треугольника с основанием а и высотой Й относительно: 1) основания; 2) прямой, параллельной основанию, проходящей через вершину; 3) прямой, параллельной основанию, проходящей через центр тяжести треугольника. 2650. Найти момент инерции полукруга радиуса Н относительно его диаметра. 26И. Найти момент инерции круга радиуса Я относительно его центра. 2852. Найти момент инерции эллипса с полуасямя а и Ь относительно обеих его асей. 2653.
Найти момент инерции цилиндра, радиус основания которого Я, высота Н, относительно ега Оси. 2654. Найти момент инерции конуса, радиус основания кота- рого й, высота Н, относительно его осп. 2655. Найти момент инерции шара радиуса Я относительно его диаметра. 2656. Эллипс с полуосями а и Ь вращается вокруг одной из своих осей.
Найти момент инерции получающегося тела (эллипсоид вращения) относительно оси вращения. 2657. Найти момент инерции параболоида вращения, радиус основания которого )7, высота Н, относительно оси вращения. 2658. Вычислить момент инерции тела, ограниченного однохх у! ПОЛОСТНЫМ ГИПЕрбОЛОИдОМ вЂ” + — — гх= 1 И ПЛОСКОС~яМИ г=О И 2 2 г= 1, относительно оси Ог. 2659.
Криволинейная трапеция, ограниченная линиями уе ах, у=О. х=О и х=1, вращается: 1) вокруг оси Ох, 2) вокруг Оси Оу. Вычислить момент инерции получающегося тела Относительно оси вращения. 2660. Найти момент инерции боковой поверхности цилиндра (радиус основания )т', высота Н) относительно его оси. 2661. Найти момент инерции боковой поверхности конуса (радиус основания Й, высота Н) относительно его оси. гл. тп!. пгимсмения ннтеГРАлл 2662. Найти момент инерция поверхности шара радиуса )т относительно его диаметра.
Теоремы Гульдина 2663. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг одной из сторон. Найти объем тела, которое при этом получается. 2664. Эллипс с осямп АА,= 2а и ВВ,= 2Ь вращается вокруг прямой, параллельной оси АА, н отстоящей от иее на расстояние ЗЬ. Найти объем тела, которое цри этом получается. 2666. Астроида вращается вокруг прямой, проходящей через два соседних острия. Найти объем и поверхность тела, которое при этом получается (см.
задачу 2630). 2666, Фигура, образованная первыми арками циклонд хь н(1 — 5!п !), У=и(1 — соз г) хь а(1 — з'!п1), р= — а(1 — соз(), вращается вокруг оси ординат. Найти объем н поверхность тела, которое при этом получается. 2667. Квадрат вращается вокруг прямой, лежащей в его пло. скости и проходящей через одну из его вершин. Пра каком положении прямой опюс!ггельво квадрата объем получающегося тела вращения будет наибольшвмх Тат же вопрос для треугольника.
$2. Некоторые задачи физики 2668. Скорость тела дается формулой т=-)/1+1 м7с. Найти путь, пройденный телом за первые 1О с после начала движения. 2669. При гармоническом колебательном движении по оси абс!шсс около начала координат скорость — дается формулой лх !и Их 26 ~2я! 6!=т !т+ — = — соз — '-+ <Рч) (1 — время„Т вЂ” период колебания, <р,— начальная фаза). Найти положение точки в момент времени йл если известно, что в момент 1, она находилась в точке х=х!.
Сила 7' взаимодействия двух точечных масс определяется по !!!М формуле т=л —,, где т и М вЂ” массы точек, г — расстояние между ними, в й — коэффициент пропорциональности, равный 6,67' 1О™ ьг'7кг с' (запои Иютона). Учитывая это, решить задачи 2670 — 2673. (Предполагается, что плотность постоянна.) % ь нвкотогые 3АдАчи эизикн 2670.
Стержень АВ, длина юторого 1, масса М, армтягнвает точку С массы пг, которая лежит на его продолжении нв расстоянии а от ближайшего конца В стержня. Найти силу взаимодействия стержня и точки. Какую точечную массу нужно номестить в А, для того чтобы она действовалв иа С с той же силой, что и стержень АВ? Какую работу совершит сила притяжения, когда точка, отстоявшая от стержня на расстоянии гм приблизится к нему на расстояние гм двигаясь вдоль прямой, составляющей продолжение стержня? 2671, С какой силой полукольцо радиуса г и массы М действует на материальную точку массы т, находящуюся в его центре? 2672.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
